文档内容
第 01 讲 随机抽样、统计图表、用样本估计总体
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：随机抽样、分层抽样............................................................................................................2
题型二：统计图表................................................................................................................................3
题型三：频率分布直方图....................................................................................................................6
题型四：百分位数................................................................................................................................9
题型五：样本的数字特征....................................................................................................................9
题型六：总体集中趋势的估计..........................................................................................................11
题型七：总体离散程度的估计..........................................................................................................12
题型八：分层方差问题......................................................................................................................15
02 重难创新练....................................................................................................................................19
03 真题实战练....................................................................................................................................31题型一：随机抽样、分层抽样
1．（2024·云南·二模）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机
数表抽取10位同学参加，将这55位学生按 进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始
由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应
的学生编号为（ ）
062
4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
7
141
9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
0
512
5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617
4
A．51 B．25 C．32 D．12
【答案】A
【解析】依题意，前6个编号依次为：31，32，43，25，12，51，
所以选出来的第6个号码所对应的学生编号为51.
故选：A
2．为保证中小学生享有充足睡眠时间，促进学生身心健康发展，教育部办公厅发布《关于进一步加强中
小学睡眠管理工作的通知》，明确学生睡眠时间要求．已知某地区有小学生1200人，初中生900人，高中
生900人，教育部门为了了解该地区中小学生每天睡眠时间，现用样本量比例分配的分层抽样从该地区抽
取样本，经计算样本中小学生、初中生、高中生每天的平均睡眠时间分别为9.5小时、8小时、7小时，则
估计该地区中小学生每天的平均睡眠时间为（ ）小时．
A．7.5 B．8 C．8.3 D．8.5
【答案】C
【解析】由题意可设小学生、初中生、高中生中分别抽取4a人，3a人，3a人，
则 .
故选：C.
3．（2024·河南驻马店·二模）电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反
电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（ ）
A．6人 B．9人 C．12人 D．18人
【答案】B
【解析】设中年人抽取 人，青少年抽取 人，由分层随机抽样可知 ，
解得 ，故中年人比青少年多9人.
故选:B.
4．（2024·江西南昌·模拟预测）已知 三种不同型号的产品数量之比依次为 ，现用分层抽样的
方法抽取容量为 的样本，若样本中 型号产品有 件，则 为（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】B
【解析】因为 三种不同型号的产品数量之比依次为 ，
且用分层抽样的方法抽取一个容量为 的样本，
所以 型号产品被抽的抽样比为： ，
因为 型号产品有 件，所以 ，解得 .
故选：B.
题型二：统计图表
5．（2024·四川成都·三模）“数九”从每年“冬至”当天开始计算， 每九天为一个单位，冬至后的第 81
天， “数九”结束， 天气就变得温暖起来. 如图， 以温江国家基准气候站为代表记录了 2023 一 2024
年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温” (单位: )，下列说法正确的是
（ ）A．“四九”以后成都市“平均气温”一直上升
B．“四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 低 0.1 ”
C．“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差
D．“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差
【答案】D
【解析】对于A，“八九”、“九九”的平均气温比“七九”的“平均气温”低，故A错误；
对于B，“四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 高 ”，故B错误；
对于C，由图表，“平均气温”的波动比“多年平均气温” 的波动大，
则“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差大于“多年平均气温”的方差，故C错误；
对于D，“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差为： ，
“多年平均气温”的极差为 ，
则“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差，故D正确.
故选：D.
6．（2024·河北保定·二模）下图为2020年~2023年某国星级酒店数量､营业收入及餐饮收入比重，根据该
图，下列结论错误的是（ ）
A．2020年~2023年某国星级酒店数量逐年减少
B．2020年~2023年某国星级酒店营业收入最高不超过2000亿元C．2020年~2023年某国星级酒店餐饮收入比重最高的是2021年
D．2020年~2023年某国星级酒店餐饮收入比重的极差是1.54%
【答案】D
【解析】对A：2020年~2023年某国星级酒店数量依次为： ，
逐年减少，故A正确；
对B：2020年~2023年某国星级酒店营业收入最高为1907.77亿元，故B正确；
对C：2020年~2023年某国星级酒店餐饮收入比重最高的是2021年，故C正确；
对D：2020年 年某国星级酒店餐饮收入比重的极差是 ，
故D错误.
故选：D.
