文档内容
限时跟踪检测(二十六) 三角函数的图象与性质
一、单项选择题
1．函数y＝lg(tan 2x)的定义域是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
2．若函数f(x)＝sin 2x与g(x)＝2cos x都在区间(a，b)上单调递减，则b－a的最大值是
( )
A． B．
C． D．
3．函数y＝的图象与函数y＝sin (－4≤x≤8)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A．4 B．8
C．12 D．16
4．(2024·河北衡水中学调研)若函数f(x)＝|tan(ωx－ω)|(ω>0)的最小正周期为4，则在下
列区间中f(x)单调递增的是( )
A． B．
C． D．(3,4)
5．(2024·贵州贵阳五校联考)下列可能是函数y＝4coscos图象的对称中心的是( )
A． B．
C． D．
6．已知函数f(x)＝2cos，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>a>c
7．函数f(x)＝在[－π，π]上的图象大致为( )
8．设函数f(x)＝cos，则f(x)在上的单调递减区间是( )
A． B．
C． D．
9．(2024·安徽皖江名校高三联考)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)为偶函数，且
在上单调递增，则φ的一个可能取值为( )
A． B．C． D．
二、多项选择题
10．(2024·广东汕头模拟)对于函数f(x)＝|sin x|＋cos 2x，下列结论正确的是( )
A．f(x)的值域为
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)的最小正周期为π
11．已知函数f(x)＝cos2－cos 2x，则( )
A．f(x)的最大值为
B．f(x)的图象关于点对称
C．f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)
D．f(x)在[0,2π]上有4个零点
三、填空题与解答题
12．(2024·福建模拟)已知三角函数f(x)满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函
数 f(x) 在 上 单 调 递 减 ． 写 出 一 个 同 时 具 有 上 述 性 质 ① ② ③ 的 函 数 f(x) ＝
_____________________________________________.
13．(2024·名师原创)已知函数f(x)＝－cos 2x－sin 2x，将f(x)的图象上所有点沿x轴平
移θ(θ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，且函数g(x)为偶函数，当θ最小时，函数h(x)
＝2cos(πx－θ)的图象的对称中心的坐标为______________．
14．(2024·浙江杭州模拟)已知函数f(x)＝sin＋cos－2sin2 .
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)求使f(x)<0成立的实数x的取值集合．高分推荐题
15．(多选)设[x]表示不超过实数x的最大整数，函数f(x)＝sin[cos2x]＋cos[sin2x]，则(
)
A．f(x)的最大值为
B．3π为函数f(x)的一个周期
C．f(x)在区间上单调递增
D．∀x∈，f(x)＝1
解析版
一、单项选择题
1．函数y＝lg(tan 2x)的定义域是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
解析：由函数y＝lg(tan 2x)有意义得，tan 2x>0，所以kπ<2x0)的最小正周期为4，则在下
列区间中f(x)单调递增的是( )
A． B．
C． D．(3,4)
解析：作出函数y＝|tan u|的图象如图所示．
由图可知，函数y＝|tan u|的最小正周期为π，且其单调递增区间为(k∈Z)．
对于函数f(x)，其最小正周期T＝＝4，可得ω＝，
则f(x)＝.
由kπb>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>a>c
解析：a＝f＝2cos，b＝f＝2cos，c＝f＝2cos，因为y＝cos x在[0，π]上递减，又<<，
所以a>b>c.答案：A
7．函数f(x)＝在[－π，π]上的图象大致为( )
解析：由x∈[－π，π]且f(－x)＝＝＝－f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，
排除A；又f＝＝>1，f(π)＝>0，排除B，C．
答案：D
8．设函数f(x)＝cos，则f(x)在上的单调递减区间是( )
A． B．
C． D．
解析：f(x)＝cos，由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈，∴单
调递减区间为.
