文档内容
第 01 讲 随机抽样、统计图表、用样本估计总体
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：抽样.....................................................................................................................................4
知识点2：用样本估计总体.................................................................................................................5
题型一：随机抽样、分层抽样............................................................................................................7
题型二：统计图表................................................................................................................................8
题型三：频率分布直方图..................................................................................................................11
题型四：百分位数..............................................................................................................................13
题型五：样本的数字特征..................................................................................................................14
题型六：总体集中趋势的估计..........................................................................................................15
题型七：总体离散程度的估计..........................................................................................................17
题型八：分层方差问题......................................................................................................................21
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................25
05课本典例·高考素材........................................................................................................................26
06易错分析·答题模板........................................................................................................................28
易错点：不能正确提取图表信息......................................................................................................28
答题模板：求百分位数......................................................................................................................29考点要求 考题统计 考情分析
（1）抽样方法
统计学是“大数据”技术的关
2024年II卷第4题，5分
（2）统计图表 键，在互联网时代具有强大的社会价
2023年上海卷第14题，4分
（3）频率分布直方图 值和经济价值，在高考中受重视程度
2023年上海卷第9题，5分
（4）样本的数字特征的估 越来越大，未来在考试中的出题角度
2023年I卷第9题，5分
计，总体集中趋势的估计， 会更加与实际生活紧密联系，背景新
2022年甲卷（文）第2题，5分
总体离散程度的估计 颢、形式多样．
复习目标：
（1）会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样．
（2）理解统计图表的含义．
（3）会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数．
（4）能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．知识点1：抽样
1、抽样调查
（1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体．
（2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体．
（3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，
样本中个体的数目叫做样本容量．
2、简单随机抽样
（1）定义
一般地，设一个总体含有 个个体，从中逐个不放回地抽取 个个体作为样本（ ），如果每次
抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，
叫做简单随机样本．
（2）两种常用的简单随机抽样方法
①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器
中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取 次，就得到一个容量为 的样本．
②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．
随机数表由数字 ， ， ，…， 组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的．
注意：为了保证所选数字的随机性，需在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置．
（3）抽签法与随机数法的适用情况
抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当总体容量
很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便．
（4）简单随机抽样的特征
①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析．
②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作．
③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算．
④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平．
只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．
3、分层抽样
（1）定义一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的
个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的．
（2）分层抽样问题类型及解题思路
①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．
③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝＝”
注意：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取 （ ）个个体
（其中 是层数， 是抽取的样本容量， 是第 层中个体的个数， 是总体容量）．
【诊断自测】某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在
抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为 ．
类
老年教师 中年教师 青年教师 合计
别
人
36 72 64 172
数
知识点2：用样本估计总体
1、频率分布直方图
（1）频率、频数、样本容量的计算方法
①×组距＝频率．
②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 ．
2、频率分布直方图中数字特征的计算
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为 ，利用 左（右）侧矩形面积之
和等于 ，即可求出 ．
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方
形底边中点的横坐标之和，即有 ，其中 为每个小长方形底边的中点， 为每个
小长方形的面积．
3、百分位数
（1）定义
一组数据的第 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这个值，且至少有 的数据大于或等于这个值．
（2）计算一组 个数据的的第 百分位数的步骤
①按从小到大排列原始数据．
②计算 ．
③若 不是整数而大于 的比邻整数 ，则第 百分位数为第 项数据；若 是整数，则第 百分位数
为第 项与第 项数据的平均数．
（3）四分位数
我们之前学过的中位数，相当于是第 百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有
第 百分位数，第 百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分