7．（2024·全国·模拟预测）已知2015—2022年和2023年1～9月某新能源汽车企业的营业收入（单位：亿
元）和净利润（单位：亿元）及2015—2022年营业收入的增长率的统计图如图所示，2023年第二、三、
四季度的净利润相比上一季度的增长率均为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．2015—2022年该企业年营业收入逐年增加
B．2015—2022年该企业年营业收入增长率最大的是2015年
C．2022年该企业年净利润超过2017—2021年年净利润总和
D．2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多约30亿元
【答案】C
【解析】选项A：2019年年营业收入低于2018年，故A错误；
选项B：2015—2022年该企业年营业收入增长率最大的是2022年，故B错误；
选项C：2022年该企业年净利润为166.2亿元，2017—2021年年净利润的总和为
（亿元），故C正确；
选项D：设2023年第一季度的净利润为 亿元，
由第二、三、四季度的净利润相比上一季度的增长率均为 ，
得 ，即 ，即2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多21.37亿元，故D错误．
故选：C
8．如图为某新能源汽车企业2015—2022年及2023年1~9月的营业额（单位：亿元）、净利润（单位：亿
元）及2015—2022年营业额增长率的统计图．已知2023年第二、三、四季度的净利润相比上季度均增长
10%，则下列结论正确的是（ ）
A．2015—2022年该企业的营业额逐年增加
B．2022年该企业的净利润超过2017—2021年该企业净利润的总和
C．2015—2022年该企业营业额增长率最大的是2015年
D．2023年该企业第四季度的净利润比第一季度的净利润多30多亿元
【答案】B
【解析】选项A：该企业2019年的营业额低于2018年，故A错误；
选项B：2022年该企业的净利润为166.2亿元，2017—2021年该企业净利润的总和为
（亿元）， ，故B正确；
选项C：2015—2022年该企业营业额增长率最大的是2022年，故C错误；
选项D：设2023年该企业第一季度的净利润为a亿元，
则2023年该企业第四季度的净利润为 ，
得 ，得 ，
故2023年该企业第四季度的净利润比第一季度的净利润多21.37亿元，故D错误．
故选：B
题型三：频率分布直方图
9．已知统计某校1 000名学生的某次数学水平测试成绩得到样本频率分布直方图如图所示，则直方图中实
数a的值是 ．【答案】0.020
【解析】由频率分布直方图的性质，得10(0.005＋0.015＋a＋0.035＋0.015＋0.010)＝1，解得a＝0.020.
10．（2024·高三·北京海淀·开学考试）某直播间从参与购物的人群中随机选出200人，并将这200人按年
龄分组，得到的频率分布直方图如图所示，则在这200人中年龄在 的人数 ，直方图中
.
【答案】
【解析】由频率分布直方图知，年龄在 的频率为 ，
所以 ；
由于 ，所以 .
故答案为：30；0.035
11．（2024·高三·北京石景山·期末）某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，
记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），
[80，90），[90，100]，并整理得到如右频率分布直方图，则图中的 值为 ，若全校学生参加同样
的测试，估计全校学生的平均成绩为 （每组成绩用中间值代替）.【答案】
【解析】由频率分布直方图中总面积为 ，
即 ，
解得 ，
，
故可估计全校学生的平均成绩为 .
故答案为： ； .
12．（2024·上海徐汇·一模）某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布
直方图如图所示，数据的分组依次为 ，若该校的学生总人数为1000，则成绩低
于60分的学生人数为 ．
【答案】
【解析】图中成绩低于60分的频率为 ，
则该校成绩低于60分的学生人数为 （人）
故答案为：
13．（2024·山东·一模）为了解某中职学校男生的身体发育情况，对随机抽取的100名男生的身高进行了
测量（结果精确到 ），并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，其中身高超过 的男生
的人数为 .
【答案】64
【解析】由频率分布直方图可知，组距为4，由于结果精确到1cm，故后三组身高超过 ，
身高超过 的频率为 ，故身高超过 的学生人数为 .
故答案为：64
题型四：百分位数
14．（2024·高三·四川·开学考试）已知一组数据： 的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为
.
【答案】
【解析】依题意， ，解得 ，
将数据从小到大排列可得： ，
又 ，则 分位数为 .
故答案为： .
15．数据 的第80百分位数为 ．
【答案】9.1
【解析】 ，则数据 的第80百分位数为
故答案为： .
16．（2024·浙江·模拟预测）随着某抽卡游戏在班级内流行，李华统计了6位同学获得某角色的抽取次数，
结果如下:10，60，90，80，20，180，则以上数据的下四分位数为 .
【答案】20
【解析】共有6个数据，则 向上取整为2，从小到大的第二个数据为20.
故答案为：20.
