文档内容
第3讲 等比数列
复习要点 1.理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列的前n项和公式，
理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.体会等比数列与指数函数的关系．
一 等比数列的有关概念
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那
么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{a}的首项为a，公比为q，则它的通项a＝a q n － 1 .
n 1 n 1
3．等比中项
如果 a ， G ， b 成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项
⇔a，G，b成等比数列⇒ G 2 ＝ ab .
二 等比数列的有关公式
1．通项公式：a＝a q n － 1 .
n 1
2．前n项和公式：S＝.
n
三 等比数列的性质
1．通项公式的推广：a＝a ·qn－m(m，n∈N*)．
n m
2．对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q＝2k，则a · a ＝a · a ＝ a .
m n p q
3．若等比数列前n项和为S ，则S ，S －S ，S －S 仍成等比数列(m为偶数且q＝
n m 2m m 3m 2m
－1除外)．
4．在等比数列{a}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a，a ，a ，a
n n n＋k n＋2k n
，…为等比数列，公比为qk.
＋3k
5．若或则等比数列{a}递增；
n
若或则等比数列{a}递减．
n
常/用/结/论
1．若{a}，{b}(项数相同)是等比数列，则 { λa }( λ ≠0) ，， { a } ， { a · b } ，仍是等比数列 ．
n n n n n
衍生数列，仔细体会．
2．当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，S ，S －S ，S －S ，…仍成等比数列，其公比
n 2n n 3n 2n
为qn.
3．{a}为等比数列，若a·a·…·a＝T，则T，，，…仍成等比数列．
n 1 2 n n n
1．判断下列结论是否正确．
(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数．()
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()
(3)若数列{a}的通项公式是a＝an，则其前n项和S＝.()
n n n
(4)如果数列{a}为等比数列，则数列{ln a}是等差数列．()
n n2．已知各项均为正数的等比数列{a}中，aaa＝5，aaa＝10，则aaa＝________.
n 1 2 3 7 8 9 4 5 6
解析：aaa×aaa＝a＝50，∴aaa＝a＝5.
1 2 3 7 8 9 4 5 6
答案：5
3．在等比数列{a}中，a＝4，a＝16，则a 与a 的等比中项为________．
n 3 7 3 7
解析：设a 与a 的等比中项为G，因为a ＝4，a ＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G
3 7 3 7
＝±8.
答案：±8
4．《八骏图》是从六朝起就很流行的一幅图，传说中有 8匹善于奔跑的马，它们奔跑
的速度各有差异．已知第i(i＝1,2，…，7)匹马的最长日行路程是第i＋1匹马最长日行路程
的 1.1 倍，且第 8 匹马的最长日行路程为 400 里，则这 8 匹马的最长日行路程之和为
________里．(取1.18≈2.14)
解析：依题意可得，第8匹马、第7匹马、…、第1匹马的最长日行路程里数构成递增
的等比数列，
且首项为400，公比为1.1，
故这8匹马的最长日行路程之和为≈4 000×(2.14－1)＝4 560(里)．
答案：4 560
题型 等比数列基本量的计算
典例1(1)(2023·全国甲卷，理)已知正项等比数列{a}中，a＝1，S 为{a}的前n项和，
n 1 n n
S＝5S－4，则S＝( )
5 3 4
A．7 B．9
C．15 D．30
(2)(2023·全国甲卷，文)记S 为等比数列{a}的前n项和．若 8 S ＝ 7 S ，则{a}的公
n n 6 3 n
转化为基本量a，q的方程．高考试题的设计也常以基本量的计算为主．
1
比为________．
(3)(2023·全国乙卷，理)已知{a}为等比数列，aaa ＝aa ，aa ＝－8，则 a ＝
n 2 4 5 3 6 9 10 7
________.
解析：(1)设等比数列{a}的公比为q(q>0)，由S ＝ 5 S － 4 得 ， S － S ＝ 4 S － 4 ， 即 a ＋
n 5 3 5 3 3 4
a ＝ 4( a ＋ a ＋ a ) － 4 .因为a ＝1，所以q3＋q4＝4(1＋q＋q2)－4，所以q3(1＋q)＝4q(1＋q)，
5 1 2 3 1
所以q2 将条件转化为a，q的方程，求解q的值．
1
＝4.因为q>0，所以q＝2，所以S＝＝＝15，故选C.
