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限时跟踪检测(四十) 空间点、线、面的位置关系
一、单项选择题
1．若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面或相交
2．下列各图是正方体和四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面
的图形是( )
A B C D
3．(2024·江西南昌模拟)如图，E，F，G，H分别是菱形ABCD的边AB，BC，CD，
DA上的点，且BE＝2AE，DH＝2HA，CF＝2FB，CG＝2GD，现将△ABD沿BD折起，得
到空间四边形ABCD，在折起的过程中，下列说法正确的是( )
A．直线EF，HG有可能平行
B．直线EF，HG一定异面
C．直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上
D．直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上
4．(2024·河北沧州七校联考)如图，在三棱锥DABC中，AC⊥BD，一平面截三棱锥D-
ABC所得截面为平行四边形EFGH.已知EF＝，EH＝，则异面直线EG和AC所成角的正弦
值是( )
A. B. C. D.
5．(2024·广东汕头模拟)已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝
c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是( )
A．直线b与直线c可能是异面直线
B．直线a与直线c可能平行
C．直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)
D．直线c与平面α可能平行
6．(2024·山东青岛二中质量检测)已知l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同
的平面，则下列说法正确的是( )A．若l⊥m，l⊥n，且m，n α，则l⊥α
B．若m α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交
⊂
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
⊂
D．若m∥n，n⊥α，则m⊥α
7．《九章算术·商功》中刘徽注：“邪解立方，得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，
一为鳖臑．”如图1所示的长方体用平面AABB斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱
1 1
柱，该三棱柱就叫堑堵．如图2所示的堑堵中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA ＝2，M为
1
BC的中点，则异面直线AC与AM所成角的余弦值为( )
1
图1 图2
A. B. C. D.
8．(2024·上海嘉定区调研)已知直线m，n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两
条直线m，n的距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空
集．其中正确的是( )
A．①②③ B．①②④
C．①④ D．②④
9．(2024·湖南常德模拟)在各棱长均相等的四面体ABCD中，已知M是棱AD的中点，
则异面直线BM与AC所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
10．(2024·江苏联考)对于命题“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”，要使得该命题是真命题，则
( )
A．x，y，z是空间中三个不同的平面
B．x，y，z是空间中三条不同的直线
C．x，z是空间中两条不同的直线，y是空间中的平面
D．x，y是空间中两条不同的直线，z是空间中的平面
二、多项选择题
11．如图，已知二面角ABDC的大小为，G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别在
AD，AB上，且＝＝，AC⊥平面BCD，则以下说法正确的是( )
A．E，F，G，H四点共面B．FG∥平面ADC
C．若直线FG，HE交于点P，则P，A，C三点共线
D．若△ABD的面积为6，则△BCD的面积为3
12．已知正方体ABCDABC D 的棱长为2，若平面α⊥AC ，则关于平面α截此正方
1 1 1 1 1
体所得截面的判断正确的是( )
A．截面形状可能为正三角形
B．截面形状可能为正方形
C．截面形状可能为正六边形
D．截面面积的最大值为3
三、填空题与解答题
13．在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中
点，则EF与平面PAD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD的交线是________．
14．如图，在长方体ABCDABC D 中，AB＝BC，BE＝AB，点F为AD 的中点，O
1 1 1 1 1 1
为直线DB 与平面EFC的交点，则＝________.
1
15．已知三棱柱ABCABC 的侧棱长和底面边长均为2，A 在底面ABC内的射影O为
1 1 1 1
底面△ABC的中心，如图所示．
(1)连接BC ，求异面直线AA 与BC 所成角的大小；
1 1 1
(2)连接AC，AB，求三棱锥C BCA 的体积．
1 1 1 1高分推荐题
16. 如图，AB，CD是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直径，过
CD和母线VB的中点E作一截面．已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为 π，求截面与圆锥
的轴线的夹角的大小，并说明截线是什么曲线．
解析版
一、单项选择题
1．若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面或相交
解析：如图1,2,3所示，a，b的关系分别是平行、异面、相交．
图1 图2 图3
答案：D
2．下列各图是正方体和四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面
的图形是( )A B C D
解析：在A中，连接PS，QR(图略)，易证PS∥QR，∴P，Q，R，S四点共面．
在B中，P，Q，R，S四点共面，证明如下：
如图所示，取BC中点N，连接NR，QN，PS，可证直线PS，NR 交于直线BC 上一
1 1
点E，∴P，N，R，S四点共面，设为α.可证PS∥QN，∴P，Q，N，S四点共面，设为β.