题型五：样本的数字特征
17．（多选题）某班语文老师对该班甲､乙､丙､丁4名同学连续7周每周阅读的天数（每周阅读天数可以是
）进行统计，根据统计所得数据对这4名同学这7周每周的阅读天数分别做了如下描述：
甲：中位数为3，众数为5；
乙：中位数为4，极差为3；
丙：中位数为4，平均数为3；
丁：平均数为3，方差为3.
那么可以判断一周阅读天数一定没有出现7天的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】ACD
【解析】对于A，因为中位数为3，众数为5，所以这7个数从小到大排列后，第4个数是3，所
以 中一定有一个数出现2次，5出现3次，所以这7个数中一定没有出现7，则 正确.
对于B，因为中位数为4，极差为3，所以这7个数可以是 ，则B错误.
对于C，若出现1个7，则这7个数从小到大排列后，后4个数之和最小为19，前3个数之和最小为3，
从而这7个数的平均数最小为 ，即这7个数的平均数不可能为3，故C正确.
对于 ，设这7个数分别为 ，则 ，
.
若 7，则
,
从而 这6个数可能是 或 或
或 或 或 或 或
或 或 ，这与 矛盾，
即这7个数中一定没有出现7，故D正确.
故选：ACD
18．在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是 ，则该组数据的方差 .
【答案】 /
【解析】因为平均数 ，
所以方差 .
故答案为：
19．（2024·高三·贵州·开学考试）已知一组样本数据1，2，m，6的极差为6，若 ，则 ，
这组数据的方差为 ．
【答案】 /
【解析】因为一组样本数据1，2，m，6的极差为6，且 ，
所以 ,解得 ，则 ，
所以方差为 .故答案为： ， .
20．若 ， ，…， 的平均数为3，方差为4，且 ， ，则新数据 ， ，
…， 的平均数和标准差分别为 ， ．
【答案】 6
【解析】 ， ，…， 的平均数为3， ，所以 ， ，…， 的平均数为
，
， ，…， 的方差为4， ，所以 ， ，…， 的方差为 ，故标准差
为6，
故答案为： ，6
题型六：总体集中趋势的估计
21．为了了解某小区2000户居民月用水量使用情况，通过随机抽样获得了100户居民的月用水量.下图是
调查结果的频率分布直方图.
(1)根据频率直方图估计某小区2000户居民月用水量使用大于3的户数；
(2)利用频率分布直方图估计该样本的众数和中位数（保留到0.01）.
【解析】（1）某小区2000户居民月用水量使用大于3的户数为 .
（2）由题可知，众数 ，
因为 ，
中位数 .
22．2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式．某校抽取100名学生进行了大运会知识
竞赛并记录得分（满分：100，所有人的成绩都在 内），根据得分将他们的成绩分成
六组，制成如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a的值；
(2)估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）、众数及中位数．
【解析】（1）由题意知 ，即 ，得 ．
（2）由频率分布直方图可知这100人竞赛成绩的平均数约为
（分）．
众数约为 （分）．
前3组的频率为 ，前4组的频率为 ，
所以中位数为 （分）．
题型七：总体离散程度的估计
23．（2024·全国·模拟预测）随着人们生活水平的提高，对零食的需求也在增加，特别是在年轻人群中，
零食已经成为他们日常消费的一部分，新兴的消费群体和消费观念为零食集合店的发展提供了巨大的机会
和包容性某公司为了了解青少年消费者对甲、乙两个品牌零食集合店的满意程度，统计了10名青少年消费
者对这两个品牌零食集合店的打分（满分10分），结果如下：
甲品牌零食集合店 6 10 7 9 6 5 6 8 8 5
1
乙品牌零食集合店 5 9 5 4 5 7 9 8 8
0
(1)求样本平均数 和方差 ；
(2)判断青少年消费者对甲、乙两个品牌零食集合店的满意度是否有明显差异（若 ，则
认为青少年消费者对甲、乙两个品牌零食集合店的满意度无明显差异，否则认为有明显差异）．
【解析】（1）由题意可得：
，，
，
.
