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第2讲 等差数列
复习要点 1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项
和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.体会等差数列与一元一次函数
的关系．
一 等差数列的有关概念
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那
么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d表示．定义的
表达式为a － a ＝ d ( n ∈ N * ) ．
n＋1 n
2．等差数列的通项公式
若等差数列{a}的首项是a，公差是d，则其通项公式为a＝a ＋ ( n － 1) d .
n 1 n 1
3．等差中项
若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.
二 等差数列的有关公式
1．通项公式：a＝a ＋ ( n － 1) d .
n 1
2．前n项和公式：S＝na ＋ d 或S＝.
n 1 n
三 等差数列的常用性质
1．通项公式的推广：a＝a ＋ ( n － m ) d (n，m∈N*)．
n m
2．若{a}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a ＋ a ＝ a ＋ a .
n k l m n
3．若{a}是等差数列，公差为d，则a，a ，a ，…(k，m∈N*)是公差为md 的等
n k k＋m k＋2m
差数列．
4．数列S ，S －S ，S －S ，…也是等差数列．
m 2m m 3m 2m
5．S ＝(2n－1)a.
2n－1 n
6．等差数列{a}的前n项和为S，也为等差数列．
n n
常/用/结/论
1．已知数列{a}的通项公式是a ＝ pn ＋ q (其中p，q
n n
关于n的一次函数．
为常数)，则数列{a}一定是等差数列，且公差为p.
n
2．在等差数列{a}中，若a>0，d<0，则S 存在最大值；若a<0，d>0，则S 存在最
n 1 n 1 n
小值．
3．等差数列{a}的单调性：当d>0时，{a}是递增数列；当d<0时，{a}是递减数列；
n n n
当d＝0时，{a}是常数列．
n
4．数列 { a } 是等差数列 ⇔ S ＝ An 2 ＋ Bn (A，B为常数)．这里公差d＝2A.
n n
等差数列的一种判断方法．
1．判断下列结论是否正确．(1)等差数列{a}的单调性是由公差d决定的．(√)
n
(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()
(3)数列{a}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a ＝a＋a .(√)
n n＋1 n n＋2
(4)已知数列{a}的通项公式是a ＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a}一定是等差数
n n n
列．(√)
2．(2024·浙江金丽衢十二校联考)已知等差数列{a}的前n项和为S ，若a ＋a ＝5，则
n n 3 4
S＝________.
6
解析：∵{a}为等差数列，∴S＝×6＝×6＝15.
n 6
答案：15
3．已知数列{a}，{b}都是等差数列，S ，T 分别是它们的前n项和，并且＝，则＝
n n n n
________.
解析：由等差数列的求和公式可得＝＝＝＝2.
答案：2
4．已知等差数列{a}的通项公式为a＝2n－11，则数列{|a|}的前n项和T＝________.
n n n n
解析：设等差数列{a}的前n项和为S，则T＝
n n n
即T＝
n
答案：
题型 等差数列基本量的计算
典例1(1)(2023·全国甲卷，文)记S 为等差数列{a}的前n项和．若a ＋ a ＝ 10 ， a a ＝
n n 2 6 4 8
45，则S＝( )
5
本例可以用a，d来表示这两个条件方程，由方程组求解．
1
A．25 B．22
C．20 D．15
(2)(2023·全国乙卷，文)记S 为等差数列{a}的前n项和，已知a ＝ 11 ， S ＝ 40 .
n n 2 10
转化为a，d的方程组．
1
①求{a}的通项公式；
n
②求数列{|a|}的前n项和T.
n n
(1)解析：因为a ＋ a ＝ 10 ＝ 2 a ，所以a＝5，又
2 6 4 4
等差中项的性质．
aa ＝45，所以a ＝9.令公差为d，由a －a ＝4d＝4，解得d＝1，所以a ＝a －d＝4，
4 8 8 8 4 3 4
故S＝×5＝×5＝20，故选C.
