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限时跟踪检测(三十九) 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
一、单项选择题
1．(2024·天津模拟)已知一个圆锥的母线长为4，且其侧面积是其轴截面面积的4倍，
则该圆锥的高为( )
A．π B. C. D.
2．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a的正方形，则原平面四边形
的面积等于( )
A.a2 B．2a2
C.a2 D.a2
3．(2024·江苏徐州模拟)如图，一个底面边长为 cm的正四棱柱形状的容器内装有部分
水，现将一个底面半径为1 cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使
得水面上升了1 cm.若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为 ( )
A.π cm2 B．4π cm2
C．3π cm2 D．2π cm2
4．如图所示，已知三棱柱ABCABC 的所有棱长均为1，且AA⊥底面ABC，则三棱
1 1 1 1
锥BABC 的体积为( )
1 1
A. B. C. D.
5．(2024·山东青岛质检)如图，一个直三棱柱形状的容器中盛有水，侧棱AA ＝4，若
1
侧面AABB水平放置时，水面恰好过AC，BC，AC ，BC 的中点，当底面ABC水平放置
1 1 1 1 1 1
时，水面的高为( )
A．2 B. C．3 D.
6．(2024·重庆八中模拟)中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”
的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分)．
现有一个如图所示的曲池，其高为3，AA⊥底面，底面扇环所对的圆心角为，弧AD长度
1
为弧BC长度的3倍，且CD＝2，则该曲池的体积为( )A. B．6π
C. D．5π
7．(2024·广东肇庆质检)如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2
cm、底面边长为1 cm的正三棱锥，后段是高为0.6 cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底
面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为( )
A．0.25 cm3 B．0.65 cm3
C．0.15 cm3 D．0.45 cm3
8．(2024·山东聊城模拟)“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正
多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点
的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”．若该
多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的体积为( )
A. B.
C．4π D．8π
9．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的
点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4，则这个圆锥的
体积为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
10．如图，在直三棱柱 ABCABC 中，AA ＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面
1 1 1 1
AAC C的中心为O，点E是侧棱BB 上的一个动点，则下列判断正确的是( )
1 1 1A．直三棱柱的侧面积是4＋2
B．直三棱柱的体积是
C．三棱锥EAAO的体积为定值
1
D．AE＋EC 的最小值为2
1
三、填空题与解答题
11．(2024·广东珠海模拟)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱
长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
12．(2024·四川遂宁模拟)轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若一个直角圆
锥的体积为9π，则它的侧面积为________．
13．(2024·河北邯郸模拟)如图1，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截
得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高．已知球缺的体积
公式为V＝(3R－h)h2，其中R是球的半径，h是球缺的高．某航空制造公司研发一种新的
机械插件，其左右两部分为圆柱，中间为球切除两个相同的“球缺”剩余的部分，制作尺
寸如图2所示(单位：cm)．则该机械插件中间部分的体积约多少？(π≈3)
图1 图2
高分推荐题
14．(2024·河北唐山模拟)在正方体ABCDABC D 中，M为棱BB 的中点，平面ADM
1 1 1 1 1 1
将该正方体分成两部分，其体积分别为V，V(V<V)，则＝( )
1 2 1 2
A. B. C. D.
解析版
一、单项选择题
1．(2024·天津模拟)已知一个圆锥的母线长为4，且其侧面积是其轴截面面积的4倍，
则该圆锥的高为( )
A．π B. C. D.
解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，根据题意，则4××2rh＝πrl，又母线l＝4.所以
h＝×4＝π.
答案：A
2．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a的正方形，则原平面四边形
的面积等于( )A.a2 B．2a2
C.a2 D.a2
解析：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x轴上(或与x轴平行)的线
段，其长度保持不变；在 y轴上(或与y轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且
∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝××S＝S.
本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积S＝＝2a2.故选B.
答案：B
3．(2024·江苏徐州模拟)如图，一个底面边长为 cm的正四棱柱形状的容器内装有部分
水，现将一个底面半径为1 cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使
得水面上升了1 cm.若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为 ( )
A.π cm2 B．4π cm2
C．3π cm2 D．2π cm2
解析：依题意可得圆锥的体积V＝1×2＝(cm3)，又V＝π×12×h(其中h为圆锥的高)，则h
＝4 cm，则圆锥的母线长为＝(cm)，故圆锥的侧面积为π cm2.
答案：A
4．如图所示，已知三棱柱ABCABC 的所有棱长均为1，且AA⊥底面ABC，则三棱
1 1 1 1
锥BABC 的体积为( )
1 1
A. B. C. D.
解析：易知三棱锥BABC 的体积等于三棱锥ABBC 的体积，又三棱锥ABBC 的高为
1 1 1 1 1 1
1×sin 60°＝，底面积为×1×1＝，故其体积为××＝.
答案：A
5．(2024·山东青岛质检)如图，一个直三棱柱形状的容器中盛有水，侧棱AA ＝4，若
1
侧面AABB水平放置时，水面恰好过AC，BC，AC ，BC 的中点，当底面ABC水平放置
1 1 1 1 1 1
时，水面的高为( )
A．2 B. C．3 D.解析：当侧面AABB水平放置时，水的形状为四棱柱，底面是梯形，面积为 S，此时
1 1
水的体积V＝S·AA ＝4S，当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱，设水面高为h，此
1
时水的体积V＝S ·h，又S＝S ，∴h＝＝3，故选C.
△ABC △ABC
答案：C
6．(2024·重庆八中模拟)中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”
的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分)．
现有一个如图所示的曲池，其高为3，AA⊥底面，底面扇环所对的圆心角为，弧AD长度
1
为弧BC长度的3倍，且CD＝2，则该曲池的体积为( )
A. B．6π
C. D．5π
解析：不妨设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，由弧AD长度为弧
BC长度的3倍可知，R＝3r，又CD＝R－r＝2r＝2，得r＝1，R＝3.故该曲池的体积V＝
×(R2－r2)×3＝6π.