（2）由（1）可得 ， ，
所以 ，
所以可以认为青少年消费者对甲、乙两个品牌零食集合店的满意度有明显差异．
24．（2024·陕西西安·一模）近年来“天宫课堂”受到广大中小学生欢迎，激发了同学们对科学知识的探
索欲望和对我国航天事业成就的自豪．为领悟航天精神，感受中国梦想，某校组织了一次“寻梦天宫”航
天知识竞赛（满分100分），各年级学生踊跃参加．校团委为了比较高一、高二学生这次竞赛的成绩，从
两个年级的答卷中各随机选取了50份，将成绩进行统计得到以下频数分布表：
成绩 [60,70) [80,90) [90,100]
高一学生人数 15 5 15 15
高二学生人数 10 10 20 10
试利用样本估计总体的思想，解决下列问题：
(1)从平均数与方差的角度分析哪个年级学生这次竞赛成绩更好（同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表）？
(2)校后勤部决定对参与这次竞赛的学生给予一定的奖励，奖励方案有以下两种：
方案一：记学生得分为 ，当 时，奖励该学生10元食堂代金券；当 时，奖励该学生25元
食堂代金券；当 时，奖励该学生35元食堂代金券；
方案二：得分低于样本中位数的每位学生奖励10元食堂代金券；得分不低于中位数的每位学生奖励30元
食堂代金券．
若高一年级组长希望本年级学生获得多于高二年级的奖励，则他应该选择哪种方案？
【解析】（1）设高一年级学生竞赛成绩的平均数为 ，方差为 .高二年级学生竞赛成绩的平均数为 ，
方差为 .
则 ，
，因 ，故高一年级学生这次竞赛成绩比较稳定集中，成绩更好；
（2）按照方案一，高一年级学生获得奖励为： 元，
而高二年级学生获得奖励为： 元，
即按照方案一，高一年级获得奖励少于高二；
按照方案二，依题意，所抽取的100名参加竞赛学生的成绩中位数为 ，
则样本中，高一年级学生成绩低于中位数的人数约为 人，则高一年级获得奖励为：
元；
高二年级学生成绩低于中位数的人数约为 人，则高二年级获得奖励为：
元.
因 ，即按照方案二，高一年级获得奖励多于高二.
故若高一年级组长希望本年级学生获得多于高二年级的奖励，则他应该选择方案二.
25．（2024·全国·模拟预测）某杨梅种植户从购买客户中随机抽取20位客户做质量随访调查，其中购买
系列（大棚种植）的10位，购买 系列（自然种植）的10位，从杨梅的大小、口感、水分、甜度进行综
合打分（满分100分），打分结果记录如下：
系列（大棚种植）：84 81 79 76 95 88 93 86 86 92
系列（自然种植）：92 95 80 75 83 87 90 80 85 93
(1)分别写出这两个系列综合打分的中位数．
(2)分别求出这两个系列综合打分的平均数与方差，通过上述数据结果进行分析，你认为推广哪种系列种植
更合适？
【解析】（1） 系列的打分结果从小到大排列为76，79，81，84，86，86，88，92，93，95，
所以 系列综合打分的中位数为 ．
系列的打分结果从小到大排列为75，80，80，83，85，87，90，92，93，95，
所以 系列综合打分的中位数为 ．
（2） 系列综合打分的平均数 ，
方差 ．
系列综合打分的平均数 ，方差 ．
因为 两个系列综合打分的中位数相等，平均数相等，方差满足 ，
所以推广 系列种植更合适．
题型八：分层方差问题
26．某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分
布直方图．
组别 分组 频数 频率
第1组 [20，30） 4 0.08
第2组 [30，40） a
第3组 [40，50） 20 b
第4组 [50，60） 0.32
第5组 [60，70） 4 0.08
合计 50 1.00
(1)求a，b，c的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数；
(2)已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的平均
数为51，方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差．
【解析】（1）由表可知第4组的频数为 ，所以 ， ，
第2组的频率为 ，
，
前50天内每日接待的顾客人数的平均数为 ．
（2）设前50天接待的顾客人数分别为 ， ，…， ，后50天接待的顾客人数分别为 ， ，…， ，
则由（1）知，前50天内每日接待的顾客人数的平均数 ，
方差 ，
后50天内每日接待的顾客人数的平均数 ，方差 ，
故这100天内每日接待的顾客人数的平均数为 ，
方差为
27．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，
更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，
从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：
，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)若从成绩位于区间 和[90,100]的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取
两份，求这两份答卷的成绩都落在 的概率；
(3)已知落在 的平均成绩是56，方差是7，落在 的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的
总平均数 和总方差 ．
【解析】（1）由每组小矩形的面积之和为1，则 ，解得
．
（2）由题可知，成绩位于区间 和[90,100]的问卷比例为 ，
因为从成绩位于区间 和[90,100]的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，
所以在区间 抽取5份，设成绩分别为 ，则区间[90,100]抽取2份，设成绩分别为 ，
所以从这7份中随机抽取两份的样本空间为：
，
设 “抽取两份答卷的成绩都落在 ”，则 ，
所以 ．
（3）因为落在 与 的频率比为 ，
所以 ， ．
28．某高校为了提升学校餐厅的服务水平，组织4000名师生对学校餐厅满意度进行评分调查，按照分层抽
样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图，并将分数从
低到高分为四个等级：
满意度评分 [80,90) [90,100]
不满
满意度等级 基本满意 满意 非常满意
意
(1)求图中a的值，并估计满意度评分的25%分位数；
(2)设在样本中，学生、教师的人数分别为m， ，记所有学生的评分为 ， ，…， ，
其平均数为 ，方差为 ，所有教师的评分为 ， ，…， ，其平均数为 ，方差为 ，总样本的平均
数为 ，方差为 ，若 ， ，求m的最小值.
