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限时跟踪检测(七十) 正态分布
一、单项选择题
1．为加强体育锻炼，让运动成为习惯，某学校进行一次体能测试，这次体能测试满分
为 100 分，从高三年级抽取 1 000 名学生的测试结果，已知测试结果 ξ 服从正态分布
N(70，σ2)．若ξ在(50,70)内取值的概率为0.4，则ξ在90分以上取值的概率为( )
A．0.05 B．0.1 C．0.2 D．0.4
2．(2024·河北邢台模拟)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X≤6)＝0.7，那
么P(－2≤X≤6)＝( )
A．0.2 B．0.6
C．0.4 D．0.8
3．(2024·安徽六安模拟)已知某批零件的长度X(单位：毫米)服从正态分布N(100,32)，
从中随机抽取一件，其长度恰好落在区间[103,106]内的概率约为( )
(附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ
＋2σ)≈0.954 5)
A．0.045 6 B．0.135 9
C．0.271 8 D．0.317 4
4．已知随机变量 ξ服从正态分布 N(1，σ2)，若 P(ξ≥2)＝a，P(0<ξ≤1)＝1－3a，则
P(ξ≤0)＝( )
A． B．
C． D．
5．(2024·山东潍坊模拟)某学校共1 000人参加数学测验，考试成绩ξ近似服从正态分
布N(100，σ2)，若P(80≤ξ≤100)＝0.45，则估计成绩在120分以上的学生人数为( )
A．25 B．50
C．75 D．100
6．有5条同样的生产线，生产的零件尺寸(单位：mm)都服从正态分布N(20，σ2)，且
P(19P(Y≤t)
8．(2024·山东泰安模拟)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应
用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超
级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某
杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高 X(单位：cm)服从正态分布，其正态
密度函数为f(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，则下列说法正确的是( )
A．该地水稻的平均株高为100 cm
B．该地水稻株高的方差为10
C．随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大
D．随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)之间的概率一样大
9．(2024·广东深圳模拟)已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，令g(x)＝P(X≤x)，若
x>0，则( )
A．g(－x)＝1－g(x)
B．g(2x)＝2g(x)
C．g(x)在(0，＋∞)上是增函数
D．P(|X|≤x)＝2g(x)－1
10．(2024·湖南长沙一中高三月考)医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体
分为内、中、外三层．内层为亲肤材质(普通卫生纱布或无纺布)，中层为隔离过滤层(超细
聚丙烯纤维熔喷材料层)，外层为特殊材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层)．根据
国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在
生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率X～N(0.937 2,0.013 92)．则下列结论正确
的是(参考数据：若 X～N(μ，σ2)(σ>0)，则 P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋
3σ)≈0.997 3,0.977 2550≈0.316 4)( )
A．P(X≤0.9)<0.5
B．P(X>0.978 9)≈0.001 35
C．P(X<0.4)1.5)
D．假设生产状态正常，记Y表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于μ＋2σ的数量，
则P(Y≥1)≈0.683 6
三、填空题与解答题
11．一试验田中的某种作物一株生长的果实个数 x 服从正态分布 N(90，σ2)，且
P(x<70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X，且
X服从二项分布，则X的方差为________．
12．(2024·山东潍坊模拟)设随机变量X服从标准正态分布X～N(0,1)，那么对于任意
a，记φ(a)＝P(XP(Y≤t)
解析：对于A，P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)≈(0.682 7＋0.954 5)×＝0.818 6，A选项正确；
1 1 1 1
对于B，由正态分布密度曲线，可知μ＜μ，
1 2
所以P(Y≥μ)＜P(Y≥μ)，B选项正确；
2 1
对于C，由正态分布密度曲线，可知σ＜σ，
1 2所以P(X≤σ)＞P(X≤σ)，C选项错误；
2 1
对于D，对于任意的正数t，由图象知P(X≤t)表示的面积始终大于P(Y≤t)表示的面积，
所以P(X≤t)＞P(Y≤t)，D选项正确．
答案：ABD
8．(2024·山东泰安模拟)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应
用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超
级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某
杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高 X(单位：cm)服从正态分布，其正态
