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限时跟踪检测(十八) 导数与函数的极值与最值
一、单项选择题
1．若函数f(x)＝x3ln x，则( )
A．既有极大值，也有极小值
B．有极小值，无极大值
C．有极大值，无极小值
D．既无极大值，也无极小值
2．如图所示是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是( )
A．f(x)在[－2，－1]上单调递增
B．当x＝3时，f(x)取得最小值
C．当x＝－1时，f(x)取得极大值
D．f(x)在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减
3．(2024·云南玉溪模拟)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则c＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
4．(2024·山西太原模拟)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)
＝－，则函数g(x)＝f′(x)ex在区间[0,2]上的最小值为( )
A．－3e B．－2e C．e D．2e
5．(2024·海南八校联盟)已知函数f(x)＝3ln x－x2＋x在区间(1,3)上有最大值，则实数a
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p(p≥20)
元时的销售量为Q件，且Q＝8 300－170p－p2，则这批商品的最大毛利润(毛利润＝销售收
入－进货支出)为( )
A．30 000元 B．60 000元
C．28 000元 D．23 000元
7．如果存在函数g(x)＝ax＋b(a，b为常数)，使得对函数f(x)定义域内任意的x都有
f(x)≤g(x)成立，那么g(x)为函数f(x)的一个“线性覆盖函数”．已知f(x)＝－2xln x－x2，g(x)
＝－ax＋3，若g(x)为函数f(x)在区间(0，＋∞)上的一个“线性覆盖函数”，则实数a的取
值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，2]
C．(－∞，4] D．(－∞，6]
8．已知函数f(x)＝ex－3，g(x)＝1＋ln x，若f(m)＝g(n)，则n－m的最小值为( )
A．－ln 2 B．ln 2 C．2 D．－2
二、多项选择题9．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．f(a)
0 0
C．f(x)＋2x<0 D．f(x)＋2x>0
0 0 0 0
11．(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则( )
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
三、填空题与解答题
12．(2024·吉林长春模拟)已知y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1，且f′(x)＝
ln x＋1，则函数y＝f(x)的最小值为________．
13．(2024·山东潍坊模拟)某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量 y(千
克)与销售价格x(元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，x∈(3,6)．若该商品的成本为3元/千
克，则当销售价格为________元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．
14．给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)
＝0有实数解x，则称点(x，f(x))为函数y＝f(x)的拐点．已知f(x)＝ax＋sin x－cos x.
0 0 0
(1)求证：函数y＝f(x)的拐点M(x，f(x))在直线y＝ax上；
0 0
(2)当x∈(0,2π)时，讨论f(x)的极值点的个数．
高分推荐题
15．设函数f(x)＝mx2ex＋1，若对任意a，b，c∈[－3，1]，f(a)，f(b)，f(c)都可以作为
一个三角形的三边长，则m的取值范围为________．
解析版
一、单项选择题
1．若函数f(x)＝x3ln x，则( )
A．既有极大值，也有极小值
B．有极小值，无极大值C．有极大值，无极小值
D．既无极大值，也无极小值
解析：依题意，f′(x)＝3x2ln x＋x2＝x2(3ln x＋1)，x>0.令f′(x)＝0，解得x＝e，故当
x∈(0，e)时，f′(x)<0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，故当x＝e时，函数f(x)有极小值，且函
数无极大值．故选B.
答案：B
2．如图所示是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是( )
A．f(x)在[－2，－1]上单调递增
B．当x＝3时，f(x)取得最小值
C．当x＝－1时，f(x)取得极大值
D．f(x)在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减
解析：根据题图知，当x∈(－2，－1)，x∈(2,4)时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减；
当x∈(－1,2)，x∈(4，＋∞)时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增．
所以y＝f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在
(4，＋∞)上单调递增，故A不正确，D正确；
故当x＝－1时，f(x)取得极小值，C不正确；
当x＝3时，f(x)不是最小值，B不正确．
答案：D
3．(2024·云南玉溪模拟)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则c＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
解析：由题可得f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝3x2－4cx＋c2.因为函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2
处有极大值，所以f′(2)＝0，即c2－8c＋12＝0，解得c＝6或2.经检验当c＝2时，函数f(x)
在x＝2处取得极小值，不符合题意，应舍去，故c＝6.故选A.
