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限时跟踪检测(五十二) 椭圆(二)
一、单项选择题
1．已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，A(0,2)，当△APF的周长最大时，
直线AP的方程为( )
A．y＝－x＋2 B．y＝x＋2
C．y＝－x＋2 D．y＝x＋2
2．直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则实数m的取值范围是(
)
A．≤m<9 B．9b>0)的右焦点F的直线l：x－y－＝0交C于A，B两点，P为
AB的中点，且OP的斜率为－，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
5．已知F ，F 是椭圆G：＋＝1的左、右焦点，过F 作直线l交G于A，B两点，若|
1 2 1
AB|＝，则△FAB的面积为( )
2
A． B．
C． D．
6．过椭圆内定点M且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M的“好弦”．在椭圆＋＝1
中，过点M(4，0)的所有“好弦”的长度之和为( )
A．120 B．130
C．240 D．260
7．椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是( )
A．3 B．
C．2 D．
二、多项选择题
8．(2024·广东广州执信中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F ，F ，
1 2
O为坐标原点，直线y＝x－过F 交C于A，B两点，若△AFB的周长为8，则( )
2 1
A．椭圆的焦距为
B．椭圆的方程为＋y2＝1
C．弦长|AB|＝
D．S ＝
△OAB
9．已知P是椭圆E：＋＝1(m>0)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两
点，且直线PM，PN的斜率分别为k ，k(kk≠0)，若|k|＋|k|的最小值为1，则下列结论正
1 2 1 2 1 2
确的是( )A．椭圆E的方程为＋y2＝1
B．椭圆E的离心率为
C．曲线y＝log x－经过E的一个焦点
3
D．直线2x－y－2＝0与E有两个公共点
三、填空题与解答题
10．已知椭圆C：＋＝1与圆M：x2＋y2＋2x＋2－r2＝0(0b>0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为(O为坐标原点)，
求直线l的方程．
14．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点A(2,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不经过点A的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ
的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值．
高分推荐题
15．(2024·江苏南通模拟)某城市决定在夹角为30°的两条道路EB，EF之间建造一个半
椭圆形状的主题公园，如图所示，AB＝2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在
半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角
为45°，交OD于G.(1)若OE＝3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；
(2)若椭圆的离心率为，当线段OG的长为何值时，游乐区域△OMN的面积最大？
解析版
一、单项选择题
1．已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，A(0,2)，当△APF的周长最大时，
直线AP的方程为( )
A．y＝－x＋2 B．y＝x＋2
C．y＝－x＋2 D．y＝x＋2
解析：F(2,0)，设左焦点为F(－2,0)，∵△APF的周长C＝|AF|＋|PA|＋|PF|，又|PF|＝
1
2a－|PF|＝6－|PF|，|AF|＝＝4，∴C＝10＋|PA|－|PF|.∵|PA|－|PF|≤|AF|＝4，∴当点P，
1 1 1 1 1
A，F 三点共线，且 F 在线段PA上时，|PA|－|PF|取到最大值4，周长最大，此时直线
1 1 1
AP：y＝x＋2.
答案：D
2．直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则实数m的取值范围是(
)
A．≤m<9 B．9b>0)的右焦点F的直线l：x－y－＝0交C于A，B两点，P为
AB的中点，且OP的斜率为－，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：直线l：x－y－＝0中，令y＝0，可得x＝，所以右焦点F(，0)，设A(x ，y)，
1 1
B(x ，y)，则AB的中点P，联立消去x并整理得(a2＋b2)y2＋2b2y＋3b2－a2b2＝0，所以y ＋
2 2 1
y＝－，x＋x＝y＋y＋2＝，所以k ＝＝－＝－，所以a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，c2＝3，所
2 1 2 1 2 OP
以a2＝6，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选A．
答案：A
5．已知F ，F 是椭圆G：＋＝1的左、右焦点，过F 作直线l交G于A，B两点，若|
1 2 1
AB|＝，则△FAB的面积为( )
2
A． B．
C． D．
解析：由G：＋＝1知c2＝52－42＝32，所以F(－3,0)，把x＝－3代入椭圆方程可得y2
1
＝，故y＝±，又|AB|＝，所以AB⊥x轴，则S△FAB＝|AB|×2c＝××6＝.故选C．
2
答案：C
6．过椭圆内定点M且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M的“好弦”．在椭圆＋＝1
中，过点M(4，0)的所有“好弦”的长度之和为( )
A．120 B．130
C．240 D．260
解析：由已知可得a＝8，b＝4，所以c＝4，故M为椭圆的右焦点．由椭圆的性质可
得当过焦点的弦垂直于x轴时弦长最短，所以当x＝4时，最短的弦长为＝＝4，当弦与x轴
重合时，弦长最长为2a＝16，则弦长的取值范围为[4,16]，故弦长为整数的弦有4到16的
所有整数，则“好弦”的长度之和为4＋16＋(5＋6＋7＋…＋15)×2＝240.