5
(2)解：①设等差数列{a}的公差为d，则由题知，解得
n
方程思想的应用. 其实就是把条件转化为基本量的方程．
所以a＝a＋(n－1)d＝13－2(n－1)＝15－2n，n∈N*.
n 1
②因为a＝15－2n，n∈N*，所以a＝15－2＝13，S＝＝＝14n－n2.
n 1 n
当n≤7时，a>0，所以T＝S＝14n－n2；
n n n
当n>7时，T ＝ ( a ＋ a ＋ a ＋ a ＋ a ＋ a ＋ a ) － ( a ＋…＋ a ) ＝ S － ( S － S ) ＝ 2 S － S ＝n2
n 1 2 3 4 5 6 7 8 n 7 n 7 7 n－14n＋98.
这个转化是解题的技巧，借用S 来表达出T.
n n
综上，T＝
n
等差数列计算中的两个技巧
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a ，a ，d，n，S ，知其中三个
1 n n
就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量转换的作用，而 a 和d是等差数
1
列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用的方法．
对点练 1(1)(2023·全国乙卷，理)已知等差数列{a}的公差为，集合 S＝{cos a|
n n
n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab＝( )
A．－1 B．－
C．0 D.
(2)(2023·新高考全国Ⅰ卷)设等差数列{a}的公差为d，且d>1.令b＝，记S，T 分别为
n n n n
数列{a}，{b}的前n项和．
n n
①若3a＝3a＋a，S＋T＝21，求{a}的通项公式；
2 1 3 3 3 n
②若{b}为等差数列，且S －T ＝99，求d.
n 99 99
(1)解析：依题意，在等差数列{a}中，a ＝a ＋(n－1)·＝n＋，显然函数y＝cos的周期
n n 1
为3，而n∈N*，即cos a 最多有3个不同取值，又{cos a|n∈N*}＝{a，b}，则在cos a ，
n n 1
cos a ，cos a 中，cos a ＝cos a≠cos a 或cos a≠cos a ＝cos a 或cos a ＝cos a≠cos
2 3 1 2 3 1 2 3 1 3
a ，于是有cos θ＝cos或cos θ＝cos.当cos θ＝cos时，有θ＋＝2kπ，k∈Z，解得θ＝kπ
2
－，k∈Z，所以ab＝cos·cos＝－cos·cos kπ＝－cos2kπcos＝－；同理，当cos θ＝cos时，
解得θ＝kπ－，k∈Z，所以ab＝coscos＝cos2kπcos＝－.故选B.
答案：B
(2)解：①由3a ＝3a ＋a ，得3(a ＋d)＝3a ＋a ＋2d，整理得a ＝d，所以a ＝nd，b
2 1 3 1 1 1 1 n n
＝.
由S ＋T ＝21，得d＋2d＋3d＋＋＋＝21，整理得2d2－7d＋3＝0，解得d＝3或d＝
3 3
(舍)，故a＝3n.
n
②若{b}是等差数列，则b＋b＝2b，
n 1 3 2
即＋＝2×，所以aa＋6aa＝6aa，
2 3 1 2 1 3
所以(a＋d)(a＋2d)＋6a(a＋d)＝6a(a＋2d)，
1 1 1 1 1 1
整理得a－3ad＋2d2＝0，解得a＝d或a＝2d.
1 1 1
a．若a＝d，则a＝nd，b＝，
1 n n
由S －T ＝99，得50d－＝1，即50d2－d－51＝0，
99 99
解得d＝－1(舍)或d＝；
b．若a＝2d，则a＝(n＋1)d，b＝，
1 n n
由S －T ＝99，得51d－＝1，即51d2－d－50＝0，
99 99
解得d＝1(舍)或d＝－(舍)．
综上，d＝.题型 等差数列性质的多维研讨
维度1 等差数列项的性质
典例2(1)设公差不为0的等差数列{a}的前n项和为S ，已知S ＝ 3( a ＋ a ＋ a )，则m
n n 9 3 5 m
＝( )
巧用数列问题不但要求有方程思想，还应有整体认知．
A．9 B．8
C．7 D．6
(2)已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|
＝( )
A．1 B.
