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限时跟踪检测(三十七) 等比数列
一、单项选择题
1．(2024·山西大同联考)已知各项均为正数的等比数列{a}满足aa ＝16，a ＝2，则公
n 1 5 2
比q＝( )
A．4 B.
C．2 D.
2．(2024·广东模拟)已知数列{a}为等比数列，函数y＝log (2x－1)＋2过定点(a，a)，
n a 1 2
若b＝log a，数列{b}的前n项和为S，则S ＝( )
n 2 n n n 10
A．44 B．45
C．46 D．50
3．(2024·河北邯郸模拟)数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提
出了F ＝22n＋1(n＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算
n
出F ＝641×6 700 417，不是质数，现设a ＝log (F －1)(n＝1,2，…)，S 表示数列{a}的前n
5 n 4 n n n
项和，若32S＝63a，则n＝( )
n n
A．5 B．6
C．7 D．8
4．(2024·广东佛山第一次质量检测)已知各项均为正数的等比数列{a}的前n项和为
n
S，aa＝9,9S＝10S，则a＋a 的值为( )
n 2 4 4 2 2 4
A．30 B．10
C．9 D．6
5．数列{a}的前n项和为S ＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b
n n
等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．4
6．(2024·河南驻马店统考)在正项等比数列{a}中，若a，a 是关于x的方程x2－mx＋4
n 3 7
＝0的两实根，则log a＋log a＋log a＋…＋log a＝( )
2 1 2 2 2 3 2 9
A．8 B．9
C．16 D．18
7．等比数列{a}的前n项和为S，若S ＝1，S ＝7，则S ＝( )
n n 10 30 40
A．5 B．10
C．15 D．20
8．(2024·四川成都七中月考)有关数据显示，2015年我国快递行业产生的包装垃圾约
为400万吨．有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达
到50%.由此可知，如果不采取有效措施，快递行业产生的包装垃圾超过 4 000万吨的年份
是(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( )
A．2019 B．2020
C．2021 D．2022
二、多项选择题
9．设数列{a}的前n项和为S，若a＝1，a ＝2S(n∈N*)，则有( )
n n 1 n＋1 nA．S＝3n－1
n
B．{S}为等比数列
n
C．a＝2·3n－1
n
D．a＝
n
三、填空题与解答题
10．(2024·福建泉州适应性线上测试)已知数列{a}的各项均为正数，且＝6a ＋a
n n n＋
(n∈N*)，则＝________.
1
11．设T 为正项等比数列{a}(公比q≠1)的前n项积，若T ＝T ，则＝________.
n n 2 015 2 021
12．(2024·浙江杭州模拟)设数列{a}满足a ＝，且对任意的n∈N*，满足a －a≤2n，
n 1 n＋2 n
a －a≥5×2n，则a ＝________.
n＋4 n 2 017
13．(2024·湖南名校质量检测)记S 为数列{a}的前n项和，已知a＝2，a＝－1，且a
n n 1 2 n
＋a －6a＝0(n∈N*)．
＋2 n＋1 n
(1)证明：{a ＋3a}为等比数列；
n＋1 n
(2)求数列{a}的通项公式及前n项和S.
n n
14．(2024·山东泰安模拟)已知等比数列{a}的前n项和为S，a>0,4S＋S＝S.
n n n 1 2 3
(1)求数列{a}的公比q；
n
(2)对于∀n∈N*，不等式＋n2＋≥6n＋t恒成立，求实数t的最大值．
高分推荐题
15．将正整数按照如图所示方式排列：
2 024是图中第________行的第________个数．
解析版
一、单项选择题
1．(2024·山西大同联考)已知各项均为正数的等比数列{a}满足aa ＝16，a ＝2，则公
n 1 5 2
比q＝( )
A．4 B.
C．2 D.解析：方法一：aa＝16＝a，又a>0，故a＝4，所以q＝＝2.
