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第5讲 椭圆(一)
复习要点 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作
用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.3.
通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想.4.了解椭圆的简单应用．
一 椭圆的概念
1．我们把平面内与两个定点F，F 的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹叫做椭
1 2 1 2
圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦
距．
2．集合P＝{M||MF |＋|MF |＝2a}，|FF|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
1 2 1 2
(1)若 a > c ，则集合P为椭圆；
(2)若 a ＝ c ，则集合P为线段；
(3)若 a < c ，则集合P为空集．
二 椭圆的标准方程和几何性质
标准 ＋＝1 ＋＝1
方程 (a>b>0) (a>b>0)
图形
－ a ≤x≤a －b≤x≤b
范围
－ b ≤y≤b －a≤y≤a
对称轴：坐标轴
对称性
对称中心：原点
A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
顶点
B(0，－b)，B(0，b) B(－b,0)，B(b,0)
1 2 1 2
性
长轴AA 的长为 2 a ；
1 2
质 轴
短轴BB 的长为 2 b
1 2
焦距 |FF|＝ 2 c
1 2
焦点 F(－c,0)，F(c,0) F(0，－c)，F(0，c)
1 2 1 2
离心率 e＝∈(0,1)
a，b，c
c2＝ a 2 － b 2
的关系
常/用/结/论
椭圆上的点P(x ，y)与两焦点构成的△PFF 叫做焦点三角形．如图所示，设∠FPF
0 0 1 2 1 2＝θ.
一般常用定义＋余弦定理解决．
(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△FPF 最大．
1 2
(2)S△FPF＝|PF||PF|sin θ ＝ b 2 tan ＝ c|y|.
1 2 1 2 0
设|PF |＝m，|PF |＝n，则
1 2
①2代入②得mn＝，则S△FPF ＝mnsinθ＝＝＝b2tan.
1 2
(3)|PF| ＝a＋c，|PF| ＝a－c.
1max 1min
(4)|PF|·|PF|≤2＝a2.
1 2
(5)4c2＝|PF|2＋|PF|2－2|PF||PF|cos θ.
1 2 1 2
1．判断下列结论是否正确．
(1)平面内与两个定点F，F 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()
1 2
(2)＋＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．()
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)表示的曲线是椭圆．()
2．(2024·重庆诊断)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( )
A．长轴长为 B．焦距为
C．短轴长为 D．离心率为
解析：把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，则长
轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝，故选D.
答案：D
3．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
解析：由已知得解得3b>0，因为离心率为，所以
＝，所以＝＝，则＝.所以椭圆C的方程可以为＋＝1(答案不唯一)．
答案：＋＝1(答案不唯一)
题型 椭圆的定义及应用
典例1(1)(2024·云南丽江模拟)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外
可得|PA|＝r＋1.切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是( )
数形结合可得|PB|＝8－r.
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．双曲线的一支
(2)(2023·全国甲卷，文)设F ，F 为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点 P在C上，若
1 2
PF1 · PF2 ＝ 0 ，则 | PF |· | PF |＝( )
1 2
可直接利用焦点三角形的面积秒杀：S△FPF ＝b2tan＝|PF |·|PF | |PF |·|PF |.
1 2 1 2 1 2
A．1 B．2 C．4 D．5
⇒
(3)(2024·江西九江模拟)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F ，F ，A，B为平面
1 2
内异于F ，F 的两点．若AB的中点P在C上，且AC＝2AF1，AD＝2AF2，则|BC|＋|BD|
1 2
＝( )
A．4 B．4
C．8 D．8
解析：(1)设动圆P的半径为r，
又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，
圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8，
可知圆A在圆B内部，则|PA|＝r＋1，|PB|＝8－r，可得|PA|＋|PB|＝9，又9>2＝|AB|，
则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆．故选A.
(2)方法一：因为PF1·PF2＝0，所以∠FPF＝90°，
1 2
从而S△FPF＝b2tan 45°＝1＝×|PF|·|PF|，所以|PF|·|PF|＝2.
1 2 1 2 1 2
方法二：因为PF1·PF2＝0，所以∠FPF ＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4 c＝
1 2
2，
⇒
所以|PF|2＋|PF|2＝|FF|2＝42＝16.
1 2 1 2
又|PF|＋|PF|＝2a＝2，平方得
1 2
|PF|2＋|PF|2＋2|PF|·|PF|＝16＋2|PF|·|PF|＝20，所以|PF|·|PF|＝2.
1 2 1 2 1 2 1 2
故选B.
(3)如图所示，连接PF，PF，
1 2
∵AC＝2AF1，AD＝2AF2，
∴F，F 分别为线段AC，AD的中点．
1 2
又P为AB的中点，
∴PF ，PF 分别是△ABC和△ABD的中位线，∴ | BC | ＝ 2 | PF | ， | BD | ＝ 2 | PF |，【划重
1 2 1 2
点】通过中位线将待求长度转化为椭圆上的点到焦点的距离，便可利用椭圆定义求值了．
∵点P在C上，∴|PF|＋|PF|＝2a＝4，
1 2∴|BC|＋|BD|＝8.故选D.