C. D.
解析：(1)因为S ＝9a ，所以9a ＝3(a ＋a ＋a )，所以a ＋a ＋a ＝3a ，即a ＋a ＝
9 5 5 3 5 m 3 5 m 5 3 m
2a，所以m＝7.故选C.
5
(2)由题设可知 4× ＋ · d ＝ 2 ＋ 2 ，得d＝，所以方程的四个根分别为，，，，
即a＋a＝2，a＋a＝2且a＝，易求d＝.
1 4 2 3 1
所以 | m － n | ＝＝ . 故选 C .
根与系数的关系：aa＝m，aa＝n.
1 4 2 3
等差数列项的性质
(1)等差数列中最常用的性质：①d＝，②若 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 a ＋ a ＝ a ＋ a .
m n p q
和的对称性．
(2)利用等差数列的性质(特别是感觉条件不够时)求解既简单，又迅速．
对点练2(1)(多选)(2024·山东淄博调研)已知等差数列{a}的公差为d，前n项和为S ，
n n
当首项a 和d变化时，a＋a＋a 是一个定值，则下列各数也为定值的是( )
1 2 8 11
A．a B．a
7 8
C．S D．S
13 15
(2)已知等差数列{a}的前n项和为S ，且满足a ＋a ＝7，a ＋a ＝73(m≥3)，S ＝2
n n 1 2 m m－1 m
020，则m的值为( )
A．100 B．101
C．200 D．202
解析：(1)由题意知a ＋a ＋a ＝a ＋d＋a ＋7d＋a ＋10d＝3a ＋18d＝3(a ＋6d)＝3a ，
2 8 11 1 1 1 1 1 7
∴a 是定值，
7
又∵S ＝＝13a，∴S 是定值．
13 7 13
(2)由已知得a ＋a ＋a ＋a ＝80，由等差数列的性质可知，a ＋a ＝a ＋a ，故a
1 m 2 m－1 1 m 2 m－1 1
＋a ＝40.又因为S ＝＝20m＝2 020，所以m＝101.故选B.
m m
答案：(1)AC (2)B
维度2 等差数列和的性质
典例3(1)已知等差数列{a}的前n项和为S，若S ＝1，S ＝5，则S ＝( )
n n 10 30 40A．7 B．8
C．9 D．10
(2)已知等差数列{a}共有2n＋1项，其中 奇数项之和为 290 ，偶数项之和为 261 ，则
n
应用S ＝(2n＋1)·a ， 以上知识点可先求a ＝29，再可求n的值. S ＝290＋
2n＋1 n＋1 n＋1 2n＋1
261＝(2n＋1)·a ，∴2n＋1＝19.
n＋1
a 的值为( )
n＋1
A．30 B．29
C．28 D．27
(3)(2024·湖南郴州模拟)已知S 为等差数列{a}的前n项和，满足a ＝3a ，a ＝3a －
n n 3 1 2 1
1，则数列的前10项和为( )
A. B．55
C. D．65
解析：(1)由等差数列的性质，知S ，S －S ，S －S ，S －S 成等差数列，设其公
10 20 10 30 20 40 30
差为d，
∴2(S －S )＝S ＋(S －S )，
20 10 10 30 20
∴S ＝ S ＋＝ 1 ＋＝ .
20 10
【另解】为等差数列，则，，，构成等差数列，这样求S .
40
∴d＝(S －S )－S ＝，
20 10 10
∴S －S ＝1＋3×＝3，∴S ＝8.故选B.
40 30 40
(2)奇数项共有n＋1项，其和为·(n＋1)＝·(n＋1)＝290，
∴ ( n ＋ 1) a ＝ 290 .S ＝(n＋1)a .
n＋1 奇 n＋1
偶数项共有n项，其和为·n＝·n＝na ＝ 261 ， S ＝n·a ，从而知S －S ＝a .
n＋1 偶 n＋1 奇 偶 n＋1
∴a ＝290－261＝29.
n＋1
故选B.
(3)设等差数列{a}的公差为d，
n
则 所以 a ＝ 1 ， d ＝ 1 ，
1
方程思想求a，d.