答案：A
4．(2024·山西太原模拟)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)
＝－，则函数g(x)＝f′(x)ex在区间[0,2]上的最小值为( )
A．－3e B．－2e C．e D．2e
解析：由题意可得f′(x)＝x2＋2mx＋n，∵f′(x)为偶函数，∴m＝0，故f(x)＝x3＋nx＋2，
∵f(1)＝＋n＋2＝－，∴n＝－3.∴f(x)＝x3－3x＋2，则f′(x)＝x2－3.故g(x)＝ex(x2－3)，则g′
(x)＝ex(x2－3＋2x)＝ex(x－1)(x＋3)．据此可知函数g(x)在区间[0,1)上单调递减，在区间(1,2]
上单调递增，故函数g(x)在x＝1处存在极小值，即为最小值，g(1)＝e1·(12－3)＝－2e.
答案：B
5．(2024·海南八校联盟)已知函数f(x)＝3ln x－x2＋x在区间(1,3)上有最大值，则实数a
的取值范围是( )
A. B.C. D.
解析：f′(x)＝－2x＋a－，由题意易知即解得－＜a＜.故选B.
答案：B
6．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p(p≥20)
元时的销售量为Q件，且Q＝8 300－170p－p2，则这批商品的最大毛利润(毛利润＝销售收
入－进货支出)为( )
A．30 000元 B．60 000元
C．28 000元 D．23 000元
解析：设毛利润为L(p)元，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p
－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000(p≥20)，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝
0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．因为当20≤p＜30时，L′(p)＞0，当p＞30时，L′(p)＜0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)也是最大值，此时，L(30)＝23 000，
即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．故选D.
答案：D
7．如果存在函数g(x)＝ax＋b(a，b为常数)，使得对函数f(x)定义域内任意的x都有
f(x)≤g(x)成立，那么g(x)为函数f(x)的一个“线性覆盖函数”．已知f(x)＝－2xln x－x2，g(x)
＝－ax＋3，若g(x)为函数f(x)在区间(0，＋∞)上的一个“线性覆盖函数”，则实数a的取
值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，2]
C．(－∞，4] D．(－∞，6]
解析：由题意可知，f(x)≤g(x)对任意x∈(0，＋∞)恒成立，即 a≤2ln x＋x＋对任意
x∈(0，＋∞)恒成立．设h(x)＝2ln x＋x＋，则h′(x)＝＋1－＝，x＞0，易知h(x)在(0,1)上单
调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x) ＝h(1)＝4，故a≤4.
min
答案：C
8．已知函数f(x)＝ex－3，g(x)＝1＋ln x，若f(m)＝g(n)，则n－m的最小值为( )
A．－ln 2 B．ln 2 C．2 D．－2
解析：令t＝f(m)＝g(n)，则em－3＝t,1＋ln n＝t，所以m＝3＋ln t，n＝et－1，即n－m＝
et－1－3－ln t，令h(t)＝et－1－3－ln t，则h′(t)＝et－1－(t＞0)，令h′(t)＝0，得t＝1.当0＜t＜1
时，h′(t)＜0，h(t)单调递减；当t＞1时，h′(t)＞0，h(t)单调递增．所以h(t) ＝h(1)＝e0－3
min
－ln 1＝－2，即n－m的最小值为－2.故选D.
答案：D
二、多项选择题
9．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．f(a)e时，可能存在f(x)＞f(c)，C错误；对于D，由单调性
0
知f(e)＜f(d)．D错误．故选AB.
答案：AB
10．已知函数f(x)＝xln x＋x2，x 是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是( )
0
A．0
0 0
C．f(x)＋2x<0 D．f(x)＋2x>0
0 0 0 0
解析：∵函数f(x)＝xln x＋x2(x>0)，
∴f′(x)＝ln x＋1＋2x，易知f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∵x 是函数f(x)的极值点，
0
∴f′(x)＝0，即ln x＋1＋2x＝0.
0 0 0
∵f′＝>0，
∴当x>时，f′(x)>0.