∵α，β都经过P，N，S三点，∴α与β重合，∴P，Q，R，S四点共面．
在C中，连接PQ，SR(图略)，易证PQ∥SR，∴P，Q，R，S四点共面．
在D中，连接QR，PS(图略)，∵QR 平面ABC，PS∩平面ABC＝P且P∉QR，
∴直线PS与QR为异面直线．∴P，Q，R，S四点不共面．
⊂
答案：D
3．(2024·江西南昌模拟)如图，E，F，G，H分别是菱形ABCD的边AB，BC，CD，
DA上的点，且BE＝2AE，DH＝2HA，CF＝2FB，CG＝2GD，现将△ABD沿BD折起，得
到空间四边形ABCD，在折起的过程中，下列说法正确的是( )
A．直线EF，HG有可能平行
B．直线EF，HG一定异面
C．直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上
D．直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上
解析：若直线 EF 与 HG 平行，则四边形 EFGH 为平行四边形，得 EH＝GF，与
EH≠GF矛盾，故A错误；∵BE＝2AE，DH＝2HA，∴＝＝，∴EH∥BD且EH＝BD，又
CF＝2FB，CG＝2GD，∴＝＝2，∴FG∥BD且FG＝BD.∴EH∥FG且EH≠FG，∴直线
EF，HG一定共面，故B错误；
由EH∥FG，且EH≠FG，可得直线EF与HG一定相交，设交点为O，则O∈EF，又
EF 平面 ABC，∴O∈平面 ABC，同理 O∈平面 ACD.∵平面 ABC∩平面 ACD＝AC，
∴O∈AC，即直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上，故C正确，D错误．
⊂答案：C
4．(2024·河北沧州七校联考)如图，在三棱锥DABC中，AC⊥BD，一平面截三棱锥D-
ABC所得截面为平行四边形EFGH.已知EF＝，EH＝，则异面直线EG和AC所成角的正弦
值是( )
A. B. C. D.
解析：四边形 EFGH 是平行四边形，由线面平行的性质定理可得，AC∥EH，
BD∥GH，所以直线EG和AC所成的角即直线EG和EH所成的角．因为AC⊥BD，所以
∠EHG＝90°.因为EF＝，EH＝，所以EG＝，故sin∠GEH＝.
答案：A
5．(2024·广东汕头模拟)已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝
c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是( )
A．直线b与直线c可能是异面直线
B．直线a与直线c可能平行
C．直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)
D．直线c与平面α可能平行
解析：因为α∩β＝a，α∩γ＝b，a∩b＝O，所以O∈α，O∈β，O∈γ.
因为β∩γ＝c，所以O∈c，
所以直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)，故A，B错误，C正确；
假设直线c与平面α平行，由O∈c，可知O∉α，
这与O∈α矛盾，故假设不成立，D错误．
答案：C
6．(2024·山东青岛二中质量检测)已知l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同
的平面，则下列说法正确的是( )
A．若l⊥m，l⊥n，且m，n α，则l⊥α
B．若m α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交
⊂
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
⊂
D．若m∥n，n⊥α，则m⊥α
解析：对于A，当m，n平行时，得不出直线l垂直于平面α，故A错误；
对于B，若m α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α可能平行，如图所示，故B错误；
⊂对于C，若n α，则直线n不平行于平面α，故C错误；
对于D，因为n⊥α，所以在平面α内的任意直线均与直线n垂直，又m∥n，
⊂
则在平面α内的任意直线均与直线m垂直，由直线与平面垂直的定义可知m⊥α，故D
正确．故选D.
答案：D
7．《九章算术·商功》中刘徽注：“邪解立方，得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，
一为鳖臑．”如图1所示的长方体用平面AABB斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱
1 1
柱，该三棱柱就叫堑堵．如图2所示的堑堵中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA ＝2，M为
1
BC的中点，则异面直线AC与AM所成角的余弦值为( )
1
图1 图2
A. B. C. D.
解析： 如图，取BC 的中点E，连接AE，EC，则AE∥AM，∠EAC即为异面直线
1 1 1 1 1
AC与AM所成的角(或其补角)，因为在Rt△AC E中，AE＝＝，在Rt△EC C中，EC＝＝
1 1 1 1 1
2，在Rt△AC C中，AC＝，所以在△AEC中，由余弦定理得，cos∠EAC＝＝＝，故异
1 1 1 1 1
面直线AC与AM所成角的余弦值为，故选A.
