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限时跟踪检测(四) 基本不等式
一、单项选择题
1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
2．已知x＞0，y＞0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为( )
A． B．2
C． D．2
3．用一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为( )
A． B．
C． D．L2
4．若x＜0，则函数y＝x2＋－x－的最小值是( )
A．－ B．0
C．2 D．4
5.(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B．
C．3 D．
6．已知x＞0，则函数f(x)＝的最小值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
7．(2024·山东泰安模拟)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，若不等式＋≥m2＋7m恒成立，
则实数m的取值范围是( )
A．－8≤m≤1 B．m≤－8或m≥1
C．－1≤m≤8 D．m≤－1或m≥8
8．(2024·河南安阳模拟)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里
购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使
天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；
最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g，则( )
A．m＞10 B．m＝10
C．m＜10 D．以上都有可能
二、多项选择题
9．下列不等式一定成立的有( )
A．x＋≥2
B．2x(1－x)≤
C．x2＋≥2－1
D．＋≥2
10．(2022·新高考全国Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( )
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1三、填空题与解答题
11．(1)当x＞1时，x＋的最小值为__________．
(2)当x≥4时，x＋的最小值为__________．
12．(1)(2024·江苏南京调研)设a≥0，b≥0，且2＋b＝1，则的最小值为________．
(2)若正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为________；2x＋y的最大值为
________．
13．(2024·安徽黄山模拟)已知函数f(x)＝k－|x－4|，x∈R，且f(x＋4)≥0的解集为[－
1，1]．
(1)求k的值；
(2)若a，b，c是正实数，且＋＋＝1，求证：a＋b＋c≥1.
高分推荐题
14．(2024·天津静海区模拟)已知正实数 a，b，c，a＋b＝3，则＋＋的最小值为
________．
解析版
一、单项选择题
1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：∵2x＋2y≥2＝2，当且仅当2x＝2y时，等号成立，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2.故
选D．
答案：D
2．已知x＞0，y＞0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为( )
A． B．2
C． D．2
解析：∵x＞0，y＞0，x＋2y≥2，当且仅当x＝2y时，等号成立，∴4＝4xy－(x＋
2y)≤4xy－2，
即4≤4xy－2，
即(－2)(＋1)≥0，
∴≥2，∴xy≥2.故选D．
答案：D3．用一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为( )
A． B．
C． D．L2
解析：设菜园平行于墙的一边长为x，其邻边长为y，则x＋2y＝L，面积S＝xy，
因为x＋2y≥2，
所以xy≤＝，
当且仅当x＝2y＝，即x＝，y＝时，S ＝，故选A．
max
答案：A
4．若x＜0，则函数y＝x2＋－x－的最小值是( )
A．－ B．0
C．2 D．4
解析：y＝x2＋－x－≥2＋2＝4，当且仅当x＝－1时，等号成立．
答案：D
5.(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B．
C．3 D．
解析：当a＝－6或a＝3时，＝0；当－6＜a＜3时，≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即
a＝－时，等号成立．
答案：B
6．已知x＞0，则函数f(x)＝的最小值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：因为x＞0，所以f(x)＝＝x＋－5≥2－5＝－1，当且仅当x＝，即x＝2时，等号
成立，即当x＞0时，函数f(x)的最小值为－1，故选A．
答案：A
7．(2024·山东泰安模拟)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，若不等式＋≥m2＋7m恒成立，
则实数m的取值范围是( )
A．－8≤m≤1 B．m≤－8或m≥1
C．－1≤m≤8 D．m≤－1或m≥8