4
(2)因为8S＝7S，显然公比q≠1，则8×＝7×，整理得1＋q3＝，解得q＝－.故答案为－.
6 3
(3)设等比数列{a}的公比为q(q≠0)，则由题意，
n
得
将条件转化为a，q的方程，利用乘除法求解q的值．
1
解得所以a＝aq6＝aq·q5＝－2.
7 1 1
故答案为－2.解决等比数列有关问题的常用思想方法
(1)方程的思想：在等比数列中有五个量 a ，n，q，a ，S ，一般可以“知三求二”，
1 n n
通过列方程(组)求关键量a 和q，问题可迎刃而解．
1
(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，
数列{a}的前n项和S＝na；当q≠1时，数列{a}的前n项和S＝＝.\s\up7( )
n n 1 n n
对点练1(1)(2024·广西桂林模拟)朱载堉(1536年—1611年)是中国明代一位杰出的音乐
家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”．十二
平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间
的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度 12个音，相邻两个音之间的频率
之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的 2倍．设第二个音的频率为f ，第八个音
1
的频率为f，则等于( )
2
A. B.
C. D．4
(2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入
的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是(
)
A．插入的第8个数为
B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍
C．M>3
D．N<7
解析：(1)设第一个音的频率为a，相邻两个音之间的频率之比为q，那么a＝aqn－1，
n
根据最后一个音的频率是最初那个音的 2倍，得a ＝2a＝aq11，即q＝2，所以＝＝q6
12
＝.
(2)设该等比数列为{a}，公比为q，
n
则a＝1，a ＝2，
1 13
故q12＝＝2.
插入的第8个数为a＝aq8＝，故A正确；
9 1
插入的第5个数为a＝aq5，插入的第1个数为a＝aq，所以＝＝q4＝，故B正确；
6 1 2 1
M＝＝
＝－1－，
要证M>3，即证－1－>3，即证>4，即证>2，即证12>2，
而12>6>2成立，故C正确；
N＝M＋3.
因为12>(1.4)6>(1.9)3>2，
所以>2，所以>5，
所以－1－>4，即M>4.
所以N＝M＋3>7，故D错误．
答案：(1)A (2)D题型 等比数列性质的多维研讨
维度1 等比数列通项的性质
典例2(1)在等比数列{a}中，a>0，a ＋a ＋…＋a ＝4，aa·…·a ＝16，则＋＋…＋的
n n 1 2 8 1 2 8
值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
(2)在各项均为正数的等比数列{a}中，已知a ＝3，那么log a ＋ log a ＋…＋ log a
n 1 011 3 1 3 2 3 2 021
＝( )
对数运算性质的应用，同时运用等比数列积的对称性．
A．4 042 B．2 021
C．4 036 D．2 018
解析：(1) ＋＋…＋＝＋＋＋ .
巧妙应用积的对称性，把两个条件代入求值，此法只适用于偶数项的情形．若奇数项
呢？a ＋a ＋…＋a ＝8，且a·a ·a ·…·a ＝128，求＋＋…＋的值，可先求a ＝2，a·a ＝a·a
1 2 7 1 2 3 7 4 1 7 2 6
＝a·a ＝4.
3 5
因为aa ＝aa ＝aa ＝aa ，所以原式＝＝，又aa·…·a ＝16＝(aa)4，a>0，所以
1 8 2 7 3 6 4 5 1 2 8 4 5 n
aa＝2，所以＋＋…＋＝2.故选A.
4 5
(2)因为a ＝3，所以aa…a ＝(a )2 021＝32 021，所以log a ＋log a ＋…＋log a
1 011 1 2 2 021 1 011 3 1 3 2 3 2 021
＝log (aa…a )＝log 32 021＝2 021. 故选B.
3 1 2 2 021 3
在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前 n项和公式，建立方程组求
解，但如果灵活运用等比数列的性质“若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有a a ＝
m n
aa”，则可减少运算量．解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．
p q
对点练2(1)在等比数列{a}中，a，a 是方程x2－14x＋9＝0的两根，则的值为( )
n 1 17
A. B．3
C．± D．±3
(2)在各项都为正数的等比数列{a}中，已知00，a >0.又数列{a}为等比数列，所以aa ＝aa ＝a＝9，且a>0，所以a＝3，因此＝
1 17 n 1 17 2 16 9 9
a＝3.故选B.
