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限时跟踪检测(二十三) 同角三角函数基本关系式及诱导公式
一、单项选择题
1．下列各数中与sin 2 024°的值最接近的是( )
A. B.
C．－ D．－
2．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α
＝( )
A. B. C. D.
3．在△ABC中，sin A·cos A＝－，则cos A－sin A＝( )
A．－ B．－
C. D．±
4.化简的结果是( )
A．sin 3－cos 3 B．cos 3－sin 3
C．±(sin 3－cos 3) D．以上都不对
5．(2024·河南郑州模拟)已知角α∈，且tan2α－3tan αsin α－4sin2α＝0，则sin(α＋2
023π)＝( )
A. B.
C．－ D．－
6．集合A＝{sin α，cos α，1}，集合B＝{sin2α，sin α＋cos α，0}，且A＝B，则sin2
019α＋cos2 018α＝( )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
7．(2024·山东聊城模拟)已知α，β∈，且满足sin αcos β－2cos αsin β＝0，则tan(2π
＋α)＋tan的最小值为( )
A．2 B. C．1 D．2
8．(2024·河北衡水模拟)已知cos＝，且－π<α<－，则cos＝( )
A. B.
C．－ D．－
9．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都
别想再出来．数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数
字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字
串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把
这个数字设为a，则sin＝( )
A. B．－ C. D．－
二、多项选择题
10．在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin＝cos
C．tan(A＋B)＝－tan C
D．cos(A＋B)＝cos C三、填空题与解答题
11．(2024·北京模拟)已知函数f(x)＝sin 2x.若非零实数 a，b，使得f(x＋a)＝bf(x)对
x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a＝________，b＝________.(只需写出一组)
12．若sin(3π＋θ)＝，则＋＝________.
13．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
高分推荐题
14．(2024·名师原创)已知α，β∈(0,2π)，且α<β，若关于x的方程(x＋sin α)(x＋sin β)
＋1＝0有实数根，则代数式＝________.
解析版
一、单项选择题
1．下列各数中与sin 2 024°的值最接近的是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：2 024°＝5×360°＋180°＋44°，
∴sin 2 024°＝－sin 44°和－sin 45°最接近，故选D.
答案：D
2．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α
＝( )
A. B. C. D.
解析：由已知得消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，化
简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角)．
答案：C
3．在△ABC中，sin A·cos A＝－，则cos A－sin A＝( )
A．－ B．－
C. D．±
解析：∵在△ABC中，sin A·cos A＝－，
∴A为钝角，∴cos A－sin A<0，
∴cos A－sin A＝－
＝－
＝－＝－.
答案：B
4.化简的结果是( )
A．sin 3－cos 3 B．cos 3－sin 3
C．±(sin 3－cos 3) D．以上都不对解析：sin(π－3)＝sin 3，cos(π＋3)＝－cos 3，
∴原式＝
＝＝|sin 3－cos 3|.
∵<3<π，∴sin 3>0，cos 3<0.
∴原式＝sin 3－cos 3，故选A.
答案：A
5．(2024·河南郑州模拟)已知角α∈，且tan2α－3tan αsin α－4sin2α＝0，则sin(α＋2
023π)＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：因为tan2α－3tan αsin α－4sin2α＝0，所以(tan α－4sin α)(tan α＋sin α)＝0，因
为α∈，所以tan α<0且sin α<0，所以tan α－4sin α＝0，即＝4sin α，所以cos α＝，所
以sin α＝－＝－，所以sin(α＋2 023π)＝－sin α＝.
答案：A
6．集合A＝{sin α，cos α，1}，集合B＝{sin2α，sin α＋cos α，0}，且A＝B，则sin2
019α＋cos2 018α＝( )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
解析：当sin α＝0时，sin2α＝0，此时集合B中不符合集合元素的互异性，故舍去；
当cos α＝0时，A＝{sin α，0,1}，B＝{sin2α，sin α，0}，此时sin2α＝1，得sin α＝－1(sin
α＝1舍去)，所以sin2 019α＋cos2 018α＝－1.故选C.
答案：C
7．(2024·山东聊城模拟)已知α，β∈，且满足sin αcos β－2cos αsin β＝0，则tan(2π
＋α)＋tan的最小值为( )
A．2 B. C．1 D．2
解析：因为sin αcos β－2cos αsin β＝0，α，β∈，所以tan α>0，tan β>0，tan α＝
2tan β，所以tan(2π＋α)＋tan＝tan α＋＝2tan β＋≥2，当且仅当tan β＝时等号成立．
答案：D
8．(2024·河北衡水模拟)已知cos＝，且－π<α<－，则cos＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：因为＋＝，
所以cos＝sin＝sin.
因为－π<α<－，
所以－<α＋<－.
又cos＝>0，
所以sin＝－，
所以cos＝－.
答案：D
9．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来．数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数
字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字
串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把
这个数字设为a，则sin＝( )
A. B．－ C. D．－
解析：根据“数字黑洞”的定义，任取数字2 021，经过第一步之后变为314，经过第
二步之后变为123，再变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即a＝123，
所以sin＝sin＝sin＝－cos＝－.
答案：D
二、多项选择题
10．在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin＝cos
C．tan(A＋B)＝－tan C
D．cos(A＋B)＝cos C
解析：在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确；
sin＝sin＝cos，B正确；
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，C正确；
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误．
答案：ABC
三、填空题与解答题
11．(2024·北京模拟)已知函数f(x)＝sin 2x.若非零实数 a，b，使得f(x＋a)＝bf(x)对
x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a＝________，b＝________.(只需写出一组)
解析：当a＝时，f＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，即b＝－1，故当a＝，b＝－1时，f(x＋a)
＝bf(x)对x∈R都成立．(答案不唯一)
答案： －1
12．若sin(3π＋θ)＝，则＋＝________.
解析：由sin(3π＋θ)＝，
可得sin θ＝－，
∴＋
＝＋
＝＋
＝
＝＝＝18.
答案：18
13．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)＋的值；(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解：(1)原式＝＋
＝＋
＝＝sin θ＋cos θ.
由条件知sin θ＋cos θ＝，
故＋＝.
(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，
又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，可得m＝.
(3)由
解得 或
又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.
高分推荐题
14．(2024·名师原创)已知α，β∈(0,2π)，且α<β，若关于x的方程(x＋sin α)(x＋sin β)
＋1＝0有实数根，则代数式＝________.
解析：整理方程(x＋sin α)(x＋sin β)＋1＝0，得x2＋(sin α＋sin β)x＋sin αsin β＋1＝0.
由题意得Δ＝(sin α＋sin β)2－4sin αsin β－4≥0，即(sin α－sin β)2≥4①.
因为－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，
所以sin α－sin β∈[－2,2]，
从而(sin α－sin β)2≤4②.
由①②得sin α－sin β＝±2，
所以或
因为α，β∈(0,2π)且α<β，
所以α＝，β＝，即
因此＝
＝＝.
答案：