解析：∵x＞0，y＞0，x＋2y＝1，∴＋＝(x＋2y)·＝＋＋4≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x
＝2y＝时，等号成立，
∵不等式＋≥m2＋7m恒成立，∴m2＋7m≤8，解得－8≤m≤1.故选A．
答案：A
8．(2024·河南安阳模拟)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里
购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使
天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；
最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g，则( )
A．m＞10 B．m＝10
C．m＜10 D．以上都有可能解析：由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a，右臂长为b，则a≠b，设先称得黄
金为x g，后称得黄金为y g，则bx＝5a，ay＝5b，∴x＝，y＝，∴x＋y＝＋＝5≥5×2＝
10，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，但a≠b，等号不成立，即x＋y＞10.因此顾客实际
购得的黄金为m＞10.故选A．
答案：A
二、多项选择题
9．下列不等式一定成立的有( )
A．x＋≥2
B．2x(1－x)≤
C．x2＋≥2－1
D．＋≥2
解析：对于A，当x<0时，x＋<0，故A错误；对于B,2x(1－x)＝－2x2＋2x＝－22＋
≤，故B错误；对于C，x2＋＝x2＋1＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当x2＝－1时，等号成立，
故C正确；对于D，＋≥2＝2，当且仅当x＝1时，等号成立，故D正确．故选CD．
答案：CD
10．(2022·新高考全国Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( )
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
解析：对于A，B，由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－3xy＝1，而xy＝≤2，即(x＋y)2≤4，当
且仅当x＝y时，等号成立，所以－2≤x＋y≤2，所以A不正确，B正确；对于C，D，由x2
＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，当且仅当x＝y时，等号成立，所以x2＋y2≤2，所以C正
确；当x＝，y＝－时，x2＋y2<1，所以D不正确．故选BC．
答案：BC
三、填空题与解答题
11．(1)当x＞1时，x＋的最小值为__________．
(2)当x≥4时，x＋的最小值为__________．
解析：(1)∵x＞1，∴x－1＞0.
∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5，
当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立．
∴x＋的最小值为5.
(2)∵x≥4，∴x－1≥3.
∵函数y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，
∴当x－1＝3，即x＝4时，y＝(x－1)＋＋1有最小值.
答案：(1)5 (2)
12．(1)(2024·江苏南京调研)设a≥0，b≥0，且2＋b＝1，则的最小值为________．
(2)若正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为________；2x＋y的最大值为
________．
解析：(1)因为2＋b＝1，所以a＝2＝，所以＝＝＋－≥2－＝0，当且仅当a＝0，b＝1
时，等号成立．(2)∵1－xy＝4x2＋y2≥4xy，∴5xy≤1，∴xy≤，当且仅当y＝2x，即x＝，y＝时，等号成
立．
∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，∴(2x＋y)2－1＝3xy＝·2x·y≤2，即(2x＋y)2－
1≤(2x＋y)2，∴(2x＋y)2≤，∴2x＋y≤，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时，等号成立．
答案：(1)0 (2)
13．(2024·安徽黄山模拟)已知函数f(x)＝k－|x－4|，x∈R，且f(x＋4)≥0的解集为[－
1，1]．
(1)求k的值；
(2)若a，b，c是正实数，且＋＋＝1，求证：a＋b＋c≥1.
(1)解：因为f(x)＝k－|x－4|，
所以f(x＋4)≥0等价于|x|≤k.
由|x|≤k有解得k≥0，且其解集为{x|－k≤x≤k}．
又f(x＋4)≥0的解集为[－1,1]，故k＝1.
(2)证明：由(1)知，＋＋＝1，
又a，b，c是正实数，由均值不等式，得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝2b＝3c时，等号成立，
所以a＋b＋c≥1.
高分推荐题
14．(2024·天津静海区模拟)已知正实数 a，b，c，a＋b＝3，则＋＋的最小值为
________．
解析：由题意，＋＋＝c＋＝c＋＝c＋≥c＋＝2c＋，当且仅当＝，即a＝1，b＝2时等
号成立．又2c＋＝2(c＋1)＋－2≥2－2＝2－2，当且仅当2(c＋1)＝，即c＝－1时等号成立，
所以＋＋的最小值为2－2.
答案：2－2