位数．
4、样本的数字特征
（1）众数、中位数、平均数
①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平．
②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平
均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平．
③平均数： 个样本数据 的平均数为 ，反应一组数据的平均水平，公式
变形： ．
5、标准差和方差
（1）定义
①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 表示．假设样本数据是 ，
表示这组数据的平均数，则标准差 ．
②方差：方差就是标准差的平方，即 ．显然，在刻画样本数
据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差．
（2）数据特征
标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越
大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小．
（3）平均数、方差的性质
如果数据 的平均数为 ，方差为 ，那么
①一组新数据 的平均数为 ，方差是 ．
②一组新数据 的平均数为 ，方差是 ．
③一组新数据 的平均数为 ，方差是 ．【诊断自测】某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中
随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：
，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的 ；
(3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成
绩的总平均数 和总方差 ．
题型一：随机抽样、分层抽样
【典例1-1】从24名数学教师，16名物理教师，8名化学教师中，用分层抽样的方法抽取一个容量为
6的样本，则抽取数学教师的人数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例1-2】总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选
取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号
为（ ）
（第一行）1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637
（第二行）1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087
A．20 B．26 C．17 D．03
【方法技巧】
不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．
【变式1-1】一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样法从中抽出一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽得的热水器台数是（ ）
A．甲厂9台，乙厂5台 B．甲厂8 台，乙厂6台
C．甲厂 10 台，乙厂4台 D．甲厂7台，乙厂7台
【变式1-2】（2024·福建泉州·模拟预测）从一个含有 个个体的总体中抽取一容量为 的样本，当选
取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 ，三
者关系可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2024·陕西西安·一模）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行
抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4
行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
题型二：统计图表
【典例2-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）下图为国家统计局给出的2016-2020年福利彩票销售额、
增长率及筹集公益金情况统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．2016-2020年福利彩票销售额呈递减趋势
B．2016-2020年福利彩票销售额的年增长率呈递减趋势
C．2016-2020年福利彩票销售额、筹集公益金均在2018年取得最大值
D．2017-2018年福利彩票销售额增长的最多
【典例2-2】（2024·四川达州·二模）下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图，则下
列说法错误的是（ ）A．该地区2016-2019年旅游收入逐年递增
B．该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30
C．经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平
D．该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69
【方法技巧】
统计图表的主要应用
扇形图：直观描述各类数据占总数的比例；
折线图：描述数据随时间的变化趋势；
条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率．
【变式2-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．
为了了解该地区中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小
学生人数为70，则抽取的高中生中近视人数为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．40
【变式2-2】（2024·江西·二模）下图是我国 年纯电动汽车销量统计情况，则下列说法错
误的是（ ）
A．我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势
B．这六年销量的第60百分位数为536.5万辆C．2020年销量高于这六年销量的平均值
D．这六年增长率最大的为2019年至2020年
【变式2-3】（2024·四川遂宁·三模）某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业
从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误
的是（ ）
A．快递行业从业人员中，“90后”占一半以上
B．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20%
C．快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多
D．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多
【变式2-4】（2024·陕西西安·模拟预测）2017年至2022年某省年生产总量及其增长速度如图所示，
则下列结论错误的是（ ）
A．2017年至2022年该省年生产总量逐年增加
B．2017年至2022年该省年生产总量的极差为14842.3亿元
C．2017年至2022年该省年生产总量的增长速度逐年降低
D．2017年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6%
题型三：频率分布直方图
【典例3-1】（2024·河北石家庄·三模）为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机
抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直
方图中实数 的值为 ．【典例3-2】为贯彻五育并举的教育方针，某校对全体高一年级学生进行了体育测试，并将成绩（单
位：分）分为6组： 加以统计，得到如图所示的频率分布
直方图．已知高一年级共有750名同学参加测试，则成绩达标的（不少于60分）学生人数为 ．
【方法技巧】
（1）利用频率分布直方图求频率、频数；
（2）利用频率分布直方图估计总体．
（3）频率分布直方图的纵坐标是 ，而不是频率．
【变式3-1】在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数
据的频率分布直方图，由此可估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率为 .
【变式3-2】某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经
过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的
人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 ；误诊率是将未患病者判定
为阳性的概率，记为 ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．则当
漏诊率 时，误诊率 .
【变式3-3】某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经
过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 ，将该指标大于 的人判定为阳性，小于或等于 的
人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 ；误诊率是将未患病者判定
为阳性的概率，记为 ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．设函
数 ，则当 时， 在区间 的最小值为 ．
题型四：百分位数
【典例4-1】（2024·高三·山东菏泽·开学考试）已知一组数据为 ，则这组数据
第60百分位数为 .
【典例4-2】已知18个整数的中位数为5，第75百分位数也为5，那么这18个数中，5的个数的最小
可能值为 .
