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限时跟踪检测(二十九) 正、余弦定理的应用
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a，b，c成等比数列，且
cos(A－C)＋cos B＝.
(1)求角A，B，C；
(2)若b＝2，延长BC至点D，使△ABD的面积为，求sin∠CAD．
2．(2024·河北唐山模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，
acos C＋a·sin C＝b.
(1)求角A；
(2)若点D在BC边上，AD平分∠BAC，且AD＝，求△ABC的周长．3．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos B＋bcos A＝2ccos
C．
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
4．(2024·江苏南京师大附中测试)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，且满足＝＋.
(1)求角B的大小；
(2)若asin B＝12sin A，求△ABC面积的最大值．
高分推荐题
5．(2024·四川成都实验外国语学校月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，且5(sin A＋sin C)b＝12asin C．
(1)若a＝2b－c，求cos B的值．
(2)是否存在△ABC，满足B为直角？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，请说明
理由．解析版
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a，b，c成等比数列，且
cos(A－C)＋cos B＝.
(1)求角A，B，C；
(2)若b＝2，延长BC至点D，使△ABD的面积为，求sin∠CAD．
解：(1)由A＋B＋C＝π，得A＋C＝π－B，
∴cos B＝－cos(A＋C)，∴cos(A－C)＋cos B＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝，
∴sin Asin C＝.
∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.
∴sin2B＝sin Asin C＝，∴sin B＝.
方法一：∵|cos B|＝.
又∵cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时，等号成立，
∴cos B＝，a＝c.
∵0<B<π，∴A＝B＝C＝.
方法二：若B＝，则cos B＝，
代入cos(A－C)＋cos B＝，
得cos(A－C)＝1.
∵0<A<π，0<C<π，∴A＝C＝.
若B＝，则cos B＝－.
代入cos(A－C)＋cos B＝，
得cos(A－C)＝2(舍去)．
综上，A＝B＝C＝.
(2)∵b＝2，∴AB＝2，
∴S ＝·AB·BD·sin＝，
△ABD
即×2×BD×＝，∴BD＝3，
∴CD＝1.
在△ACD中，由余弦定理，得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠DCA＝22＋12－2×2×1×
＝7.
∴AD＝.
又由正弦定理，得＝，
∴＝.
∴sin∠CAD＝＝＝.
2．(2024·河北唐山模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，
acos C＋a·sin C＝b.
(1)求角A；
(2)若点D在BC边上，AD平分∠BAC，且AD＝，求△ABC的周长．
解：(1)由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B，
在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin Ccos A，代入上式得sin Asin C＝
sin Ccos A，又sin C≠0，两边同时除以sin C，
得tan A＝，又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由题意得S ＝bcsin A＝AD·csin∠BAD＋AD·bsin∠CAD，
△ABC
即bc＝(b＋c)， ①
由余弦定理得4＝b2＋c2－bc， ②
由①②得(b＋c)2－(b＋c)＝4，
解得b＋c＝(负值舍去)，
所以△ABC的周长为＋2.
3．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos B＋bcos A＝2ccos
C．
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
解：(1)因为acos B＋bcos A＝2ccos C，
所以由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，
即sin(A＋B)＝2sin Ccos C．
因为A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C．
因为0<C<π，所以sin C≠0，所以cos C＝，
所以C＝.
(2)由(1)知C＝，所以A＝－B．
因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<且0<－B<，
所以<B<.
由正弦定理，得＝＝＝＝＋.
因为<B<，所以tan B>，所以<<2，所以∈.
4．(2024·江苏南京师大附中测试)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，且满足＝＋.
(1)求角B的大小；
(2)若asin B＝12sin A，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由＝＋，得＝，则(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理得 2sin Acos B＝sin
Ccos B＋sin Bcos C，即2sin Acos B＝sin(C＋B)＝sin A，进而得cos B＝，由于B∈(0，
π)，故B＝.
(2)由asin B＝12sin A以及正弦定理，得ab＝12a b＝12，由余弦定理得144＝a2＋c2
－2accos B，进而 144＋ac＝a2＋c2，由均值不等式可得 144＋ac＝a2＋c2≥2ac，解得
⇒
ac≤144，当且仅当a＝c时取等号，故ac的最大值为144，所以S ＝acsin B≤×144×＝
△ABC
36，故△ABC面积的最大值为36.
高分推荐题
5．(2024·四川成都实验外国语学校月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，且5(sin A＋sin C)b＝12asin C．
(1)若a＝2b－c，求cos B的值．
(2)是否存在△ABC，满足B为直角？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为a＝2b－c，所以a＋c＝2b，又5(sin A＋sin C)b＝12asin C，
由正弦定理得5(a＋c)b＝12ac，所以＝，所以由余弦定理得cos B＝＝－1＝×－1＝.
(2)假设B为直角，则sin B＝1，sin C＝cos A，由题意结合正弦定理可得，(sin A＋
sin C)sin B＝sin A·sin C，即sin A＋cos A＝sin 2A，
上式两边平方得1＋sin 2A＝sin22A，
所以(9sin 2A＋5)(4sin 2A－5)＝0，因为0<sin 2A≤1，
所以9sin 2A＋5>0,4sin 2A－5<0，
与(9sin 2A＋5)(4sin 2A－5)＝0矛盾，
故不存在△ABC满足B为直角．