又∵当x→0时，f′(x)→－∞，
∴0＜x＜，即A正确，B不正确；
0
又f(x)＋2x ＝xln x ＋x＋2x ＝x(ln x ＋x ＋2)＝x(1－x)＞0，故D正确，C不正确．
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
故选AD.
答案：AD
11．(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则( )
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
解析：由题意知f′(x)＝3x2－1.令f′(x)＝0，得x＝或x＝－.令f′(x)>0，得x<－或x>；令
f′(x)<0，得－0，f(x) ＝f＝－＋1>0.当x→＋∞时，f(x)→＋∞；当x→－
极大值 极小值
∞时，f(x)→－∞，所以f(x)有一个零点，所以B错误．因为f(x)＋f(－x)＝x3－x＋1＋(－x)3
＋x＋1＝2，所以曲线y＝f(x)关于点(0,1)对称，所以C正确．令f′(x)＝3x2－1＝2，得x＝1
或x＝－1，所以当切线的斜率为2时，切点为(1,1)或(－1,1)，则切线方程为y＝2x－1或y
＝2x＋3，所以D错误．故选AC.
答案：AC
三、填空题与解答题
12．(2024·吉林长春模拟)已知y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1，且f′(x)＝
ln x＋1，则函数y＝f(x)的最小值为________．
解析：根据题意，不妨设f(x)＝xln x＋C(C为常数)．由切线方程，得f(1)＝0，
即1·ln 1＋C＝0，
所以C＝0，所以f(x)＝xln x.
令f′(x)＝ln x＋1＝0，解得x＝，
所以当0时，f′(x)>0，
所以f(x)在上单调递减，
在上单调递增，
所以f(x) ＝f＝·ln ＝－.
min
答案：－
13．(2024·山东潍坊模拟)某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量 y(千
克)与销售价格x(元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，x∈(3,6)．若该商品的成本为3元/千
克，则当销售价格为________元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解析：由题意得，商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3)·＝2＋10(x－3)·(x
－6)2,30，当x∈(4,6)时，f′(x)<0，则函数f(x)在(3,4)上单调递增，
在(4,6)上单调递减，∴当x＝4时，函数f(x)取得最大值f(4)＝42.故当销售价格为4元/千克
时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
答案：4
14．给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)
＝0有实数解x，则称点(x，f(x))为函数y＝f(x)的拐点．已知f(x)＝ax＋sin x－cos x.
0 0 0
(1)求证：函数y＝f(x)的拐点M(x，f(x))在直线y＝ax上；
0 0
(2)当x∈(0,2π)时，讨论f(x)的极值点的个数．
(1)证明：∵f(x)＝ax＋sin x－cos x，
∴f′(x)＝a＋cos x＋sin x，
∴f″(x)＝－sin x＋cos x，
∵f″(x)＝0，∴－sin x＋cos x＝0.
0 0 0
而f(x)＝ax＋sin x－cos x＝ax.
0 0 0 0 0
∴点M(x，f(x))在直线y＝ax上．
0 0
(2)解：令f′(x)＝0，得a＝－2sin，作出函数y＝－2sin，x∈(0,2π)与函数y＝a的草图如
图所示．
由图可知，当a≥2或a≤－2时，f(x)无极值点；
当a＝－时，f(x)有一个极值点；
当－2＜a＜－或－＜a＜2时，f(x)有两个极值点．高分推荐题
15．设函数f(x)＝mx2ex＋1，若对任意a，b，c∈[－3，1]，f(a)，f(b)，f(c)都可以作为
一个三角形的三边长，则m的取值范围为________．
解析：设函数g(x)＝x2ex，x∈[－3,1]，则g′(x)＝x(x＋2)ex.
当－3≤x＜－2或0＜x≤1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当－2＜x＜0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．
又g(－3)＝，g(0)＝0，g(－2)＝，g(1)＝e，
所以g(x)的值域为[0，e]．
根据f(a)，f(b)，f(c)都可以作为一个三角形的三边长，
当m≥0时，2f(0)>f(1)，即2×1＞me＋1，
解得0≤m＜；
当m＜0时，2f(1)>f(0)，即2(me＋1)＞1，解得－＜m＜0.
综上可得，－＜m＜.
答案：