1．椭圆定义的应用范围
(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是不是椭圆．
(2)解决与焦点有关的距离问题．
2．焦点三角形的应用
椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求
其周长；
常见题型：①周长；②面积；③焦半径．
利用定义和余弦定理可求|PF|·|PF|；通过整体代入可求其面积等.
1 2
对点练1(1)已知P为椭圆＋＝1上一点，M，N分别是圆(x＋3)2＋y2＝4和(x－3)2＋y2＝
1上的点，则|PM|＋|PN|的取值范围是( )
A．[7,13] B．[10,15]
C．[10,13] D．[7,15]
(2)(2023·全国甲卷，理)已知椭圆＋＝1，F ，F 为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一
1 2
点，cos∠FPF＝，则|PO|＝( )
1 2
A. B. C. D.
(3)已知A，B是圆2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，
则动点P的轨迹方程为________．
解析：(1) 如图，设F ，F 分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，则由椭圆的定义，得|PF|
1 2 1
＋|PF|＝2a＝10，所以7＝10－(1＋2)≤|PM|＋|PN|≤10＋(1＋2)＝13，即|PM|＋|PN|的取值范
2
围为[7,13]．故选A.
(2)由题不妨设F，F 分别为椭圆的左、右焦点，则F(－，0)，F(，0)，
1 2 1 2
所以|OF|＝|OF|＝，|FF|＝2，|PF|＋|PF|＝6.
1 2 1 2 1 2
在△POF 中，由余弦定理得
1
cos∠POF ＝，
1
在△POF 中，由余弦定理得
2
cos∠POF ＝，
2
又∠POF ＋∠POF ＝π，所以cos∠POF ＋cos∠POF ＝＋＝0，又|OF|＝|OF|，
1 2 1 2 1 2
所以|PF|2＋|PF|2＝|OF|2＋|OF|2＋2|OP|2＝6＋2|OP|2.
1 2 1 2
在△PFF 中，由余弦定理得
1 2
cos∠FPF＝
1 2
＝＝－1＝，
解得|PF|·|PF|＝，
1 2
又因为|PF|＋|PF|＝6，所以|PF|2＋|PF|2＝(|PF|＋|PF|)2－2|PF|·|PF|＝36－15＝21，
1 2 1 2 1 2 1 2
所以6＋2|OP|2＝21，所以|OP|＝＝.故选B.
(3)如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>|AF|＝1，
即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝1，c＝，b2＝.所以动点P的轨迹方程为x2＋
y2＝1.
答案：(1)A (2)B (3)x2＋y2＝1
题型 椭圆的标准方程
典例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1) 经过点 P ( ， 1) ， P ( －，－ ) ；
1 2
宜采用焦点不定的设法：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，这样可避免分类讨论，
简化计算过程．
(2)与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－)．
注意要讨论焦点所在的轴．
解：(1)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
∵点P(，1)，P(－，－)在椭圆上，
1 2
∴解得
故＋＝1为所求椭圆的方程．
(2)方法一：e＝＝＝.若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为 ＋＝ 1( m > n >0) ，
思路较自然，找到关于m，n的方程组即可．
则由e2＝1－＝，得1－2＝，从而2＝，＝.
又＋＝1，∴m2＝8，n2＝6.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(m>n>0)，
则＋＝1，且＝，解得m2＝，n2＝.
故所求椭圆的方程为＋＝1.
方法二：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为
＋＝ t ( t >0) ，将点(2，－)代入，
此法是共离心率椭圆方程的设法，简化运算．
得t＝＋＝2.
故所求椭圆的方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的方程为＋＝λ(λ>0)，代入点(2，－)，得λ＝，∴所求椭圆的方程为＋＝1.
求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法：根据椭圆的定义确定2a,2c，然后确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出椭
圆的标准方程．
(2)待定系数法：具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条
件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，那么要考虑是否有两解．有时为了解题
方便，也可把椭圆方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．解题步骤如下：
对点练2(1)已知方程(k－1)x2＋(9－k)y2＝1，若该方程表示椭圆方程，则实数k的取值
范围是( )
A．(1,9) B．(9，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1,5)∪(5,9)
(2)古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的 4倍除以圆周率等于椭圆的长
轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F ，F 在y轴上，其面积为8π，过点
1 2
F 的直线l与椭圆C交于点A，B且△FAB的周长为32，则椭圆C的方程为( )
1 2
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：(1)因为方程(k－1)x2＋(9－k)y2＝1表示椭圆，所以解得1b>0)，面积为S，由题
1 2
意可得＝2a×2b＝4ab，∴S＝abπ＝8π，即ab＝8，∵△FAB的周长为32，∴4a＝32，则a
2
＝8，∴b＝，故椭圆方程为＋＝1.故选B.
答案：(1)D (2)B
题型 椭圆的离心率的多维研讨
维度1 求离心率的值或与离心率有关的计算
典例3(1)(2023·新高考全国Ⅰ卷)设椭圆C ： ＋ y 2 ＝ 1( a >1) ，C ：
1 2
注意焦点在x轴呦！
＋y2＝1的离心率分别为e，e.若e ＝ e ，则a＝( )
1 2 2 1
分别求出e，e，代入可求得a.
