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限时跟踪检测(三十一) 平面向量的概念及线性运算
一、单项选择题
1．(2024·河北廊坊第一次联考)在△ABC中，BD＝2DC，E是AD的中点，则AE＝(
)
A．AB＋AC B．AB－AC
C．AB－AC D．AB＋AC
2．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是( )
A．e＝ B．a＝|a|e
C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e
3．在平行四边形ABCD中，|AB|＝3，∠ABC＝120°，若＋＝，则|AC|＝( )
A．2 B．3
C．4 D．3
4．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋OQ＝( )
A．OH B．OG
C．EO D．FO
5．已知M是△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是( )
A．|MA|＝|MB|＝|MC|
B．MA＋MB＋MC＝0
C．BM＝BA＋BD
D．S ＝S
△MBC △ABC
6．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB＝a，
AC＝b，则AD＝( )
A．a－b B．a－b
C．a＋b D．a＋b
7．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD
的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
8．如图所示，设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△ABC与△AOC的面积之比为( )
A．4∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．4∶3
9．已知向量e，e 是两个不共线的向量，a＝2e－e 与b＝e＋λe 共线，则λ＝( )
1 2 1 2 1 2
A．2 B．－2
C．－ D．
10．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－4OB＋3OC＝0，则＝( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
11．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若AM＝AB＋AC，则点M是边BC的中点
B．若AM＝2AB－AC，则点M在边BC的延长线上
C．若AM＝－BM－CM，则点M是△ABC的重心
D．若AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
三、填空题与解答题
12．一条河的两岸平行，河的宽度d＝4 km，一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，
已知船的速度|v|＝10 km/h，水流速度|v|＝2 km/h，那么当行驶航程最短时，所用时间是
1 2
________h．(附：≈2.449.结果精确到0.01)
13．(2024·云南丽江模拟)在△ABC中，点D在线段AC上，且满足| AD|＝| AC|，点Q
为线段BD上任意一点，若实数x，y满足AQ＝xAB＋yAC，则＋的最小值为________．
14．设a，b是不共线的两个向量．
(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
高分推荐题
15．(2024·河北衡水中学模拟)已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足OP＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹经过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析版
一、单项选择题
1．(2024·河北廊坊第一次联考)在△ABC中，BD＝2DC，E是AD的中点，则AE＝(
)
A．AB＋AC B．AB－AC
C．AB－AC D．AB＋AC
解析：在△ABC中，因为BD＝2DC，所以BD＝(AC－AB)＝AC－AB，则AD＝AB＋
BD＝AB＋AC－AB＝AB＋AC，因为E是AD的中点，所以AE＝AD＝AB＋AC，故选A．
答案：A
2．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是( )
A．e＝ B．a＝|a|e
C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e
解析：对于A，当a＝0时，没有意义，错误；对于B，C，D，当a＝0时，选项B，
C，D都对；当a≠0，由a∥e可知，a与e同向或反向．故选D．
答案：D
3．在平行四边形ABCD中，|AB|＝3，∠ABC＝120°，若＋＝，则|AC|＝( )
A．2 B．3
C．4 D．3
解析：∵＋＝，则BD平分∠ABC，则四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝120°，由|AB|
＝|BC|＝3，∴|AC|＝3，故选B．
答案：B
4．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋OQ＝( )
A．OH B．OG
C．EO D．FO
解析：在方格纸上作出OP＋OQ，如图所示，连接FO，则容易看出OP＋OQ＝FO，
故选D．答案：D
5．已知M是△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是( )
A．|MA|＝|MB|＝|MC|
B．MA＋MB＋MC＝0
C．BM＝BA＋BD
D．S ＝S
△MBC △ABC
解析：如图，M为△ABC的重心，则MA＋MB－MC＝0，A，B错误；BM＝BD＋DM
＝BD＋DA＝BD＋(BA－BD)＝BA＋BD，C错误；由DM＝AD得S ＝S ，D正确．
△MBC △ABC
答案：D
6．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB＝a，
AC＝b，则AD＝( )
A．a－b B．a－b
C．a＋b D．a＋b
解析：连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的两个三等分点，得CD∥AB，且CD＝
AB＝a，所以AD＝AC＋CD＝b＋a.