答案：D
9．(2024·安徽皖江名校高三联考)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)为偶函数，且
在上单调递增，则φ的一个可能取值为( )
A． B．
C． D．
解析：根据题意，f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin，
若f(x)为偶函数，则有φ＋＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，所以可以排除B，D；
对于A，当φ＝时，f(x)＝2sin＝2cos 2x，在上单调递减，不符合题意；对于C，当φ＝
时，f(x)＝2sin＝－2cos 2x，在上单调递增，符合题意．故选C．
答案：C
二、多项选择题
10．(2024·广东汕头模拟)对于函数f(x)＝|sin x|＋cos 2x，下列结论正确的是( )
A．f(x)的值域为
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)的最小正周期为π
解析：因为f(x)＝|sin x|＋cos 2x，x∈R，所以f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－2x)＝|sin x|＋
cos 2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＋cos[2(x＋π)]＝|sin x|＋cos 2x＝
f(x)，所以π是函数f(x)的周期，又f＝＋cos＝|cos x|－cos 2x≠f(x)，故f(x)的最小正周期为π.
对于A，因为f(x)的最小正周期为π，令x∈[0，π]，此时sin x≥0，所以f(x)＝sin x＋1－2sin2x，令t＝sin x，t∈[0,1]，所以有g(t)＝－2t2＋t＋1＝－22＋，可知其值域为，故A，D
正确；对于B，由A可知，g(t)在上单调递增，在上单调递减，因为t＝sin x，t∈[0,1]，所
以f(x)在上不单调递增，故B不正确；对于C，因为f(0)＝1，f＝0，所以f(0)≠f，所以f(x)的
图象不关于直线x＝对称，故C不正确．故选AD．
答案：AD
11．已知函数f(x)＝cos2－cos 2x，则( )
A．f(x)的最大值为
B．f(x)的图象关于点对称
C．f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)
D．f(x)在[0,2π]上有4个零点
解析：f(x)＝－cos 2x
＝＋－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，
则f(x)的最大值为，A正确；
易知f(x)图象的对称中心的纵坐标为，B错误；
令2x－＝＋kπ(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
即f(x)图象的对称轴方程，C正确；
由f(x)＝sin＋＝0，
得sin＝－，
当x∈[0,2π]时，2x－∈，
作出函数y＝sin x的图象，如图所示．
所以方程sin＝－在[0,2π]上有4个不同的实根，
即f(x)在[0,2π]上有4个零点，D正确．
答案：ACD
三、填空题与解答题
12．(2024·福建模拟)已知三角函数f(x)满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函
数 f(x) 在 上 单 调 递 减 ． 写 出 一 个 同 时 具 有 上 述 性 质 ① ② ③ 的 函 数 f(x) ＝
_____________________________________________.
解析：对于①，若f(3－x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于点中心对称；
对于②，若f(x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称；
设f(x)＝2sin(ωx＋φ)，
则T＝4×＝4，ω＝，
又f(x)的图象关于直线x＝对称，且函数f(x)在上单调递减，
则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
得φ＝＋2kπ，k∈Z.
所以可令f(x)＝2sin，答案不唯一．
答案：2sin(答案不唯一)
13．(2024·名师原创)已知函数f(x)＝－cos 2x－sin 2x，将f(x)的图象上所有点沿x轴平
移θ(θ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，且函数g(x)为偶函数，当θ最小时，函数h(x)
＝2cos(πx－θ)的图象的对称中心的坐标为______________．
解析：f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝2cos.由五点法作出f(x)＝2cos的部分图象，如图．
要使g(x)为偶函数，只需将f(x)的图象向左平移π＋(k∈N)个单位长度或者向右平移π
0
＋(k∈N)个单位长度．显然θ的最小值为.
1
所以函数h(x)＝2cos，
令πx－＝kπ＋，k∈Z，得x＝k＋，k∈Z，
故当θ最小时，函数h(x)＝2cos(πx－θ)的图象的对称中心的坐标为，k∈Z.
答案：，k∈Z
14．(2024·浙江杭州模拟)已知函数f(x)＝sin＋cos－2sin2 .
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)求使f(x)<0成立的实数x的取值集合．
解：(1)因为f(x)＝sin＋cos－2sin2＝＋－2×＝sin x＋cos x－1＝2－1＝2sin－1，
由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin－1，由f(x)<0，得sin<，
所以－＋2kπ