9
(2)由T ＝T 得＝1，即aaaa a a ＝(aa )3＝1，故aa ＝1，因为aa ＝aa ，则
12 6 7 8 9 10 11 12 9 10 9 10 1 18 9 10
aa ＝1，由于01，所以等比数列{a}是递增数列，故00，则的最
n n
小值是________．
解析：(1)设等比数列的公比为q，当q＝1时，S ＝na ，不符合题意；当q≠1时，等比
n 1
数列的前n项和公式为S ＝＝－·qn＋，依题意S ＝t·2n－1－1＝t·2n－1，即t＋(－1)＝0，解
n n
得t＝2.
(2)由题意知，＝＝＝＝q＋1＋－1，又q>0，则q＋1＋－1≥2－1，当且仅当q＝－1时，
等号成立．即的最小值是2－1.
答案：(1)A (2)2－1
题型 等比数列的判定
典例4已知数列{a}的各项均为正数，记S 为{a}的前n项和，从下面①②③中选取两
n n n
个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{a}是等比数列；②数列{S＋a}是等比数列；③a＝2a.
n n 1 2 1注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
解：选①②作为条件证明③：
设S ＋ a ＝ Aq n － 1 ( A ≠0) ，则S＝Aqn－1－a，
n 1 n 1
从通项公式反映出S＋a 是等比数列，这是对条件②的描述．
n 1
当n＝1时，a＝S＝A－a，
1 1 1
所以 A ＝ 2 a ；从而得到基本量a＝.
1 1
当n≥2时，a＝S－S ＝Aqn－2(q－1)，
n n n－1
利用S 求得a.
n n
因为{a}是等比数列，所以＝，解得q＝2，所以a＝2a.
n 2 1
选 ①③ 作为条件证明 ② ：
这样选已知条件较简单，计算过程也是从基本量入手．
因为a＝2a，{a}是等比数列，
2 1 n
所以公比q＝2，
所以S＝＝a(2n－1)，
n 1
即S＋a＝a2n，
n 1 1
所以＝2，所以{S＋a}是等比数列．
n 1
选②③作为条件证明①：
设S＋a＝Aqn－1(A≠0)，则S＝Aqn－1－a，
n 1 n 1
当n＝1时，a＝S＝A－a，所以A＝2a；
1 1 1 1
当n≥2时，a ＝ S － S ＝ Aq n － 2 ( q － 1) ，
n n n－1
说明a，a，a…成等比数列，关键是a 是否也满足此关系式．
2 3 4 1
因为a＝2a，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，
2 1
所以当n≥2时，a＝S－S ＝Aqn－2(q－1)＝A·2n－2＝a·2n－1，
n n n－1 1
又因为＝2(n≥2)，且a＝2a，
2 1
所以{a}为等比数列．
n
判定一个数列为等比数列的常用方法
(1)定义法：若＝q(q是常数)，则数列{a}是等比数列．
n
(2)等比中项法：若a＝aa (n∈N*)，则数列{a}是等比数列．
n n＋2 n
(3)通项公式法：若a＝Aqn(A，q为常数)，则数列{a}是等比数列.\s\up7( )
n n
对点练4(2024·福建宁德期末)已知各项都为正数的数列{a}满足a ＝2a ＋3a.
n n＋2 n＋1 n
(1)证明：数列{a＋a }为等比数列；
n n＋1
(2)若a＝，a＝，求数列{a}的通项公式．
1 2 n
(1)证明：由a ＝2a ＋3a 可得，
n＋2 n＋1 n
a ＋a ＝3a ＋3a＝3(a ＋a)，
n＋2 n＋1 n＋1 n n＋1 n
因为数列{a}的各项都为正数，所以a ＋a>0，所以数列{a ＋a }是公比为3的等比
n 1 2 n n＋1
数列．
(2)解：构造a －3a ＝k(a －3a)，
n＋2 n＋1 n＋1 n
整理得a ＝(k＋3)a －3ka，
n＋2 n＋1 n所以k＝－1，
即a －3a ＝－(a －3a)，
n＋2 n＋1 n＋1 n
因为a－3a＝－3×＝0，
2 1
所以a －3a＝0 a ＝3a，
n＋1 n n＋1 n
所以数列{a}是以a＝为首项，3为公比的等比数列．
n ⇒1
所以a＝.
n
