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限时跟踪检测(五十三) 双曲线(一)
一、单项选择题
1．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( )
A．－＝1
B．－＝1或－＝1
C．－＝1
D．－＝1或－＝1
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为x±y＝0，则该双曲
线的实轴长为( )
A．2 B．1
C． D．2
3．设双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F ，F ，若P为C右支上的一点，且
1 2
PF⊥PF，则tan∠PFF＝( )
1 2 2 1
A． B．
C．2 D．
4．(2024·广东惠州调研)“m>2”是“方程＋＝1表示双曲线”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(2024·河南洛阳联考)设F ，F 分别为双曲线－＝1的左、右焦点，过F 引圆x2＋y2
1 2 1
＝9的切线FP交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，
1 1
则|MO|－|MT|＝ ( )
A．4 B．3
C．2 D．1
6．(2024·湖南岳阳模拟)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，
若双曲线及其渐近线上各存在一点Q，P，使得四边形OPFQ为矩形，则其离心率为 (
)
A． B．2
C． D．
7．(2024·河北唐山模拟)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为双曲线C
上一点，直线AF⊥x轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若|AB|＝|AF|，则C的离心率e
＝( )A． B．
C． D．2
8．(2024·湖南长沙明德中学月考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为
F ，F ，M为双曲线上一点，若cos∠FMF ＝，|MF |＝2|MF |，则此双曲线的渐近线方程
1 2 1 2 1 2
为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
9．(2024·山东潍坊模拟)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通
过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的
一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)上支的一部分．已知该双曲线的
上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
10．(2024·河北唐山模拟)已知F ，F 为双曲线C：－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C
1 2
上任意一点，则( )
A．|PF|－|PF|＝2
1 2
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C．双曲线C的离心率为
D．|PF1＋PF2|≥2
11．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点在圆O：x2＋y2＝13上，圆O与双曲线C的渐
近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足EO＋EM＋EN＝0(其中O为坐标原
点)，则下列结论正确的是( )
A．双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0
B．双曲线C的离心率为
C．|OE|＝1
D．△OMN的面积为6
三、填空题与解答题
12．(2024·河北模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F ，F ，实
1 2
轴长为4，过F 的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，若|AB|是|AF|和|BF|的等差中项，
2 1 1
则△ABF 的周长为________．
1
13．(2024·河北六校联考)已知F ，F 分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，
1 2
且|FF|＝，P为双曲线C右支上一点，I为△PFF 的内心，若S ＝S ＋λS 成
1 2 1 2 △IPF1 △IPF2 △IF1F2
立，则双曲线的离心率为________，λ的值为________．
14．(2024·河北邢台六校联考)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
高分推荐题
15．(2024·河南开封模拟)3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为
基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如
图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其
旋转轴逐层旋转打印得到的．已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径
为6 cm，下底直径为9 cm，高为9 cm，则喉部(最细处)的直径为________cm.