【解析】（1）由频率分布直方图的性质，可得：
，解得 ，
设 分位数为 ，由分布直方图得 ，
所以 ，解得 .
（2）由 ，可得 ，
所以 ，所以 ，即 ，令 ，则 ，
由于 ，当且仅当 时，等号成立，
又因为 ，可得 ，即 ，
解得 或 ，
因为 且 ，所以 ，所以实数 的最小值为 .
29．（2024·高三·陕西榆林·期中）（1）已知甲乙两名同学的某次体育项目测试成绩分别为：甲：10，
13，12，14，16.乙：13，14，12，12，14.求甲乙两人成绩的平均数与方差，比较谁的成绩更稳定.
（2）某学校为了调查学生的学习情况，现用分层抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男生，30名女生，
且男生的平均成绩为70分，方差为4，女生的平均成绩为80分，方差为6，求所抽取样本的方差.
【解析】（1）设甲同学的平均分为 ，方差为 ；乙同学的平均分为 ，方差为 ；
，
，
，
，
因为 ，
所以乙同学的成绩较稳定.
（2）由题意，样本平均数为 ，
所以样本方差为： .
30．2023年10月22日，2023襄阳马拉松成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，某
单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 ，
第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图．已
知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数．
(2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试
成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计
这次第二组和第四组所有面试者的方差．
【解析】（1）由题意可知，
解得
可知每组的频率依次为 ， ，
所以这100名候选者面试成绩的平均数为：
．
（2）设第二组、第四组的平均数分别为 ，方差分别为 ，
且各组频率之比为：
，
所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者 人，
第四组面试者 人，
则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数 ，
第二组、第四组面试者的面试成绩的方差
故估计第二组、第
四组面试者的面试成绩的方差是 ．1．（2024·江苏镇江·三模）命题P： 的平均数与中位数相等；命题Q： 是
等差数列，则P是Q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】所以 的平均 数与中位数相等，
即 , P 是 Q 的必要条件；
若数据是1,1,1,3,3,5,5,5，则平均数和中位数相等，但 不是等差数列，
所以 P 推不出 Q ，所以 P 不是 Q 的充分条件；
所以 P 是 Q 的必要不充分条件．
故选： B .
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知有4个数据的平均值为5，方差为4，现加入数据6和10，则这6
个数据的新方差为（ ）
A． B． C．6 D．10
【答案】C
【解析】设原来的4个数依次为 ， ， ， ，
原来4个数据的平均值为5，方差为4，
，
，
，
，
现加入数据6和10，则这6个数据的平均数为
，
则这6个数据的方差为:.
故选：C.
3．（2024·天津河西·二模）某校高三年级举行数学知识竞赛，并将100名学生的竞赛成绩（满分100分，
成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（ ）
A．85 B．86 C．86.5 D．87
【答案】B
【解析】由 ，解得： ，所以前4组频率和为 ，
前5组频率和为 ，
设这组数据的第85百分位数为 ，则 ，解得： ，
故选：B
4．（2024·河南·三模）国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该
制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂
电池．质检人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能
量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（ ）．
A．325个 B．300个 C．225个 D．175个
【答案】C
【解析】根据分层随机抽样可知低能量密度锂电池的产量为 （个）．
故选：C
5．（2024·内蒙古包头·三模）某公司为了解用户对其产品的满意度，从使用该产品的用户中随机调查了
100个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．对该公司产品满意度评分低于60分的用户比例估计为35%
B．对该公司产品满意度评分不低于70分的用户比例估计为40%
C．估计该公司用户对产品的满意度评分的平均值不超过60分
D．估计该公司有一半以上的用户，对产品的满意度评分介于50分至80分之间
【答案】C
【解析】对于A，对该公司产品满意度评分低于60分的用户比例估计为：
，故A正确；
对于B，对该公司产品满意度评分不低于70分的用户比例估计为：
，故B正确；
对于C，估计该公司用户对产品的满意度评分的平均值为：
，故C错误；
对于D，对产品的满意度评分介于50分至80分之间的用户比例为：
，
估计该公司有一半以上的用户，对产品的满意度评分介于50分至80分之间，故D正确.