1
答案：A
8．(2024·上海嘉定区调研)已知直线m，n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两
条直线m，n的距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空
集．其中正确的是( )
A．①②③ B．①②④
C．①④ D．②④
解析： 设一个平面β，该平面满足m∥β，n∥β，m，n到平面β的距离相等且异侧，
如图，则平面β内的所有点到两条直线m，n的距离相等．
对于①，若平面α与平面β相交于直线l，则l上的所有点到两条直线m，n的距离相
等，故①正确；
对于②，若平面α与平面β重合，则平面α上的所有点到两条直线m，n的距离相等，
故②正确；
对于③，任何时候都不可能只有一个点满足条件，故③错误；
对于④，若平面α与平面β平行，则平面α上没有点到两条直线m，n的距离相等，故
④正确．故选B.
答案：B
9．(2024·湖南常德模拟)在各棱长均相等的四面体ABCD中，已知M是棱AD的中点，
则异面直线BM与AC所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解析： 如图，设四面体ABCD的棱长为2，取CD的中点N，连接MN，BN，∵M是
棱AD的中点，∴MN∥AC，∴∠BMN(或其补角)是异面直线BM与AC所成的角．∵BM＝
BN＝＝，MN＝AC＝1，∴在△BMN中，cos∠BMN＝＝＝，∴异面直线BM与AC所成角
的余弦值为.
答案：C
10．(2024·江苏联考)对于命题“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”，要使得该命题是真命题，则
( )
A．x，y，z是空间中三个不同的平面
B．x，y，z是空间中三条不同的直线
C．x，z是空间中两条不同的直线，y是空间中的平面
D．x，y是空间中两条不同的直线，z是空间中的平面
解析：如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面相交或平行，所以 A错
误；空间中如果两条直线同时垂直第三条直线，那么这两条直线可能平行，相交或者异面
所以B错误；由C选项得x∥y，或者x在平面y内，所以C错误；根据线面垂直的性质定
理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线互相平行，所以D正确．
答案：D
二、多项选择题
11．如图，已知二面角ABDC的大小为，G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别在
AD，AB上，且＝＝，AC⊥平面BCD，则以下说法正确的是( )A．E，F，G，H四点共面
B．FG∥平面ADC
C．若直线FG，HE交于点P，则P，A，C三点共线
D．若△ABD的面积为6，则△BCD的面积为3
解析：连接EF，GH(图略)，由＝＝知EF綉BD.又GH綉BD，所以EF∥GH，因此
E，F，G，H四点共面，A正确；假设FG∥平面ADC成立，因为平面ABC∩平面ADC＝
AC，所以FG∥AC，又G是BC的中点，所以F是AB的中点，与＝矛盾，B不正确；因为
FG 平面ABC，P∈FG，所以P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，因为平面ABC∩平面
ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线，C正确；因为二面角ABDC的大小为，
⊂
AC⊥平面BCD，所以点A到直线BD的距离是点C到直线BD的距离的2倍，故S ＝
△BCD
·S ＝×6＝3，D正确．
△ABD
答案：ACD
12．已知正方体ABCDABC D 的棱长为2，若平面α⊥AC ，则关于平面α截此正方
1 1 1 1 1
体所得截面的判断正确的是( )
A．截面形状可能为正三角形
B．截面形状可能为正方形
C．截面形状可能为正六边形
D．截面面积的最大值为3
解析：如图所示，由正方体的性质可知，AC ⊥平面ABD，当平面ABD平行移动时，
1 1 1
均可保持与直线AC 垂直，因为△ABD为正三角形，所以当平面α与平面ABD重合时，
1 1 1
得到截面形状为正三角形，故A正确；当平面α∥平面ABD，且经过正方体的中心时，截
1
面为正六边形EFGHMN(E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点)，故C正确；当平面α
从平面ABD的位置向C 方向开始平移时，截面面积先逐渐增大，直到平面经过正方体的
1 1
中心时，截面面积达到最大值，过了中心继续平移，截面面积逐渐减小，所以截面面积的
最大值为正六边形的面积，则 S ＝6××()2＝3，故D正确；平面α在平面ABD与平面
max 1
CB D 之间平移时，截面形状为六边形，而在两平面外平移时，截面为三角形，故 B错误．
1 1
故选ACD.