解析版
一、单项选择题
1．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( )
A．－＝1
B．－＝1或－＝1
C．－＝1
D．－＝1或－＝1
解析：设双曲线方程为－＝1(m≠0)，
∵2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；
当m<0时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
答案：D
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为x±y＝0，则该双曲
线的实轴长为( )
A．2 B．1
C． D．2
解析：由题意知，渐近线方程为y＝±x，则＝，又焦点为F(2,0)，即c＝2，所以c2＝a2
＋b2＝4a2＝4，则a2＝1，即a＝1或－1(舍去)，所以实轴长为2a＝2.故选A．
答案：A
3．设双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F ，F ，若P为C右支上的一点，且
1 2
PF⊥PF，则tan∠PFF＝( )
1 2 2 1A． B．
C．2 D．
解析：易知c2＝25a2，则c＝5a，|FF|＝2c＝10a.因为P为C右支上的一点，所以|PF|
1 2 1
－|PF|＝2a.因为PF⊥PF ，所以|PF|2＋|PF|2＝|FF|2，则(|PF|＋2a)2＋|PF|2＝100a2，解
2 1 2 1 2 1 2 2 2
得|PF|＝6a(负值舍去)，所以|PF|＝8a，所以tan∠PFF＝＝＝.故选A．
2 1 2 1
答案：A
4．(2024·广东惠州调研)“m>2”是“方程＋＝1表示双曲线”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为方程＋＝1表示双曲线，所以(2－m)(m＋1)<0，解得m<－1或m>2，即
m∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
因为(2，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，所以“m>2”是“方程＋＝1表示双
曲线”的充分不必要条件．故选B．
答案：B
5．(2024·河南洛阳联考)设F ，F 分别为双曲线－＝1的左、右焦点，过F 引圆x2＋y2
1 2 1
＝9的切线FP交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，
1 1
则|MO|－|MT|＝ ( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：连接PF ，OT，则有|MO|＝|PF|＝(|PF|－2a)＝(|PF|－6)＝|PF|－3，|MT|＝|
2 2 1 1 1
PF|－|FT|＝|PF|－＝|PF|－4，于是有|MO|－|MT|＝－＝1.故选D．
1 1 1 1
答案：D
6．(2024·湖南岳阳模拟)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，
若双曲线及其渐近线上各存在一点Q，P，使得四边形OPFQ为矩形，则其离心率为 (
)A． B．2
C． D．
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴直线OP的方程为y＝x.
直线OQ的方程为y＝－x，
则QF的方程为y＝(x－c)．
联立解得Q.
∵Q在双曲线上，∴－＝1，∴c2＝3a2，
∴e＝.故选A．
答案：A
7．(2024·河北唐山模拟)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为双曲线C
上一点，直线AF⊥x轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若|AB|＝|AF|，则C的离心率e
＝( )
A． B．
C． D．2
解析：由题意得F(c,0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，由双曲线的对称性，不妨设
A，B均为第一象限的点，当x＝c时，－＝1，得y＝±，所以|AF|＝，当x＝c时，y＝，所
以|BF|＝，因为|AB|＝|AF|，所以|BF|＝2|AF|，所以＝，得c＝2b，所以a＝＝b，所以双曲线
C的离心率为e＝＝＝.故选B．
答案：B
8．(2024·湖南长沙明德中学月考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为
F ，F ，M为双曲线上一点，若cos∠FMF ＝，|MF |＝2|MF |，则此双曲线的渐近线方程
1 2 1 2 1 2
为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：由题意，得|MF |－|MF |＝2a，又|MF |＝2|MF |，
1 2 1 2
∴|MF |＝4a，|MF |＝2a，
1 2
∴cos∠FMF ＝＝，化简得c2＝4a2，即a2＋b2＝4a2，∴b2＝3a2，
1 2
又a>0，b>0，∴＝，∴此双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选A．
答案：A
9．(2024·山东潍坊模拟)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通
过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的
一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)上支的一部分．已知该双曲线的
上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为( )
A． B．C． D．
解析：由题意知，点F(0，c)到渐近线y＝x，即ax－by＝0的距离d＝＝b＝12.又由题
意知解得所以e＝＝＝.
答案：B
二、多项选择题
10．(2024·河北唐山模拟)已知F ，F 为双曲线C：－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C
1 2
上任意一点，则( )
A．|PF|－|PF|＝2
1 2
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C．双曲线C的离心率为
D．|PF1＋PF2|≥2
解析：双曲线C：－x2＝1的焦点在y轴上，a＝，b＝1，c＝＝2.
对于A选项，||PF|－|PF||＝2a＝2，而P点在哪支上并不确定，故A错误；
1 2
对于B选项，焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，故B错误；
对于C选项，e＝＝＝，故C正确；
对于D选项，设P(x，y)(x∈R)，
则|PO|＝＝＝≥(当且仅当x＝0时取等号)，
因为O为FF 的中点，所以|PF1＋PF2|＝|2PO|＝2|PO|≥2，故D正确．
1 2
答案：CD
11．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点在圆O：x2＋y2＝13上，圆O与双曲线C的渐
近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足EO＋EM＋EN＝0(其中O为坐标原
点)，则下列结论正确的是( )
A．双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0
B．双曲线C的离心率为
C．|OE|＝1
D．△OMN的面积为6
解析：如图，双曲线C的焦距为2c＝2，得c＝，设MN与y轴交于点P，则由圆和渐
近线的对称性知P是MN的中点．设点M(m，n)，m>0，n>0，则由
可得m＝a，n＝b.故M(a，b)，N(－a，b)，则P(0，b)．
由题意可知|OM|＝c＝.
