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限时跟踪检测(二十九) 正、余弦定理的应用
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a,b,c成等比数列,且
cos(A-C)+cos B=.
(1)求角A,B,C;
(2)若b=2,延长BC至点D,使△ABD的面积为,求sin∠CAD.
2.(2024·河北唐山模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,
acos C+a·sin C=b.
(1)求角A;
(2)若点D在BC边上,AD平分∠BAC,且AD=,求△ABC的周长.3.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos B+bcos A=2ccos
C.
(1)求角C的大小;
(2)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围.
4.(2024·江苏南京师大附中测试)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,
c,且满足=+.
(1)求角B的大小;
(2)若asin B=12sin A,求△ABC面积的最大值.
高分推荐题
5.(2024·四川成都实验外国语学校月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,且5(sin A+sin C)b=12asin C.
(1)若a=2b-c,求cos B的值.
(2)是否存在△ABC,满足B为直角?若存在,求出△ABC的面积;若不存在,请说明
理由.解析版
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a,b,c成等比数列,且
cos(A-C)+cos B=.
(1)求角A,B,C;
(2)若b=2,延长BC至点D,使△ABD的面积为,求sin∠CAD.
解:(1)由A+B+C=π,得A+C=π-B,
∴cos B=-cos(A+C),∴cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)=,
∴sin Asin C=.
∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.
∴sin2B=sin Asin C=,∴sin B=.
方法一:∵|cos B|=.
又∵cos B==≥=,当且仅当a=c时,等号成立,
∴cos B=,a=c.
∵0,所以<<2,所以∈.
4.(2024·江苏南京师大附中测试)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,
c,且满足=+.
(1)求角B的大小;
(2)若asin B=12sin A,求△ABC面积的最大值.
解:(1)由=+,得=,则(2a-c)cos B=bcos C,由正弦定理得 2sin Acos B=sin
Ccos B+sin Bcos C,即2sin Acos B=sin(C+B)=sin A,进而得cos B=,由于B∈(0,
π),故B=.
(2)由asin B=12sin A以及正弦定理,得ab=12a b=12,由余弦定理得144=a2+c2
-2accos B,进而 144+ac=a2+c2,由均值不等式可得 144+ac=a2+c2≥2ac,解得
⇒
ac≤144,当且仅当a=c时取等号,故ac的最大值为144,所以S =acsin B≤×144×=
△ABC
36,故△ABC面积的最大值为36.
高分推荐题
5.(2024·四川成都实验外国语学校月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,且5(sin A+sin C)b=12asin C.
(1)若a=2b-c,求cos B的值.
(2)是否存在△ABC,满足B为直角?若存在,求出△ABC的面积;若不存在,请说明理由.
解:(1)因为a=2b-c,所以a+c=2b,又5(sin A+sin C)b=12asin C,
由正弦定理得5(a+c)b=12ac,所以=,所以由余弦定理得cos B==-1=×-1=.
(2)假设B为直角,则sin B=1,sin C=cos A,由题意结合正弦定理可得,(sin A+
sin C)sin B=sin A·sin C,即sin A+cos A=sin 2A,
上式两边平方得1+sin 2A=sin22A,
所以(9sin 2A+5)(4sin 2A-5)=0,因为00,4sin 2A-5<0,
与(9sin 2A+5)(4sin 2A-5)=0矛盾,
故不存在△ABC满足B为直角.