1
所以S＝n＋＝，
n
所以＝， 为等差数列．
所以－＝－＝，又S ＝1，所以是以1为首项，为公差的等差数列，数列的前10项和
1
T ＝10＋×＝.
10
故选C.
等差数列和的性质
在等差数列{a}中，S 为其前n项和，则：
n n
(1)数列S ，S －S ，S －S ，…也是等差数列．
m 2m m 3m 2m
(2)也为等差数列．
(3)S ＝n(a＋a )＝…＝n(a＋a )．
2n 1 2n n n＋1
(4)S ＝ (2 n － 1) a .
2n－1 nn为奇数时，S＝n·a ，a 为前n项的中间项．
n 中 中
(5)若n为偶数，则S －S ＝；若n为奇数，则S －S ＝a (中间项).\s\up7( )
偶 奇 奇 偶 中
对点练3(1)设S 是等差数列{a}的前n项和，若＝，则＝( )
n n
A. B.
C. D.
(2)设等差数列{a}与等差数列{b}的前n项和分别为S ，T ，若对任意自然数n都有＝，
n n n n
则＋的值为( )
A. B.
C. D．－1
解析：(1)令S＝1，则S＝3，
3 6
∴S＝S＋3＝6.
9 6
S ＝S＋4＝10，
12 9
∴＝.故选A.
(2)由题意，＋＝＝＝＝＝.
答案：(1)A (2)C
维度3 等差数列的最值问题
典例4在等差数列{a}中，设S 为其前n项和，且a<0，S ＝S ，则当n＝________时，
n n 1 3 11
S 最小．
n
解析：方法一：由S＝S ，得 3 a ＋ d ＝ 11 a ＋ d ，则 d ＝－ a .从而S
3 11 1 1 1 n
转化为d和a 的关系.
1
＝n2＋n＝－(n－7)2＋a.
1
又因为a<0，所以－>0.故当n＝7时，S 最小．
1 n
方法二：由于 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx 是关于x的二次函
体现S 的二次函数的性质．
n
数，且(n，S)在二次函数f(x)的图象上，由S ＝ S ，可知 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx 的图象关于直线
n 3 11
x ＝＝ 7 对称 ．数形结合，对称轴处的整数值n＝7时，有最小值．
由方法一可知a＝－>0，故当x＝7时，f(x)最小，即当n＝7时，S 最小．
n
方法三：由方法一可知d＝－a.
1
要使S 最小，则有
n
即
从通项公式的角度，发现符号变化分界点．
解得6.5≤n≤7.5，又n∈N*，故当n＝7时，S 最小．
n
方法四：由S ＝S ，可得a ＋ a ＋…＋ a ＋ a ＝ 0 ，即 4( a ＋ a ) ＝ 0 ，故 a ＋ a ＝ 0 ，又
3 11 4 5 10 11 7 8 7 8
由a<0，
1
从项的符号变化入手，寻找突破点．
S＝S 可知d>0，所以a<0，a>0，所以当n＝7时，S 最小．
3 11 7 8 n
故答案为7.
求等差数列前n项和最值的常用方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意
n∈N*.
(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使S 取得最值．
n
(3)邻项变号法：当a>0，d<0时，满足的项数n，使S 取最大值；当a<0，d>0时，
1 n 1
满足的项数n，使S 取最小值，即正项变负项处S 最大，负项变正项处S 最小．若有零项
n n n
则使S 取最值的n有两个.\s\up7( )
n
对点练4(1)在等差数列{a}中，a <0，a >0，且a >|a |，S 为数列{a}的前n项和，
n 12 13 13 12 n n
则使得S>0的n的最小值为( )
n
A．23 B．24
C．25 D．26
(2)(多选)(2024·山东济宁模拟)设等差数列{a}的公差为d，前n项和是S，已知S >0，
n n 14
S <0，则下列说法正确的有( )
15
A．a>0，d<0
1
B．a＋a>0
7 8
C．S 与S 均为S 的最大值
6 7 n
D．a<0
8
解析：(1)因为a <0，a >0，则公差 d>0，又a >|a |，所以 a ＋a >0，则S ＝＝
12 13 13 12 12 13 24
12(a ＋a )>0，S ＝＝23a <0，S ＝＝25a >0，所以使得S>0的n的最小值为24.