故选：C.
6．（2024·安徽合肥·模拟预测）某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是
10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和
为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．32
【答案】D
【解析】设丢失的数据为 ，则平均数为： ，
众数是 ，
若 ，则中位数为 ，此时 ，解得： （舍去），
若 ，则中位数为 ，此时 ，解得： ，
若 ，则中位数为 ，此时 ，解得： ，
所有可能的值为 ，其和为 .
故选：D.
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天
每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得
出了下列结论，其中正确的是（ ）A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天
B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3
C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时
D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时
【答案】C
【解析】对于A，该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的天数为： 天，故A错
误；
对于B，估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为 ，故B错误；
对于C， 的频率为 ， 的频率为 ，
则该学生每日完成作业时间的中位数为 ，故C正确；
对于D，估计该学生每日完成作业时间的众数为 ，故D错误；
故选：C
8．（2024·云南·模拟预测）某学校高三年级男生共有 个，女生共有 个，为调查该年级学生的年龄情
况，通过分层抽样，得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为 和 ，已知 ，则该校
高三年级全体学生年龄的方差为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】学校高三年级男生共有 个，所占比例为 ，女生 个，所占比例为 ，
故该校高三年级全体学生的年龄方差为： ，
当 时， ， ，
故选：C9．（多选题）（2024·广东·模拟预测）已知样本数据 ，则这组数据的（ ）
A．众数为 B．平均数为
C．上四分位数为 D．方差为
【答案】ACD
【解析】首先，我们把数据从小到大排列，得到 ，
对于A：观察得数据 出现的次数最多，所以众数为 ，故A正确；
对于B：平均数为 ，故B错误；
对于C：因为一共有 个数据，且 ，
所以上四分位数为第 个数，故上四分位数为 ，故C正确；
对于D：方差为 ，
，故D正确.
故选：ACD.
10．（多选题）（2024·安徽·模拟预测）移动互联网时代，智能终端市场商机无限，全球商家强势抢攻市
场．通过同比数据发现，中国智能手机市场呈现出积极的增长趋势．据报载， 年 月，中国市场智能
手机新机激活量为 万台，同比增长 （同比增长率 ），具体分
为 个品牌排名，统计数据如下表所示，则下列说法正确的有（ ）
排名 品牌 当月新机激活量/万台 同比新机激活量/万台
苹果
小米
荣耀
华为
其他
A．该月 个品牌新机激活量同比数据的极差为
B．该月 个品牌新机激活量数据的平均数大于中位数
C．该月“华为”品牌新机激活量同比增长率大于D．去年同期中国市场智能手机新机激活量总量小于 万台
【答案】BCD
【解析】对于A，同比新机激活量数据的极差为 ，故A错误；
对于B，该月新机激活量数据的平均数为 ，
该月 个品牌新机激活量数据中位数为401.4，故B正确；
对于C，去年同期“华为”品牌新机激活量为 ，
所以同比增长率为 ，故C正确；
对于D，设去年同期中国市场智能手机新机激活量为 ，由题意可得 ，解得
，故D正确．
故选：BCD．
11．（多选题）（2024·湖南邵阳·三模）为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木，测量
底部周长（单位：cm），所得数据均在区间 内，其频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．图中 的值为0.025
B．样本中底部周长不小于110cm的树木有12株
C．估计该片经济林中树木的底部周长的 分位数为115
D．估计该片经济林中树木的底部周长的平均数为104（每组数据用该组所在区间的中点值作代表）
【答案】AC
【解析】对于A中，由频率分布直方图的性质，可得 ，
解得 ，所以A正确；
对于B中，由频率分布直方图，可得不小于110 cm的频数为 ，
所以不小于110 cm的树木有 株，所以B错误；
对于C中，由频率分布直方图得，前三个矩形的面积为 ，
前四个矩形的面积为 ，所以 分位数位于区间 ，则 ，所以C正确；
对于D中，由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：
，所以D错误；
故选：AC.
