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限时跟踪检测(五十八) 最值与范围问题
1．(2024·江西南昌模拟)已知圆C过定点A(0，p)(p>0)，圆心C在抛物线x2＝2py上运
动，若MN为圆C在x轴上截得的弦，设|AM|＝m，|AN|＝n.
(1)当点C运动时，|MN|是否变化？试证明你的结论；
(2)求＋的最大值．
2．(2024·辽宁抚顺模拟)已知椭圆C 的方程为＋＝1，双曲线C 的左、右焦点分别为
1 2
C 的左、右顶点，而C 的左、右顶点分别是C 的左、右焦点．
1 2 1
(1)求双曲线C 的方程；
2
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A和B，且OA·OB>1(其中O为
2
原点)，求k的取值范围．
3．(2024·重庆模拟)已知焦点在y轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，离心率为，且过点，
不过椭圆顶点的动直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求△AOB面积的最大值，并求取得最值时直线OA，OB的斜率之积．
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(，)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且OP·OQ＝0，求|OP|2＋|
OQ|2的最小值．高分推荐题
5．(2024·河南洛平许济第二次质量检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，
F，F 分别为C的左、右焦点，点P(不在x轴上)在C上运动，且cos∠FPF 的最小值为.
1 2 1 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过F 的直线l与椭圆C交于M，N两点，记△FMN的内切圆的半径为r，求r的取
2 1
值范围．
解析版
1．(2024·江西南昌模拟)已知圆C过定点A(0，p)(p>0)，圆心C在抛物线x2＝2py上运
动，若MN为圆C在x轴上截得的弦，设|AM|＝m，|AN|＝n.
(1)当点C运动时，|MN|是否变化？试证明你的结论；
(2)求＋的最大值．
(1)证明：设C，
则|AC|＝，故圆C的方程为(x－x)2＋2＝x＋2，令y＝0，得(x－x)2＋＝x＋－x＋p2，
0 0
故(x－x)2＝p2，解得x＝x＋p，x＝x－p，故|MN|＝|x－x|＝2p不变化，为定值．
0 1 0 2 0 1 2
(2)解：由(1)不妨设M(x－p,0)，N(x＋p,0)，
0 0
故m＝，
n＝，
＋＝＝
＝＝
＝2＝2≤
2＝2，
当且仅当x＝，即x＝±p时取等号．
0
故＋的最大值为2.
2．(2024·辽宁抚顺模拟)已知椭圆C 的方程为＋＝1，双曲线C 的左、右焦点分别为
1 2
C 的左、右顶点，而C 的左、右顶点分别是C 的左、右焦点．
1 2 1
(1)求双曲线C 的方程；
2
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A和B，且OA·OB>1(其中O为
2
原点)，求k的取值范围．
解：(1)由题，在椭圆C 中，左、右焦点坐标为(－1,0)和(1,0)，左、右顶点分别为(－
1
2,0)和(2,0)，
因为双曲线C 的左、右焦点分别为C 的左、右顶点，而C 的左、右顶点分别是C 的
2 1 2 1
左、右焦点，
所以在双曲线C 中，设双曲线方程为－＝1，则a2＝1，c2＝4，所以b2＝c2－a2＝3，
2
所以双曲线C 的方程为x2－＝1.
2
(2)由(1)联立消去y并整理，得(k2－3)x2＋4kx＋7＝0，①
消去x并整理，得(k2－3)y2＋12y－12＋3k2＝0.②
设A(x，y)，B(x，y)，则x，x 为方程①的两根，y，y 为方程②的两根，
1 1 2 2 1 2 1 2
x·x＝，y·y＝，
1 2 1 2
OA·OB＝x·x＋y·y＝＋>1，
1 2 1 2
得k2>3或k2<1.③
又因为方程①中，Δ＝16k2－4×7(k2－3)＝－12k2＋84>0，得k2<7，④
所以③④联立得k的取值范围为(－，－)∪(－1,1)∪(，)．
3．(2024·重庆模拟)已知焦点在y轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，离心率为，且过点，
不过椭圆顶点的动直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求△AOB面积的最大值，并求取得最值时直线OA，OB的斜率之积．
解：(1)因为椭圆C的离心率为，
所以可设椭圆C的方程为＋＝1，
因为椭圆C过点，
所以b＝1，所以椭圆C的标准方程为＋x2＝1.
(2)设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立
得(k2＋4)x2＋2kmx＋m2－4＝0，
Δ＝16(k2＋4－m2)>0①，
x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
所以|x－x|＝
1 2
＝·，
又点O到直线AB的距离为d＝，
所以S ＝|AB|d
△AOB
＝··＝
＝2
＝2≤1，
故当＝，即k2＋4＝2m2时，
△AOB的面积取最大值1，此时满足①，
所以k ·k ＝＝＝＝＝－4，
OA OB
所以△AOB面积的最大值为1，此时直线OA，OB的斜率之积为－4.
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(，)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且OP·OQ＝0，求|OP|2＋|
OQ|2的最小值．
解：(1)因为e＝＝2，
所以c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2.
所以双曲线的方程为－＝1，
即3x2－y2＝3a2.
因为点M(，)在双曲线上，
所以15－3＝3a2.
所以a2＝4.
所以所求双曲线的方程为－＝1.
(2)设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，
则直线OQ的方程为y＝－x，
由得
所以|OP|2＝x2＋y2＝.
同理可得|OQ|2＝＝，所以＋＝＝＝.
设|OP|2＋|OQ|2＝t，
则t·＝2＋2＋2
≥2＋2＝4，
所以t≥＝24，
即|OP|2＋|OQ|2≥24(当且仅当|OP|＝|OQ|＝2时取等号)．
所以当|OP|＝|OQ|＝2时，
|OP|2＋|OQ|2取得最小值24.
高分推荐题
5．(2024·河南洛平许济第二次质量检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，
F，F 分别为C的左、右焦点，点P(不在x轴上)在C上运动，且cos∠FPF 的最小值为.
1 2 1 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过F 的直线l与椭圆C交于M，N两点，记△FMN的内切圆的半径为r，求r的取
2 1
值范围．
解：(1)由题意得a＝2，
设|PF|＝m，|PF|＝n，则m＋n＝2a＝4.
1 2
在△FPF 中，由余弦定理可得
1 2
cos∠FPF＝
1 2
＝＝－1
≥－1＝－1，
当且仅当m＝n时取等号，从而－1＝，得＝，所以b2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
由椭圆的定义可得△FMN的周长为4a＝8，
1
S ＝(|FM|＋|FN|＋|NM|)r＝4r，所以r＝S .
△F1MN 1 1 △F1MN
由题知，直线l的斜率不为0，
设l的方程为x＝ty＋1，
联立
整理可得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0，Δ>0，
且y＋y＝－，yy＝－.
1 2 1 2
因为S ＝S ＋S
△F1MN △F1F2M △F1F2N
＝|FF|·|y－y|
1 2 2 1
＝|FF|·
1 2
＝×2×
＝，
所以r＝S ＝.
△F1MN
令＝k，则k≥1，
r＝＝，令函数f(x)＝3x＋，x∈[1，＋∞)，
则f′(x)＝3－，
当x∈[1，＋∞)时，f′(x)＝3－>0恒成立，所以f(x)＝3x＋在[1，＋∞)上单调递增，
则3k＋≥4，所以0<≤，
即0