1 2
A. B. C. D.
(2)(2024·河北保定调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F ，F 分别为椭圆的左、右焦点，
1 2
P为椭圆上一点，∠PFF ＝，过F 作∠FPF 的外角平分线的垂线交FP的延长线于点N.
1 2 2 1 2 1
若sin∠PNF＝，则椭圆的离心率为( )
2
A. B.
C. D.
(3)如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为 1个单位长度，在球的右上方有一
个灯泡 P ( 当成质点 ) ，篮球的影子是椭圆，篮球的接触点 ( 切点 ) 就是影子椭圆的焦点 ，
实际问题中蕴含着直线、圆、椭圆的位置关系，因此准确作图是解决本题的关键．
点P到桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为 A，影子椭圆的右顶
点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e＝________.
解析：(1)由e＝e，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.
2 1
故选A.
(2)设NF 与∠FPF 的外角平分线的交点为M，∠NPM＝∠MPF ＝α，
2 1 2 2
由于sin∠PNF ＝，PM⊥NF ，所以cos α＝sin∠PNF ＝，cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1
2 2 2
＝－，所以cos∠FPF＝cos(π－2α)＝，sin∠FPF＝.
1 2 1 2
设|PF|＝x，则|PF|＝2a－x.在△PFF 中， 由余弦定理得 (2 c ) 2 ＝ x 2 ＋ (2 a － x ) 2 － 2 x (2 a －
1 2 1 2
x )cos ∠ F PF ①，焦点三角形问题：定义＋余弦定理．
1 2
由正弦定理得＝，则 x ＝ 2 a － c ，将其代入 ① 式化简得 c 2 － ac ＋ a 2 ＝ 0 ，方法：求椭圆的
离心率通常考虑建立关于a，c的齐次等式．
即e2－e＋1＝0，解得e＝或e＝，
由于00，∴k ·k ＝，则k ＝，直线PN：x－y＋4＝0，令y＝0，得x ＝－.
PR PN PN N
∴2a＝＝，则a＝，故c＝.∴椭圆的离心率e＝＝.
故答案为.
求椭圆的离心率的方法
(1)直接求出a，c来求解．通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出 关于 a ， c 的二元齐次方程 ，然后转化
为关于离心率e的一元二次方程求解．
如：c2－ac＋a2＝0，即e2－e＋1＝0.
对点练3(1)(2024·江苏南京模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F为其左焦点，直线y＝
kx(k>0)与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB.若∠ABF＝30°，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
(2)(2024·广东湛江模拟)已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆C的下顶点
且斜率为的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：(1)设椭圆C的右焦点为F，连接AF，BF，则四边形AFBF 为平行四边形．
2 2 2 2设|AF|＝m，∵∠ABF＝30°，AF⊥AB，
∴|BF|＝2m，|BF|＝|AF|＝m，
2
|BF|＋|BF|＝2m＋m＝2a，则m＝a.
2
在△BFF 中，(2c)2＝2＋2－2×a×a×cos 120°，
2
整理得4c2＝a2，即c＝a，故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)过椭圆C的下顶点(0，－b)且斜率为的直线方程为 y＝x－b，即x－y－b＝0，
F(c,0)，由点到直线的距离公式，得c＝，即c2＝－bc＋b2，即(2c－b)·(c＋2b)＝0，则2c－b
＝0，b＝2c.又a2＝b2＋c2，即a2＝(2c)2＋c2＝5c2，解得＝.故选A.
答案：(1)A (2)A
维度2 求离心率的取值范围
典例4已知F ，F 是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若 椭圆上存在点 P ，使 ∠ F PF
1 2 1 2
＝ 90° ，则椭圆的离心率的取值范
先考虑P位于上(下)顶点时，e＝，假设a不变，将椭圆压扁满足题意，即b变小，c变
大，也即e变大．
围是________．
解析：方法一：设P(x，y)为椭圆上一点，则＋＝1.
0 0
PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)，
0 0 0 0
若∠FPF＝90°，则PF1·PF2＝x＋y－c2＝0.∴x＋b2＝c2，∴ x ＝ .
1 2
∵ 0≤ x ≤ a 2 ，∴0≤≤1.
利用x∈[－a，a]，找到关于a，c的不等式．
0
∴b2≤c2，∴a2≤2c2，∴≤e<1.
方法二：若存在点P，则圆x2＋y2＝c2与椭圆有公共点，即b≤cb>0)的右焦点为F(c,0)，上顶点为A(0，b)，若在直线x＝上
存在一点P满足(FP＋FA)·AP＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.解析：取AP的中点Q，则FQ＝×(FP＋FA)，所以(FP＋FA)·AP＝2FQ·AP＝0，所以
FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，即|FA|＝|FP|，且|FA|＝＝a.因为点P在直线x＝上，
所以|FP|≥－c，即a≥－c，所以c2＋ac－a2≥0，所以e2＋e－1≥0，解得e≥或e≤.又0