12．（2024·陕西西安·三模）某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种零件，经统计，甲车间生产的100个
零件中的次品率为0.03，乙车间生产的200个零件中的次品率为0.02，丙车间生产的200个零件中的次品
率为0.03，则该厂零件的次品率的估计值为 ．
【答案】0.026/
【解析】该厂零件的次品率的估计值为 ．
故答案为：
13．（2024·安徽·模拟预测）某小学对四年级的某个班进行数学测试，男生的平均分和方差分别为91和
11，女生的平均分和方差分别为86和8，已知该班男生有30人，女生有20人，则该班本次数学测试的总
体方差为 ．
【答案】
【解析】设全体同学数学成绩的平均分为 ，方差为 ，
记 ， ， ， ， ， ，
依题意有 ，
则
.
故答案为： .
14．（2024·四川成都·模拟预测）某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取
个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中位
数为 .（结果保留整数）【答案】
【解析】 ，解得 ，
由 ， ，
设中位数为 ，则 ，
有 ，解得 .
故答案为： .
15．（2024·内蒙古赤峰·二模）我国大部分省市已经实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式，
“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数(Raw Score)计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史
两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从化学、生物、政治、地理四门学
科中“再选”两门学科，以等级分(Grade Scoring)计入高考成绩.按照这个方案，“再选”学科的等级分赋
分规则如下：将考生的原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分
区间如下表：
等 级 A B C D E
人数比例 15% 35% 35% 13% 2%
赋分区间 [86,100] [71,85] [56,70] [41,55] [30,40]
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为
其中R₁，R₂分别表示原始分区间的最低分和最高分，( 分别表示等级赋分区间的最
低分和最高分，R表示考生的原始分，G 表示考生的等级分，规定原始分为R时，等级分为G.某次化学考
试的原始分最低分为45，最高分为94，呈连续整数分布，分成五组：第一组[45，55)，第二组[55,65), 第
三 组 [65,75), 第 四 组 [75,85), 第 五 组[85，95)，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组
的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
(1)根据频率分布直方图求a，b的值，并估计此次化学考试原始分的平均值；
(2)按照等级分赋分规则，估计此次考生化学成绩A等级的原始分区间；
(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某同学化学成绩的原始分为83，试计算其等级分.
【解析】（1）由题意可知: ，且 ，解得： ，
可知每组的频率依次为： ，
则该同学化学原始分的平均值为：
．
（2）由频率分布直方图知：原始分成绩位于区间 的占比为 ，
位于区间 的占比为 ，
因为成绩A等级占比为 ，所以等级A的原始分区间的最低分位于区间 ，估计等级A的原始分区
间的最低分为 ，
已知最高分为 ，所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为 ．
（3）由公式 ，得
，得 ，
所以该学生的等级分为 分.
16．（2024·宁夏银川·一模）滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一，如何利用更有效的方法改造这些
宝贵的土地资源，成为摆在我们面前的世界级难题．对盐碱的治理方法，研究人员在长期的实践中获得了
两种成本差异不大，且能降低滨海盐碱地30-60cm土壤层可溶性盐含量的技术，为了对比两种技术治理盐
碱的效果，科研人员在同一区域采集了12个土壤样本，平均分成 两组，测得 组土壤可溶性盐含量
数据样本平均数 ，方差 ，B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数 ，方差
．用技术1对 组土壤进行可溶性盐改良试验，用技术2对 组土壤进行可溶性盐改良试验，
分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下：
组
0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74
组
0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.51
改良后 组、 组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为 和 ，样本方差分别记为 和
(1)求 ；
(2)应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？（若
，则认为技术 能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为有显著降低）．
【解析】（1） ，，
，
.
（2）当 时， ， ，
，
，
应用技术1后，土壤可溶性盐含量没有显著降低，
当 时， ， ，
，
，
应用技术2后，土壤可溶性盐含量显著降低．
17．（2024·陕西榆林·二模）金华轨道交通金义东线金义段已于今年1月开通试运行，全长58.4公里，从
金华站到义乌秦塘站一路经过17座车站．万达广场站是目前客流量最大的站点，某小组在万达广场站作乘
客流量来源地相关调查，从上车人群中随机选取了200名乘客，记录了他们从来源地到万达广场站所花费
时间t．得到下表：
时间t（min）
人数（人） 10 60 70 30 20 10
(1)从在万达广场站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间t大于或等于18min的概率；
(2)估计所有在万达广场站上车的乘客花费时间t的中位数；
(3)已知 的10人，其平均数和方差分别为2，1； 的60人，其平均数和方差分别为9，2，
计算样本数据中 的平均数和方差．
注：已知 的平均数为a，方差为b， 的平均数为c，方差为d，
的平均数为e，则 的方差为 ．
【解析】（1）花费时间t大于或等于18min的乘客人数为60，所以该乘客花费时间t大于或等于18min的概率 .