答案：D
7．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD
的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
解析：由已知得AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC.
∴AD∥BC.又AB与CD不平行，∴四边形ABCD是梯形．
答案：C
8．如图所示，设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△ABC与△AOC的
面积之比为( )A．4∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．4∶3
解析：取AC的中点D，连接OD，
则OA＋OC＝2OD，
所以OB＝－OD，
所以O是AC边上的中线BD的中点，
所以S ＝2S ，
△ABC △AOC
所以△ABC与△AOC面积之比为2∶1.
答案：B
9．已知向量e，e 是两个不共线的向量，a＝2e－e 与b＝e＋λe 共线，则λ＝( )
1 2 1 2 1 2
A．2 B．－2
C．－ D．
解析：因为a＝2e－e 与b＝e＋λe 共线，所以ka＝b，k≠0，
1 2 1 2
所以k(2e－e)＝e＋λe.
1 2 1 2
因为向量e，e 是两个不共线的向量，
1 2
所以解得λ＝－.
答案：C
10．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－4OB＋3OC＝0，则＝( )
A． B．
C． D．
解析：由OA－4OB＋3OC＝0，得OA－OB＝3(OB－OC)，即BA＝3CB，所以CA＝CB
＋BA＝BA，所以|AB|＝|CA|，即＝.
答案：B
二、多项选择题
11．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若AM＝AB＋AC，则点M是边BC的中点
B．若AM＝2AB－AC，则点M在边BC的延长线上
C．若AM＝－BM－CM，则点M是△ABC的重心
D．若AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
解析：若AM＝AB＋AC，则点M是边BC的中点，故A正确；
若AM＝2AB－AC，即有AM－AB＝AB－AC，即BM＝CB，则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若AM＝－BM－CM，
即AM＋BM＋CM＝0，
则点M是△ABC的重心，故C正确；
如图，由AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝，
可得2AM＝2xAB＋2yAC，且2x＋2y＝1，
设AN＝2AM，
则M为AN的中点，且AN＝2xAB＋2yAC，
则B，N，C三点共线，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．
答案：ACD
三、填空题与解答题
12．一条河的两岸平行，河的宽度d＝4 km，一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，
已知船的速度|v|＝10 km/h，水流速度|v|＝2 km/h，那么当行驶航程最短时，所用时间是
1 2
________h．(附：≈2.449.结果精确到0.01)
解析：要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度v必须垂直于对岸，如图
所示，|v|＝＝(km/h)，所以t＝＝＝≈0.41(h)．
答案：0.41
13．(2024·云南丽江模拟)在△ABC中，点D在线段AC上，且满足| AD|＝| AC|，点Q
为线段BD上任意一点，若实数x，y满足AQ＝xAB＋yAC，则＋的最小值为________．
解析：由题意知点D满足AD＝AC，故AQ＝xAB＋yAC＝xAB＋3yAD，由点Q，B，
D三点共线可得x＋3y＝1，x>0，y>0，则＋＝·(x＋3y)＝4＋＋≥4＋2，当且仅当＝，即x
＝，y＝时等号成立．
答案：4＋2
14．设a，b是不共线的两个向量．
(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
(1)证明：∵AB＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
BC＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2AB，
∴AB与BC共线，且有公共点B，
∴A，B，C三点共线．
(2)解：∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
∴(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.
∵a与b不共线，
∴⇒8＝2λ2 λ＝±2.
∴k＝2λ＝±4.
⇒
高分推荐题
15．(2024·河北衡水中学模拟)已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三
点，动点P满足OP＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹经过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：设BC的中点为D，
∵OP＝＋λ，
∴OP＝OD＋λ，
即DP＝λ，
∴DP·BC＝λ
＝λ
＝λ(－|BC|＋|BC|)＝0，
∴DP⊥BC，∴点P在BC的垂直平分线上，即点P的轨迹经过△ABC的外心．
答案：A
∴DP⊥BC，∴点P在BC的垂直平分线上，即点P的轨迹经过△ABC的外心．
答案：A