【方法技巧】
计算一组 个数据的的第 百分位数的步骤①按从小到大排列原始数据．
②计算 ．
③若 不是整数而大于 的比邻整数 ，则第 百分位数为第 项数据；若 是整数，则第 百分位数
为第 项与第 项数据的平均数．
【变式4-1】某同学在高三阶段的9次数学考试中成绩依次为： ，
则这9次数学成绩的上四分位数为 .
【变式4-2】《中国居民膳食指南（2022）》数据显示， 岁至 岁儿童青少年超重肥胖率高达
为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取 名学生，测量他们的体重(单位：
千克)，根据测量数据，按 ， ， ， ， ， 分成六组，得到的频
率分布直方图如图所示，根据调查的数据，估计该地中学生体重的 分位数是 ．
【变式4-3】第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下
冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，
76，则这组数据的60%分位数为 .
【变式4-4】（2024·高三·全国·单元测试）某公司对来应聘的人进行笔试，统计出200名应聘者的笔试
成绩，整理得到下表：
组号 1 2 3 4 5 6
成绩分
组
累积频
0.05 0.15 a
率
注：第n组的累积频率指的是前n组的频率之和．
若公司计划150人进入面试，则估计参加面试的最低分数线为 ．
题型五：样本的数字特征
【典例5-1】（2024·高三·全国·单元测试）已知一组统计数据 的平均数为 ，方差为 ，则函数 的最小值为 ．
【典例5-2】（2024·高三·四川乐山·开学考试）已知 ， ，．．．， 的平均数为10，标准差为
2，则 ， ，．．．， 的平均数和标准差分别为 和 ．
【方法技巧】
（1）平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小．
（2）方差的简化计算公式： 或写成 ，即方
差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．
【变式5-1】（2024·福建龙岩·三模）互不相等的4个正整数从小到大排序为 ，若它们的平
均数为4，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的中位数为 .
【变式5-2】（多选题）（2024·江西新余·模拟预测）已知对 个数据 做如下变换：当
为奇数时，对应的 变为 ；当 为偶数时，对应的 变为 ，则对于该组数据的变化，下列情况中
可能发生的是：（ ）.
A．平均数增大 B．方差不变
C． 分位数减小 D．众数减小
【变式5-3】（多选题）（2024·湖北·模拟预测）设一组样本数据 满足
，则（ ）
A．拿走 ，这组数据的方差变大 B．拿走 ，这组数据的方差变大
C．拿走 ，这组数据的方差减小 D．拿走 ，这组数据的方差减小
【变式5-4】已知一组数据 ， ， ， 的方差为4，若数据 ， ， ，
的方差为36，则b的值为 .
【变式5-5】（多选题）一个同学投掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中可
能出现点数6的有（ ）
A．平均数为3，中位数为4
B．中位数为4，众数为3
C．平均数为2，方差为2.1
D．中位数为3，方差为0.85
题型六：总体集中趋势的估计
【典例6-1】为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组 只，其中 组小鼠给服甲离子溶液， 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体
积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据
分别得到如下直方图：
记 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于 ”，根据直方图得到 的估计值为 ．
(1)求乙离子残留百分比直方图中 的值；
(2)求甲离子残留百分比的第 百分位数；
(3)估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表）
【典例6-2】某校抽取100名高二学生期中考试的语文成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中
样本数据分组区间为： .
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的众数和平均数.
【方法技巧】
频率分布直方图的数字特征
（1）众数：最高矩形的底边中点的横坐标．
（2）中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．（3）平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．
【变式6-1】某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数，单
位：分）的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数．
(3)延伸探究：若本例的条件不变，求数学成绩的平均分．
(4)若本例条件不变，求80分以下的学生人数．
【变式6-2】为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民
节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）.一位居民的月用水量
不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位
居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分
布直方图.其中0.4a=b.
