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限时跟踪检测(二十四) 基本公式
一、单项选择题
1．在△ABC中，若cos Acos B>sin Asin B，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
2．(2024·山东实验中学检测)如果＝2 013，那么＋tan 2α＝( )
A．2 010 B．2 011
C．2 012 D．2 013
3．(2024·安徽六安一中月考)已知tan α＝3，α∈，则sin 2α＋cos(π－α)的值为( )
A． B．
C． D．
4．(2024·湖北荆州重点高中模拟)已知sin α－cos α＝，则cos 4α＝( )
A．－ B．
C． D．
5．(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝( )
A． B．
C．－ D．－
6．已知a＝cos 1°－sin 1°，b＝2cos222.5°－，c＝，则a，b，c的大小顺序为( )
A．b>a>c B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
7．若cos＝，则sin＝( )
A． B．－
C．－ D．
8．(2024·福建厦门模拟)函数f(x)＝4cos2·cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
9．tan 87°－tan 27°－tan 27°tan 87°＝( )
A．2 B．
C．－2 D．－5
二、多项选择题
10．若sin ＝，α∈(0，π)，则( )
A．cos α＝
B．sin α＝
C．sin＝
D．sin＝
11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问
题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几
何？”其意思为今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分
为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？假设θ＝∠BAC，现有下述四个结论，其中正确的是( )
A．水深为12尺
B．芦苇长为15尺
C．tan＝
D．tan＝－
三、填空题与解答题
12．计算：(1)＝________；
(2)sin 50°(1＋tan 10°)＝________.
13．若<α<2π，则的化简结果为________．
14．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝.
(1)求证：sin αcos β＝5cos αsin β；
(2)若0<α＋β<，0<α－β<，求cos 2α的值．
高分推荐题
15．若▲表示一个整数，该整数使得等式＋＝4成立，这个整数▲为( )
A．－1 B．1
C．2 D．3
解析版
一、单项选择题
1．在△ABC中，若cos Acos B>sin Asin B，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：依题意可知，cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)＞0，所以－cos C>0，则cos
C＜0，所以C为钝角．故选C．
答案：C
2．(2024·山东实验中学检测)如果＝2 013，那么＋tan 2α＝( )
A．2 010 B．2 011
C．2 012 D．2 013
解析：＋tan 2α＝＋＝
＝
＝＝2 013，故选D．
答案：D3．(2024·安徽六安一中月考)已知tan α＝3，α∈，则sin 2α＋cos(π－α)的值为( )
A． B．
C． D．
解析：由tan α＝3，α∈，得cos α＝，则sin 2α＋cos(π－α)＝2sin αcos α－cos α＝－
cos α＝－＝，故选A．
答案：A
4．(2024·湖北荆州重点高中模拟)已知sin α－cos α＝，则cos 4α＝( )
A．－ B．
C． D．
解析：由sin α－cos α＝两边平方得，1－sin 2α＝，所以sin 2α＝，所以cos 4α＝1－
2sin22α＝.故选B．
答案：B
5．(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：∵sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，cos αsin β＝，∴sin αcos β＝＋cos
αsin β＝＋＝.
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，
∴cos(2α＋2β)＝cos[2(α＋β)]＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×2＝，故选B．
答案：B
6．已知a＝cos 1°－sin 1°，b＝2cos222.5°－，c＝，则a，b，c的大小顺序为( )
A．b>a>c B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
解析：因为a＝cos 1°－sin 1°＝sin 44°<1，b＝2cos222.5°－＝(2cos222.5°－1)＝cos 45°＝
1，c＝＝tan 46°>1，所以c>b>a.
答案：B
7．若cos＝，则sin＝( )
A． B．－
C．－ D．
解析：由cos＝，
得cos＝2cos2－1＝－，
∴sin＝sin
＝cos＝－，故选C．
答案：C
8．(2024·福建厦门模拟)函数f(x)＝4cos2·cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln(x＋1)|＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝
sin 2x－|ln(x＋1)|，所以函数f(x)的零点个数为函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|图象的交点的个数，作出函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|图象如图，
由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．
答案：B
9．tan 87°－tan 27°－tan 27°tan 87°＝( )
A．2 B．
C．－2 D．－5
解析：tan 87°－tan 27°－tan 27°tan 87°＝tan(87°－27°)(1＋tan 27°tan 87°)－tan 27°·tan
87°＝(1＋tan 27°tan 87°)－tan 27°·tan 87°＝.
答案：B
二、多项选择题
10．若sin ＝，α∈(0，π)，则( )
A．cos α＝
B．sin α＝
C．sin＝
D．sin＝
解析：∵sin ＝，α∈(0，π)，∴∈，cos ＝＝.则cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝，故A正
确；
sin α＝2sin cos ＝2××＝，故B错误；
sin＝sin cos ＋cos sin
＝×＋×＝，故C正确；
sin＝sin cos －cos ·sin ＝×－×＝，故D错误．故选AC．
答案：AC
11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问
题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几
何？”其意思为今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分
为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多
少？假设θ＝∠BAC，现有下述四个结论，其中正确的是( )
A．水深为12尺
B．芦苇长为15尺
C．tan＝D．tan＝－
解析：设BC＝x，则AC＝x＋1，
∵AB＝5，∴52＋x2＝(x＋1)2，∴x＝12，
即水深为12尺，A正确；芦苇长为13尺，B错误；
tan θ＝，由tan θ＝，
解得tan ＝(负值已舍去)，C正确；
∵tan θ＝，∴tan＝＝－，D正确．故选ACD．
答案：ACD
三、填空题与解答题
12．计算：(1)＝________；
(2)sin 50°(1＋tan 10°)＝________.
解析：(1)sin 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°，∴原式＝＝sin 30°＝.
(2)sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°·＝sin 50°·
＝＝＝＝1.
答案：(1) (2)1
13．若<α<2π，则的化简结果为________．
解析：原式＝＝，因为<α<2π，所以|cos α|＝cos α.
所以原式＝＝.
又因为π<<π，所以原式＝－cos.
答案：－cos
14．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝.
(1)求证：sin αcos β＝5cos αsin β；
(2)若0<α＋β<，0<α－β<，求cos 2α的值．
(1)证明：∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，
∴2sin αcos β＋2cos αsin β＝1，①
3sin αcos β－3cos αsin β＝1，②
②－①，得sin αcos β－5cos αsin β＝0，
则sin αcos β＝5cos αsin β.
(2)解：∵sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，
0<α＋β<，0<α－β<，
∴cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，
则cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝×－×＝.
高分推荐题
15．若▲表示一个整数，该整数使得等式＋＝4成立，这个整数▲为( )
A．－1 B．1
C．2 D．3解析：因为＋＝4，所以▲sin 40°＋cos 40°＝2sin 80°，则▲sin 40°＋cos 40°＝2cos
10°，因此▲sin 40°＋cos 40°＝2cos(40°－30°)，即▲sin 40°＋cos 40°＝2cos 40°cos 30°＋2sin
40°sin 30°，所以▲sin 40°＋cos 40°＝2×cos 40°＋2×sin 40°，即▲sin 40°＋cos 40°＝sin 40°＋
cos 40°，所以▲＝1，故选B．
答案：B