由EO＋EM＋EN＝0，
知点E为△OMN的重心，
可得|OE|＝|OP|，即a＝b，＝＝，
所以a＝2，b＝3，e＝，M(2,3)，N(－2，3)，P(0,3)．
所以双曲线C的渐近线方程为3x±2y＝0，|OE|＝2，M的坐标为(2,3)，S ＝×(2＋
△OMN
2)×3＝6.
答案：ABD
三、填空题与解答题
12．(2024·河北模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F ，F ，实
1 2
轴长为4，过F 的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，若|AB|是|AF|和|BF|的等差中项，
2 1 1
则△ABF 的周长为________．
1
解析：由|AB|是|AF|和|BF|的等差中项得|AF|＋|BF|＝2|AB|，根据双曲线的定义知|AF|
1 1 1 1 1
－|AF|＝2a，|BF|－|BF|＝2a，两式相加得|AF|＋|BF|－|AB|＝4a，即|AF|＋|BF|＝8a，|
2 1 2 1 1 1 1
AB|＝4a，故△ABF 的周长为12a，因为2a＝4，所以△ABF 的周长为24.
1 1
答案：24
13．(2024·河北六校联考)已知F ，F 分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，
1 2
且|FF|＝，P为双曲线C右支上一点，I为△PFF 的内心，若S ＝S ＋λS 成
1 2 1 2 △IPF1 △IPF2 △IF1F2
立，则双曲线的离心率为________，λ的值为________．
解析：由F ，F 分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|FF|＝，可得
1 2 1 2
2c＝＝，化简得e2－e－1＝0.∵e>1，∴e＝.设△PFF 的内切圆半径为r，由双曲线的定义，
1 2
得|PF|－|PF|＝2a，|FF|＝2c，S ＝|PF|·r，S ＝|PF|·r，S ＝·2c·r＝cr，由
1 2 1 2 △IPF1 1 △IPF2 2 △IF1F2
S ＝S ＋λS ，得|PF|·r＝|PF|·r＋λcr，故λ＝＝＝＝.
△IPF1 △IPF1 △IF1F2 1 2
答案：
14．(2024·河北邢台六校联考)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为
F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
(1)解：设双曲线的半焦距为c，
则F(c,0)，B，
因为|AF|＝|BF|，故＝a＋c，
故c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，
又e>0，故e＝2.
(2)证明：设B(x，y)，其中x>a，y>0.
0 0 0 0
因为e＝2，故c＝2a，b＝a，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x，
所以∠BAF∈，∠BFA∈.
当∠BFA＝时，由题意易得∠BAF＝，
此时∠BFA＝2∠BAF.
当∠BFA≠时，
因为tan∠BFA＝－＝－，tan∠BAF＝，
所以tan2∠BAF＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝－＝tan∠BFA，
因为2∠BAF∈，故∠BFA＝2∠BAF.
综上，∠BFA＝2∠BAF.
高分推荐题
15．(2024·河南开封模拟)3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为
基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如
图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其
旋转轴逐层旋转打印得到的．已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径
为6 cm，下底直径为9 cm，高为9 cm，则喉部(最细处)的直径为________cm.
解析：塔筒轴截面如图，以最细处的直径所在的直线为x轴，其垂直平分线为y轴建
立平面直角坐标系．
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得，e＝＝，且c2＝a2＋b2，
所以4a2＝b2，所以双曲线方程为－＝1(a>0)．
塔筒上底直径为6 cm，下底直径为9 cm，高为9 cm，设双曲线过点(3，m)，则双曲线
也过点.代入双曲线方程得解得
所以喉部(最细处)的直径为2a＝4(cm)．
答案：4