(1)求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数；
(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值．题型七：总体离散程度的估计
【典例7-1】（2024·全国·模拟预测）某厂为提高工作效率，将全厂分为甲、乙2个车间，每个车间分
别设有A，B，C，D，E5组．下表为该厂某日生产订单情况统计表，请据表解答下列问题：
A B C D E
10 18
甲车间 120 150 200
0 0
15
乙车间 50 120 200 180
0
(1)求甲、乙2个车间该日生产订单的平均数与方差，并根据方差判断哪一个车间工作效率比较稳定？
(2)设甲车间合格率为0.54，乙车间合格率为0.57，求甲、乙2个车间都不合格的概率；
(3)你认为哪个车间工作效率更高？请从平均数、方差、合格率的角度分析．
【典例7-2】某校高一（1）班、（2）班的学生人数分别为40，42，在某次测验中，记（1）班所有学
生的成绩分别为 ， ，…， ，平均成绩为 ，方差为 ，已知 ， .
(1)求 ， ；
(2)记（2）班所有学生的成绩分别为 ， ，…， ，其平均成绩为82， ，试求两个
班的所有学生的平均成绩（结果保留整数），并说明哪一个班的成绩比较稳定.
【方法技巧】
总体离散程度的估计标准差（方差）反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差（方差）越大，数据的离散程
度越大；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小．
【变式7-1】在2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站和柏林站女子10米台跳水决赛中，全红婵奉献
了高水准的精彩表现，在决赛中的五个动作惊艳了全世界.在这两场决赛中，7名裁判给选手的五个跳水动
作打分，两站裁判对全红婵的打分记录如下：（为了方便计算，采取分数四舍五入取整）
A组（蒙特利尔站）：80 80 82 78 93
B组（柏林站）：81 80 86 99 86
(1)请写出这10个分数的众数、极差以及A，B两组各自的平均成绩；
(2)请你根据所学的统计知识，分析两站比赛中，哪一站全红婵发挥更稳定？并说明理由.
【变式7-2】（2024·云南昆明·三模）甲、乙两位同学组成学习小组进行项目式互助学习，在共同完成
某个内容的互助学习后，甲、乙都参加了若干次测试，现从甲的测试成绩里随机抽取了7次成绩，从乙的
测试成绩里随机抽取了9次成绩，数据如下：
甲：93 95 81 72 80 82 92
乙：85 82 77 80 94 86 92 84 85
经计算得出甲、乙两人的测试成绩的平均数均为85.
(1)求甲乙两位同学测试成绩的方差；
(2)为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计量 ，其中 个数据的方差
为 ， 个数据的方差为 ，且 ．若 ，则认为两组数据有显著性差异，否则不能认
为两组数据有显著性差异.若 的临界值采用下表中的数据：
1 2 3 4 5 6 7 8
1 161 200 216 225 230 234 237 239
19.
2 18.5 19.0 19.2 19.3 19.3 19.4 19.4
2
9.1
3 10.1 9.55 9.28 9.01 8.94 8.89 8.85
2
6.3
4 7.71 6.94 6.59 6.26 6.16 6.09 6.04
96.1
5 6.61 5.79 5.41 5.05 4.95 4.88 4.82
9
4.5
6 5.99 5.14 4.76 4.39 4.28 4.21 4.15
3
4.1
7 5.59 4.74 4.35 3.97 3.87 3.79 3.73
2
3.8
8 5.32 4.46 4.07 3.69 3.58 3.50 3.44
4
例如： 对应的临界值 为5.41.请根据以上资料判断甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果
是否有显著性差异.
【变式7-3】（2024·宁夏银川·一模）滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一，如何利用更有效的方
法改造这些宝贵的土地资源，成为摆在我们面前的世界级难题．对盐碱的治理方法，研究人员在长期的实
践中获得了两种成本差异不大，且能降低滨海盐碱地 土壤层可溶性盐含量的技术，为了对比两
种技术治理盐碱的效果，科研人员在同一区域采集了12个土壤样本，平均分成A、B两组，测得A组土壤
可溶性盐含量数据样本平均数 ，方差 ，B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数
，方差 ．用技术1对A组土壤进行可溶性盐改良试验，用技术2对B组土壤进行可溶
性盐改良试验，分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下：
0.6 0.7
A组 0.68 0.69 0.72 0.74
6 1
0.4 0.4
B组 0.48 0.49 0.51 0.54
6 9
改良后A组、B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为 和 ，样本方差分别记为 和 ．
(1)求 ；
(2)应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？（若
，则认为技术能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为有显著降低．）【变式7-4】（2024·高三·青海西宁·开学考试）某新能源汽车配件厂生产一种新能源汽车精密零件，
为提高产品质量引入了一套新生产线，为检验新生产线所生产出来的零件质量有无显著提高，现同时用旧
生产线和新生产线各生产了10个零件，得到各个零件的质量指标的数据如下：
旧
5. 4. 4. 5. 5. 5. 5. 4. 5. 5.