（2）由表格数据知：花费时间 小于 分钟的频率为 ，花费时间 小于 分钟的频率为
，
因此花费时间t的中位数 ， ，解得： ，
所以估计所有在万达广场站上车的乘客花费时间t的中位数为 .
（3）样本数据中 的平均数 ；
方差 .
18．（2024·新疆·三模）某教育部门印发的文件《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调
“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”.现调查了1万个当地
学生的时间利用信息，得出下图.
(1)根据上图分别计算小学、初中两个学段睡眠时长的平均值及方差；（结果保留两位小数）
(2)从学习时间大于睡眠时间的年级中随机挑选两个年级进行问卷调查，求选出的两个年级均来自高中的概
率；
(3)与高中生相比，大学生在时间管理方面有哪些变化，据此提出一条对大学生的建议.
【解析】（1）设小学生的平均睡眠时间为 ，方差为 ；设初中生的平均睡眠时间为 ，方差为 .
，，
.
（2）设事件 为两个年级均来自高中，则 .
（3）与高中生相比，大学生的学习时间减少了近4个小时，睡眠时间增加了近一个小时，建议大学生充实
在校生活，增加学习时间以更好地提升自己.(答案不唯一）
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，
得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200）
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
【答案】C
【解析】对于 A, 根据频数分布表可知, ,
所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误；
对于B，亩产量不低于 的频数为24+10=34，
所以低于 的稻田占比为 ，故B错误；
对于C，稻田亩产量的极差最大为 ，最小为 ，故C正确；
对于D，由频数分布表可得，平均值为
，故D错误.
故选；C.2．（2023年天津高考数学真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”.
鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花
萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为 ，利用最小二
乘法求得相应的经验回归方程为 ，根据以上信息，如下判断正确的为（ ）
A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系
B．花瓣长度和花萼长度负相关
C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
【答案】C
【解析】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，
把 代入 可得 ，C选项正确；
由于 是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据
的相关系数不一定是 ，D选项错误
故选：C
3．（2022年新高考天津数学高考真题）将1916到2015年的全球年平均气温（单位： ），共100个数
据，分成6组： ，并整理得
到如下的频率分布直方图，则全球年平均气温在区间 内的有（ ）
A．22年 B．23年 C．25年 D．35年
【答案】B【解析】全球年平均气温在区间 内的频率为 ，
则全球年平均气温在区间 内的有 年.
故选：B.
4．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了
解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位
社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】B
【解析】讲座前中位数为 ,所以 错；
讲座后问卷答题的正确率只有一个是 个 ,剩下全部大于等于 ,所以讲座后问卷答题的正确率
的平均数大于 ,所以B对；
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所
以C错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为 ，
讲座前问卷答题的正确率的极差为 ,所以 错.
故选:B.
5．（2022年新高考北京数学高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化
碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和
的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错
误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
6．（2024年上海市1月春考数学试题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果
34箱．
(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，
单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
【解析】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，
样本空间的样本点的个数 ，
A事件的样本点的公式 ，
所以 ；
（2）因为一级果箱数：二级果箱数 ，
所以8箱水果中有一级果抽取 箱，二级果抽取 箱；
（3）设一级果平均质量为 ，方差为 ，二级果质量为 ，方差为 ，总体样本平均质量为 ，方差为 ，
因为 ， ， ， ，
所以 克，
克 ．
预估平均质量为 克．
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进
行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个
用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 ，
．试验结果如下：
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
53 54
伸缩率 545 551 522 575 541 568 596 548
3 4
52 53
伸缩率 536 543 530 560 522 550 576 536
7 3
记 ，记 的样本平均数为 ，样本方差为 ．
(1)求 ， ；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果
，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否
则不认为有显著提高）
【解析】（1） ，
，
，
的值分别为: ，
故
（2）由（1）知: ， ，故有 ,
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
8．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判
定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 ；误诊率是将未患病者判定为阳
性的概率，记为 ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率 ％时，求临界值c和误诊率 ；
(2)设函数 ，当 时，求 的解析式，并求 在区间 的最小值．
【解析】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为 ，所以 ，
所以 ，解得： ，
．
（2）当 时，
；
当 时，
,
故 ，
所以 在区间 的最小值为 ．
9．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产
品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和 ．
（1）求 ， ， ， ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 ，则认为新
设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【解析】（1） ，
，
，
.
（2）依题意， ， ，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