答案：ACD三、填空题与解答题
13．在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中
点，则EF与平面PAD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD的交线是________．
解析：由题易知，EF∥BC，BC∥AD，
所以EF∥AD，又EF⊄平面PAD，AD 平面PAD，故EF∥平面PAD.
因为EF∥AD，所以E，F，A，D四点共面，所以AD为平面AEF与平面ABCD的交
⊂
线．
答案：平行 AD
14．如图，在长方体ABCDABC D 中，AB＝BC，BE＝AB，点F为AD 的中点，O
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为直线DB 与平面EFC的交点，则＝________.
1
解析：在DC 上作靠近点D 的六等分点H，连接FH，如图所示．
1 1 1
∵＝，∴FH∥CE.
连接BD ，BD，设FH∩BD ＝N，CE∩BD＝M，连接MN，则M，N，O三点共线(平
1 1 1 1
面EFC∩平面BBDD＝MN)．
1 1
∵＝＝，
∴＝，即DM＝BD.
过点F作FP∥AB 交BD 于点P，
1 1 1 1
∵＝＝，
∴NP＝3DN，∴＝，
1
∴＝，即NB ＝BD.
1 1 1
∴＝＝＝.
答案：
15．已知三棱柱ABCABC 的侧棱长和底面边长均为2，A 在底面ABC内的射影O为
1 1 1 1
底面△ABC的中心，如图所示．(1)连接BC ，求异面直线AA 与BC 所成角的大小；
1 1 1
(2)连接AC，AB，求三棱锥C BCA 的体积．
1 1 1 1
解：(1)如图，连接AO，并延长与BC交于点D，则D是BC边的中点．
∵点O是正三角形ABC的中心，且AO⊥平面ABC，BC 平面ABC，
1
∴BC⊥AD，BC⊥AO.
1 ⊂
∵AD∩AO＝O，AD，AO 平面ADA ，
1 1 1
∴BC⊥平面ADA .
1 ⊂
∵AA 平面ADA ，∴BC⊥AA.
1 1 1
又AA∥CC ，
1⊂ 1
∴异面直线AA 与BC 所成的角为∠BC C或其补角．
1 1 1
∵CC ⊥BC，且侧棱长和底面边长均为2，
1
∴四边形BCC B 为正方形，
1 1
∴∠BC C＝45°，
1
∴异面直线AA 与BC 所成的角为45°.
1 1
(2)∵三棱柱ABCABC 的所有棱长都为2，
1 1 1
∴可求得AD＝，AO＝AD＝，
∴AO＝＝.
1
∴V ＝S ·AO＝2，
ABCA1B1C1 △ABC 1
V ＝V －V ＝.
A1B1C1CB ABCA1B1C1 A1ABC
∴V ＝V ＝V ＝.
C1BCA1 A1BCC1 A1B1C1CB
高分推荐题
16. 如图，AB，CD是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直径，过
CD和母线VB的中点E作一截面．已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为 π，求截面与圆锥
的轴线的夹角的大小，并说明截线是什么曲线．解：设⊙O的半径为R，母线VB＝l，则圆锥侧面展开图的中心角为＝π，
∴＝，∴sin∠BVO＝，
∴圆锥的母线与轴的夹角α＝∠BVO＝.
∵O，E分别是AB，VB的中点，
∴OE∥VA.
∴∠VOE＝∠AVO＝∠BVO＝，
∴∠VEO＝，即VE⊥OE.
又∵AB⊥CD，VO⊥CD，AB∩VO＝O，
∴CD⊥平面VAB.
∵VE 平面VAB，∴VE⊥CD.
又∵OE∩CD＝O，OE，CD 平面CDE，
⊂
∴VE⊥平面CDE.
⊂
∴∠VOE是截面与轴线的夹角，
∴截面与轴线夹角的大小为.
由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面CDE与圆锥面的截线为一抛物线．