生产
2 8 8 0 0 2 1 8 1 0
线
新
5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5.
生产
0 2 3 1 4 2 2 3 2 1
线
设旧生产线和新生产线所生产零件的质量指标的样本平均数分别为 和 ，样本方差分别为 和 ．
(1)求 ， 及 ；
(2)若 ，则认为新生产线生产零件的质量有显著提高，否则不认为有显著提高，现计
算得 ，试判断新生产线生产的零件质量较旧生产线生产的零件质量是否有显著提高.
【变式7-5】（2024·高三·黑龙江鸡西·期末）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，
分别从两厂随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位： ）记录下来并绘制出折线图：
(1)分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值；
(2)轮胎的宽度在 内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所
有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个
厂的轮胎相对更好?题型八：分层方差问题
【典例8-1】（2024·广东珠海·一模）甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．
甲班的平均成绩为72分，方差为90分 ；乙班的平均成绩为90分，方差为60分 ．那么甲、乙两班全部
90名学生的平均成绩是 分，方差是 分 ．
【典例8-2】（2024·山西太原·二模）为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例
分配的分层随机抽样方法抽取了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本的均值为
170，方差为15．女生样本的均值为160，方差为30，则由上述数据计算该校高一年级学生身高的均值是
，方差是 ．
【方法技巧】
分层随机抽样的方差
设样本容量为 ，平均数为 ，其中两层的个体数量分别为 ，两层的平均数分别为 ， ，方
差分别为 ，则这个样本的方差为
【变式8-1】为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.
在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本
的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16.已知
甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本平均数为 ，方差为
.（精确到0.1）
【变式8-2】（2024·高三·四川·期末）某校有3名百米短跑运动员甲、乙、丙，已知甲最近10次百米
短跑的时间（单位：s）的数据如下表：
第 第 第 第 第 第 第 第 第 第
1次 2次 3次 4次 5次 6次 7次 8次 9次 10次
时 1 12. 1 12. 1 11. 12. 11. 11. 1
间/s 2 4 2 5 2 8 2 5 6 2
(1)计算甲这10次百米短跑的时间的平均数与方差；
(2)经过计算，乙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12，0.08，丙最近10次百米短跑的
时间的平均数和方差分别为12.4，0.08，若要从甲、乙、丙三人中选一人代表学校参加市区的百米短跑比
赛，请判断该选择谁，说明你的理由．【变式8-3】某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”
网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频
率分布直方图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至
少为多少分；
(3)已知落在[60,70)内的平均成绩为67，方差是9，落在 内的平均成绩是73，方差是29，求落
在 内的平均成绩和方差.
（附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为： .记两组数据总体的样本
平均数为 ，则总体样本方差 ）
【变式8-4】某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别
比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价（单位：cm），计算得男生样本
的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据；
抽
取次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
序
身 15 15 15 15 16 16 15 16 16 16
高 5 8 6 7 0 1 9 2 9 3
记抽取的第i个女生的身高为 （ ，2，3，…，10），样本平均数 ，方差 .
参考数据： ， ， .
(1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在 范围内的人数；
(2)用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数 和标准差 ，求 ， 的值；
(3)如果女生样本数据在 之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本
身高的平均数与方差.