答案：B
7．(2024·广东肇庆质检)如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2
cm、底面边长为1 cm的正三棱锥，后段是高为0.6 cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底
面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为( )
A．0.25 cm3 B．0.65 cm3
C．0.15 cm3 D．0.45 cm3
解析：因为正三棱锥的底面边长为1 cm，所以其内切圆半径为 cm，由三棱锥体积与
圆柱体积公式可得V＝××1×1×sin 60°×2＋π×2×0.6≈0.45(cm3)．故选D.
答案：D
8．(2024·山东聊城模拟)“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正
多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点
的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”．若该
多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的体积为( )
A. B.C．4π D．8π
解析：将该多面体放入正方体中，如图所示．
因为多面体的棱长为1，所以正方体的棱长为，因为该多面体是由棱长为的正方体连
接各棱中点所得，所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等
于正方体的面对角线长，即2R＝×，所以R＝1，所以该多面体外接球的体积V＝πR3＝.
答案：A
9．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的
点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4，则这个圆锥的
体积为( )
A. B.
C. D.
解析： 作出该圆锥的侧面展开图，如图中阴影部分所示，该小虫爬行的最短路径为
PP′，∵OP＝OP′＝4，PP′＝4，∴由余弦定理可得cos∠P′OP＝＝－，∴∠P′OP＝.
设底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则有2πr＝×4，∴r＝，∴h＝＝，
∴圆锥的体积V＝πr2h＝.
答案：C
二、多项选择题
10．如图，在直三棱柱 ABCABC 中，AA ＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面
1 1 1 1
AAC C的中心为O，点E是侧棱BB 上的一个动点，则下列判断正确的是( )
1 1 1A．直三棱柱的侧面积是4＋2
B．直三棱柱的体积是
C．三棱锥EAAO的体积为定值
1
D．AE＋EC 的最小值为2
1
解析：因为在直三棱柱ABCABC 中，AA＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，
1 1 1 1
所以△ABC和△ABC 是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋
1 1 1
×2＝4＋2，故A正确；
直三棱柱的体积V＝S ·AA＝×1×1×2＝1，故B不正确；
△ABC 1
因为BB∥平面AAC C，且点E是侧棱BB 上的一个动点，
1 1 1 1
所以三棱锥EAAO的高为定值，S△AAO＝××2＝，
1 1
所以V ＝××＝，为定值，故C正确；
三棱锥EAA1O
由该棱柱的侧面展开图易知(图略)，
AE＋EC 的最小值为
1
＝
＝2，故D正确．
答案：ACD
三、填空题与解答题
11．(2024·广东珠海模拟)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱
长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
解析：设六棱锥的高为h，底面积为S，则V＝Sh，所以××4×6×h＝2，解得h＝1.设六
棱锥的斜高为h′，则h2＋()2＝h′2，故h′＝2.所以该六棱锥的侧面积为×2×2×6＝12.
答案：12
12．(2024·四川遂宁模拟)轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若一个直角圆
锥的体积为9π，则它的侧面积为________．
解析：设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以圆锥的高
为r，母线长为r，所以πr3＝9π，解得r＝3，则圆锥的高为3，母线长为3，则圆锥的侧面
积为S＝πrl＝π×3×3＝9π.
答案：9π
13．(2024·河北邯郸模拟)如图1，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截
得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高．已知球缺的体积
公式为V＝(3R－h)h2，其中R是球的半径，h是球缺的高．某航空制造公司研发一种新的
机械插件，其左右两部分为圆柱，中间为球切除两个相同的“球缺”剩余的部分，制作尺
寸如图2所示(单位：cm)．则该机械插件中间部分的体积约多少？(π≈3)图1 图2
解： 过球心和“球缺”的底面圆的圆心作该几何体的截面，可得截面图如图：由已知
可得AB＝14，设D为AB的中点，则AD＝7，由已知可得2×(OD＋AE)＝58，又AE＝5，
所以OD＝24，由球的截面性质可得△ODA为以OA为斜边的直角三角形，所以 OA＝＝
25，即球的半径R＝25，所以以O为球心，OA为半径的球的体积V ＝πR3＝π，又π≈3，所
1
以V≈62 500，因为球的半径R＝25，OD＝24，所以“球缺”的高为1，所以一个“球缺”
1
的体积 V ＝(3R－h)h2≈74，所以该机械插件中间部分的体积约为 62 500－74×2＝62
2
352(cm3)．
高分推荐题
14．(2024·河北唐山模拟)在正方体ABCDABC D 中，M为棱BB 的中点，平面ADM
1 1 1 1 1 1
将该正方体分成两部分，其体积分别为V，V(V<V)，则＝( )
1 2 1 2
A. B. C. D.
解析： 如图，取BC的中点N，连接MN，ND，BC，因为M为棱BB 的中点，所以
1 1
MN∥BC，MN＝BC，因为AB∥CD，AB ＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形，所
1 1 1 1 1 1 1 1
以BC∥AD，BC＝AD，所以MN∥AD，MN＝AD，所以平面ADM即为平面MNDA ，
1 1 1 1 1 1 1 1
则V 为三棱台BMNAAD的体积，不妨设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，因为
1 1
S ＝×1×1＝，S△AAD＝×2×2＝2，所以V ＝(S ＋S ＋)·AB＝××2＝，所以V ＝8
△BMN 1 1 △BMN △AA1D 2
－V＝8－＝，所以＝.故选C.
1
答案：C