12 13 23 12 25 13 n
(2)因为S >0，S <0，所以S ＝＝7(a ＋a )＝7(a ＋a)>0，即a ＋a>0，因为S ＝＝
14 15 14 1 14 7 8 7 8 15
15a<0，所以a<0，所以a>0，所以等差数列{a}的前7项为正数，从第8项开始为负数，
8 8 7 n
则a>0，d<0，S 为S 的最大值．
1 7 n
答案：(1)B (2)ABD
题型 等差数列的证明
典例5已知数列{a}满足a＝1，且na － ( n ＋ 1) a ＝ 2 n 2 ＋ 2 n .递推关系可求a，a.
n 1 n＋1 n 2 3
(1)求a，a；
2 3
(2)证明数列是等差数列，并求{a}的通项公式．
n
解：(1)由已知，得a － 2 a ＝ 4 ，
2 1
赋值，由n＝1代入条件．
则a＝2a＋4，又因为a＝1，所以a＝6.
2 1 1 2
由2a－3a＝12，得2a＝12＋3a，所以a＝15.
3 2 3 2 3
(2)由已知na － ( n ＋ 1) a ＝ 2 n 2 ＋ 2 n ，得＝ 2 ，即－＝ 2 .
n＋1 n
结论的形式暗示变形的方向，两边同除n(n＋1)，从而构造出的等差数列定义的形式，
应学习阅读题目中隐含的变形方法．
所以数列是首项为＝1，公差为d＝2的等差数列，则＝1＋2(n－1)＝2n－1.
所以a＝2n2－n.
n
等差数列的四种判断方法
(1)定义法：a －a＝d(d是常数) {a}是等差数列．
n＋1 n n
⇔(2)等差中项法：2a ＝a＋a (n∈N*) {a}是等差数列．
n＋1 n n＋2 n
(3)通项公式法：a＝pn＋q(p，q为常数) {a}是等差数列．
n ⇔ n
(4) 利用前 n 项和公式 ：S＝An2＋Bn(A，B为常数) {a}是等差数列．
n ⇔ n
另：若前n项和满足S＝，也可推得{a}为等差数列．
n n ⇔
提醒：(1)(2)常用来证明{a}为等差数列；(3)(4)可用于在选择、填空题中的简单判断．
n
对点练5已知数列{a}的各项都是正数，n∈N*.
n
(1)若{a}是等差数列，公差为d，且b 是a 和a 的等比中项，设c ＝b－b，n∈N*，
n n n n＋1 n
求证：数列{c}是等差数列；
n
(2)若a＋a＋a＋…＋a＝S，S 为数列{a}的前n项和，求数列{a}的通项公式．
n n n
(1)证明：由题意得b＝aa ，
n n＋1
则c＝b－b＝a a －aa ＝2da ，
n n＋1 n＋2 n n＋1 n＋1
∴c －c＝2d(a －a )＝2d2(常数)，∴{c}是等差数列．
n＋1 n n＋2 n＋1 n
(2)解：当n＝1时，a＝a，
∵a>0，∴a＝1.
1 1
a＋a＋a＋…＋a＝S，①
当n≥2时，a＋a＋a＋…＋a＝S，②
①－②得，a＝S－S＝(S－S )(S＋S )．
n n－1 n n－1
∵a>0，∴a＝S＋S ＝2S－a，③
n n n－1 n n
∵a＝1也符合上式，∴当n≥2时，a＝2S －a ，④
1 n－1 n－1
③－④得a－a＝2(S－S )－a＋a ＝2a－a＋a ＝a＋a ，
n n－1 n n－1 n n n－1 n n－1
∵a＋a >0，∴a－a ＝1，
n n－1 n n－1
∴数列{a}是首项为1，公差为1的等差数列，可得a＝n.
n n