【变式8-5】2023年10月26日，中国的神舟十七号载人飞船与“天宫”空间站成功对接，形成三舱
三船组合体．某地区为了激发当地人民对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上
为认知程度高），结果认知程度高的有 人，这 人按年龄分成5组，其中第一组： ，第二组：
，第三组： ，第四组： ，第五组： ，得到如图所示的频率分布直方图．已知
第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这 人的第60百分位数（精确到0.1）；
(2)现从第四组和第五组用分层随机抽样的方法抽取6人，担任“党章党史”宣传使者．
①有甲（年龄36），乙（年龄42），且甲、乙确定入选，从6人中要选择两个人担任组长，求甲、乙
两人至少有一人被选上组长的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和 ，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分
别为42和1，估计这 人中35－45岁所有人年龄的平均数和方差．
【变式8-6】为进一步推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展
防骗知识大宣传活动.举办了“网络防骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成
绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所
示的频率分布直方图.(1)求图中 的值，根据频率分布直方图计算样本成绩的平均数和下四分位数；
(2)已知若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
， ， ； ， ， ，记总的样本平均数为 ，样本方差为 .
证明： ；
(3)已知落在[50,60)的平均成绩是59，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为65，方差是4，求两组样
本成绩的总平均数 和总方差 .
1．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）有一组样本数据 ，其中 是最小值，
是最大值，则（ ）
A． 的平均数等于 的平均数
B． 的中位数等于 的中位数
C． 的标准差不小于 的标准差
D． 的极差不大于 的极差
2．（多选题）（2021年全国新高考II卷数学试题）下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是（ ）
A．样本 的标准差 B．样本 的中位数
C．样本 的极差 D．样本 的平均数
3．（多选题）（2021年全国新高考I卷数学试题）有一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得
到新样本数据 ， ，…， ，其中 ( 为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
4．（2021年天津高考数学试题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取 部，统计其评分数据，将
所得 个评分数据分为 组： 、 、 、 ，并整理得到如下的频率分布直方图，则
评分在区间 内的影视作品数量是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行
抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
1．某校举行演讲比赛，10位评委对两位选手的评分如下：
甲 7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.9
乙7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5
选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数.那么，这两个选手的最
后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种
评分办法更好？为什么？
2．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下（单位：岁）：
甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17.
乙群：54，3，4，4，5，6，6，6，6，56.
（1）甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的
年龄特征？
（2）乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的
年龄特征？
3．某班4个小组的人数为10，10，x，8，已知该组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位
数.
4．数据 的方差和标准差分别为 .数据 的方差和标准差分别为 ，若成立，a，b为常数，证明 .
5．数据 的方差 ，证明：所有的 都相同.
6．已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
.记总的样本平均数为 ，样本方差为 .证明：
（1） ;
（2） .
易错点：不能正确提取图表信息
易错分析： 在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1．切记等高的小矩形的个数不要有
遗漏．另外，还要注意频率分布条形图和频率分布直方图是两个完全不同的概念，虽然它们的横轴表示的
内容是相同的，但是频率分布条形图的纵轴（矩形的高）表示频率；频率分布直方图的纵轴（矩形的高）
表示频率与组距的比值，其各小组的频率等于该小组上矩形的面积．
【易错题1】下表为某小区居民用户月均用水量数据的频数分布表（单位：吨）：
分组
频数 23 42 21 8 6
由该频数分布表画出的频数分布直方图中，各组长方形的高度之和为 ；由该频数分布表画出的频率
分布直方图中，各组长方形的高度之和为 .【易错题2】某大学有男生 名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校 名男生的体重，
并将这 名男生的体重（单位： ）分成以下六组： 、 、 、 、 、
，绘制成如下的频率分布直方图：
该校体重（单位： ）在区间 上的男生大约有 人．
答题模板：求百分位数
1、模板解决思路
解决本模板问题要理解百分位数的定义，严格按照百分位数的计算步骤求解.
2、模板解决步骤
第一步：按从小到大排列原始数据．
第二步：计算 ．
第三步：若 不是整数而大于 的比邻整数 ，则第 百分位数为第 项数据；若 是整数，则第 百
分位数为第 项与第 项数据的平均数．
【经典例题1】现有一组数据按照从小到大的顺序排列如下：4，6，7，7，8，9，11，14，15，19，则这
组数据的上四分位数为 .
【经典例题2】某机构研究得出10名肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为8，12，11，7，9，17，
14，13，12，15，则这10个数据的第70百分位数是 ．