密度函数为f(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，则下列说法正确的是( )
A．该地水稻的平均株高为100 cm
B．该地水稻株高的方差为10
C．随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大
D．随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)之间的概率一样大
解析：正态密度函数为f(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，由题意知μ＝100，σ2＝100，所以该
地水稻的平均株高为100 cm，方差为100，故A正确，B错误；因为正态密度曲线关于直
线 x＝100 对称，所以 P(X>120)＝P(X<80)>P(X<70)，故 C 正确；P(100P(800，则( )
A．g(－x)＝1－g(x)
B．g(2x)＝2g(x)
C．g(x)在(0，＋∞)上是增函数
D．P(|X|≤x)＝2g(x)－1
解析：∵随机变量X服从正态分布N(0,1)，∴正态曲线关于直线x＝0对称，g(x)在
(0，＋∞)上是增函数，选项C正确；
∵g(x)＝P(X≤x)(x>0)，∴根据正态曲线的对称性可得g(－x)＝P(X≤－x)＝P(X≥x)＝1－
g(x)，选项A正确；
g(2x)＝P(X≤2x)，2g(x)＝2P(X≤x)，选项B错误；P(|X|≤x)＝P(－x≤X≤x)＝1－2g(－x)＝1
－2[1－g(x)]＝2g(x)－1，选项D正确．故选ACD．
答案：ACD
10．(2024·湖南长沙一中高三月考)医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体
分为内、中、外三层．内层为亲肤材质(普通卫生纱布或无纺布)，中层为隔离过滤层(超细
聚丙烯纤维熔喷材料层)，外层为特殊材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层)．根据
国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在
生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率X～N(0.937 2,0.013 92)．则下列结论正确
的是(参考数据：若 X～N(μ，σ2)(σ>0)，则 P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋
3σ)≈0.997 3,0.977 2550≈0.316 4)( )
A．P(X≤0.9)<0.5B．P(X>0.978 9)≈0.001 35
C．P(X<0.4)1.5)
D．假设生产状态正常，记Y表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于μ＋2σ的数量，
则P(Y≥1)≈0.683 6
解析：由题意，可知正态分布的μ＝0.937 2，σ＝0.013 9.对于A，因为0.9<μ，所以
P(X≤0.9)0.978 9)＝P(X>μ＋3σ)，且P(μ－
3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3，所以P(X>0.978 9)≈＝0.001 35，故B正确；对于C，因为|μ－0.4|<|
1.5－μ|,0.4<μ<1.5，所以P(X<0.4)>P(X>1.5)，故C错误；对于D，因为一只口罩的过滤率小
于或等于 μ＋2σ 的概率约为 0.954 5＋＝0.977 25，所以 P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)≈1－0.977
2550≈0.683 6，故D正确．故选ABD．
答案：ABD
三、填空题与解答题
11．一试验田中的某种作物一株生长的果实个数 x 服从正态分布 N(90，σ2)，且
P(x<70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X，且
X服从二项分布，则X的方差为________．
解析：因为x～N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，所以P(x>110)＝0.2，
所以P(90≤x≤110)＝0.5－0.2＝0.3，
所以X～B(10,0.3)，
X的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1.
答案：2.1
12．(2024·山东潍坊模拟)设随机变量X服从标准正态分布X～N(0,1)，那么对于任意
a，记φ(a)＝P(Xa)＝1－2[1－φ(a)]＝1－2×(1－0.7)
＝0.4.
答案：0.4
13．(2024·辽宁沈阳模拟)已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)，则＋
(02)，所以Φ(－2)＋Φ(2)＝1.
(2)f(p)＝Cp3(1－p)＝3p3(1－p)，
f′(p)＝3[3p2(1－p)－p3]＝3p2(3－4p)．
令f′(p)＝0，得p＝.
当p∈时，f′(p)>0，f(p)在上单调递增；
当p∈时，f′(p)<0，f(p)在上单调递减．
所以f(p)的最大值点为p＝，从而p＝.
0
(ⅰ)X的所有可能取值为3,2,1,0.
P(X＝3)＝p3＋Cp2(1－p)p＝，
P(X＝2)＝Cp2(1－p)2p＝，
P(X＝1)＝Cp2(1－p)3＝，
P(X＝0)＝(1－p)3＋Cp(1－p)3＝.
所以X的分布列为
X 3 2 1 0
P
(ⅱ)若X＝3，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，
则11轮过后的总积分是28分，29>28，
所以1班如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为P(X＝3)＝.
高分推荐题
16．柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布
为X～C(γ，x)，其中当γ＝1，x ＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为 f(x)
0 0
＝.已知X～C(1,0)，P(|X|≤)＝，P(1