答案：C
7．椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是( )
A．3 B．
C．2 D．
解析：设椭圆＋＝1上的点为P(4cos θ,2sin θ)，
则点P到直线x＋2y－＝0的距离为
d＝
＝，
所以d ＝＝.
max
答案：D
二、多项选择题8．(2024·广东广州执信中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F ，F ，
1 2
O为坐标原点，直线y＝x－过F 交C于A，B两点，若△AFB的周长为8，则( )
2 1
A．椭圆的焦距为
B．椭圆的方程为＋y2＝1
C．弦长|AB|＝
D．S ＝
△OAB
解析：因为△AFB的周长为8，所以4a＝8，得a＝2，因为直线y＝x－过右焦点F ，
1 2
所以c＝，所以椭圆的焦距为2，故A错误；b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以椭圆的方程为＋y2
＝1，故B正确；设A(x ，y)，B(x ，y)，由得5x2－8x＋8＝0，Δ＝(－8)2－4×5×8＝32＞
1 1 2 2
0，得x ＋x ＝，xx ＝，|AB|＝＝＝＝＝，故C正确；原点到直线y＝x－的距离为d＝＝，
1 2 1 2
所以S ＝d·|AB|＝××＝，故D错误．故选BC．
△OAB
答案：BC
9．已知P是椭圆E：＋＝1(m>0)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两
点，且直线PM，PN的斜率分别为k ，k(kk≠0)，若|k|＋|k|的最小值为1，则下列结论正
1 2 1 2 1 2
确的是( )
A．椭圆E的方程为＋y2＝1
B．椭圆E的离心率为
C．曲线y＝log x－经过E的一个焦点
3
D．直线2x－y－2＝0与E有两个公共点
解析：设P(x ，y)，M(x ，y)，x≠±x ，y≠±y ，则N(－x ，－y)，＋＝1，＋＝1，所
0 0 1 1 0 1 0 1 1 1
以y＝m－，y＝m－，kk ＝·＝＝－.于是|k|＋|k|≥2＝2＝2＝，依题意，得＝1，解得m＝
1 2 1 2
1，故椭圆E的方程为＋y2＝1，A正确；离心率为，B错误；焦点坐标为(±，0)，曲线y＝
log x－经过焦点(，0)，C正确；又直线2x－y－2＝0过点(1,0)，且点(1,0)在E内，故直线
3
2x－y－2＝0与E有两个公共点，D正确．故选ACD．
答案：ACD
三、填空题与解答题
10．已知椭圆C：＋＝1与圆M：x2＋y2＋2x＋2－r2＝0(0b>0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为(O为坐标原点)，
求直线l的方程．
解：(1)由题意，得解得a2＝4，b2＝1.
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由题意，知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋1，A(x ，y)，B(x ，
1 1 2
y)．
2
联立消去x并整理，得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，
Δ＝(2m)2－4(m2＋4)×(－3)＝16m2＋48>0，
则y＋y＝－，yy＝－，
1 2 1 2
故|y－y|＝
1 2
＝＝，
因为△ABO的面积为，所以|OP||y－y|＝×1×＝＝，
1 2
设t＝≥，则＝，
整理，得(3t－1)(t－3)＝0，
解得t＝3或t＝(舍去)，即m＝±.
故直线l的方程为x＝±y＋1，即x±y－1＝0.
14．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点A(2,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不经过点A的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ
的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值．
(1)解：因为椭圆C的焦距为2，且过点A(2,1)，所以＋＝1,2c＝2.
又因为a2＝b2＋c2，由以上三式解得a2＝8，b2＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：设点P(x，y)，Q(x，y)，x≠x≠2，则y＝kx＋m，y＝kx＋m.
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
由消去y并整理，得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－8＝0，
则x＋x＝，xx＝.
1 2 1 2
因为k ＋k ＝0，所以＋＝0，
AP AQ
化简得xy＋xy－(x＋x)－2(y＋y)＋4＝0.
1 2 2 1 1 2 1 2
即2kxx＋(m－1－2k)(x＋x)－4m＋4＝0.
1 2 1 2
所以－－4m＋4＝0，
整理得(2k－1)(m＋2k－1)＝0.
因为直线l不经过点A，
所以2k＋m－1≠0，所以k＝.
所以直线PQ的斜率为定值．
高分推荐题
15．(2024·江苏南通模拟)某城市决定在夹角为30°的两条道路EB，EF之间建造一个半
椭圆形状的主题公园，如图所示，AB＝2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在
半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角
为45°，交OD于G.
(1)若OE＝3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；
(2)若椭圆的离心率为，当线段OG的长为何值时，游乐区域△OMN的面积最大？
解：(1)以O为坐标原点，以OD所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面
直角坐标系(图略)．
由题意得A(0,1)，E(0,3)，由∠OEF＝30°，可得|OF|＝|OE|·tan 30°＝，
所以F(，0)，k ＝－，
EF
所以直线EF的方程为y＝－x＋3.
设OD＝a，则D(a,0)，a>0，
所以椭圆的方程为＋y2＝1，当a最大时直线EF与椭圆相切，联立直线EF与椭圆的方
程得消去y并整理得(1＋3a2)x2－6a2x＋8a2＝0，
由Δ＝(－6a2)2－4(1＋3a2)·8a2＝0，解得a＝.
所以椭圆的长半轴长的最大值为.
(2)因为e＝＝，b＝1，a2＝b2＋c2，
所以a2＝4，
所以椭圆的方程为＋y2＝1(x≥0)．
设OG＝t>0，则G(t,0)，又MN的倾斜角为45°，则直线MN的方程为y＝x－t，
联立消去y并整理可得5x2－8tx＋4t2－4＝0，Δ＝80－16t2>0，
设M(x，y)，N(x，y)，则x＋x＝，xx＝，
1 1 2 2 1 2 1 2
|y－y|＝|x－x|＝
1 2 1 2
＝
＝·，
所以S ＝|OG|·|y－y|＝·t··＝＝
△OMN 1 2
，
要保证MN与半椭圆有两个交点，当N位于B时t＝1，
所以1≤t≤2，满足Δ>0，
当t2＝时，即t＝时，
S 有最大值，为1.
△OMN
综上所述，当OG＝时，△OMN的面积最大．