1 5 3 3
方法二：由题意，得
解得或(舍去)．
答案：C
2．(2024·广东模拟)已知数列{a}为等比数列，函数y＝log (2x－1)＋2过定点(a，a)，
n a 1 2
若b＝log a，数列{b}的前n项和为S，则S ＝( )
n 2 n n n 10
A．44 B．45
C．46 D．50
解析：∵函数y＝log (2x－1)＋2过定点(1,2)，∴a ＝1，a ＝2，∴等比数列{a}的公比
a 1 2 n
q＝2，a＝2n－1，∴b＝log a＝n－1，又数列{b}的前n项和为S，则S ＝＝45，故选B.
n n 2 n n n 10
答案：B
3．(2024·河北邯郸模拟)数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提
出了F ＝22n＋1(n＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算
n
出F ＝641×6 700 417，不是质数，现设a ＝log (F －1)(n＝1,2，…)，S 表示数列{a}的前n
5 n 4 n n n
项和，若32S＝63a，则n＝( )
n n
A．5 B．6
C．7 D．8
2n 2n 2n
解析：因为F＝2 ＋1(n＝0,1,2，…)，所以a＝log (F－1)＝log (2 ＋1－1)＝log 2
n n 4 n 4 4
＝2n－1，所以{a}是等比数列，首项为1，公比为2，所以S ＝＝2n－1.所以32(2n－1)＝
n n
63×2n－1，解得n＝6，故选B.
答案：B
4．(2024·广东佛山第一次质量检测)已知各项均为正数的等比数列{a}的前n项和为
n
S，aa＝9,9S＝10S，则a＋a 的值为( )
n 2 4 4 2 2 4
A．30 B．10
C．9 D．6
解析：设等比数列{a}的公比为q，因为{a}是各项均为正数的等比数列，则a>0，
n n 1
q>0，因为a＝aa ＝9，所以a ＝3.又因为9S ＝10S ，则9(a ＋a ＋a ＋a)＝10(a ＋a)，可
2 4 3 4 2 1 2 3 4 1 2
得9(a＋a)＝a＋a，所以＝q2＝，解得q＝，故a＋a＝＋aq＝10.故选B.
3 4 1 2 2 4 3
答案：B
5．数列{a}的前n项和为S ＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b
n n
等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．4
解析：方法一：当n≥2时，a ＝S －S ＝(4n＋b)－(4n－1＋b)＝3×4n－1，又a ＝S ＝4＋
n n n－1 1 1
b，∴4＋b＝3×40 b＝－1.
方法二：a ＝S ＝4＋b，a ＝S －S ＝(42＋b)－(4＋b)＝12，a ＝S －S ＝(43＋b)－(42＋
1 ⇒1 2 2 1 3 3 2
b)＝48，由aa＝a，得48(4＋b)＝122 b＝－1.
1 3
方法三：在等比数列{a}中，q≠1，S＝＝·qn－＝A·qn－A＝4n＋b，∴b＝－1.
n ⇒ n答案：A
6．(2024·河南驻马店统考)在正项等比数列{a}中，若a，a 是关于x的方程x2－mx＋4
n 3 7
＝0的两实根，则log a＋log a＋log a＋…＋log a＝( )
2 1 2 2 2 3 2 9
A．8 B．9
C．16 D．18
解析：由根与系数的关系可得aa＝4，由等比数列性质可得a＝aa＝4，则a＝2，所
3 7 3 7 5
以aa ＝aa ＝aa ＝aa ＝a＝4，则aaa…a ＝29，故log a ＋log a ＋log a ＋…＋log a ＝
1 9 2 8 3 7 4 6 1 2 3 9 2 1 2 2 2 3 2 9
log (aaa…a)＝log 29＝9.故选B.
2 1 2 3 9 2
答案：B
7．等比数列{a}的前n项和为S，若S ＝1，S ＝7，则S ＝( )
n n 10 30 40
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：易知等比数列{a}的前n项和S 满足S ，S －S ，S －S ，S －S ，…成等比
n n 10 20 10 30 20 40 30
数列．设{a}的公比为q，则＝q10>0，故S ，S －S ，S －S ，S －S ，…均大于0.
n 10 20 10 30 20 40 30
故(S －S )2＝S ·(S －S )，
20 10 10 30 20
即(S －1)2＝1·(7－S ) S－S －6＝0.
20 20 20
因为S >0，所以S ＝3.
20 20 ⇒
又(S －S )2＝(S －S )(S －S )，
30 20 20 10 40 30
所以(7－3)2＝(3－1)(S －7)，故S ＝15.
40 40
答案：C
8．(2024·四川成都七中月考)有关数据显示，2015年我国快递行业产生的包装垃圾约
为400万吨．有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达
到50%.由此可知，如果不采取有效措施，快递行业产生的包装垃圾超过 4 000万吨的年份
是(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( )
A．2019 B．2020
C．2021 D．2022
解析：记从2015年起，第n(n∈N*)年我国快递行业产生的包装垃圾约为a 万吨，由题
n
意知，数列{a}是首项为a ＝400，公比为1＋50%＝1.5的等比数列，则a ＝400×1.5n－1，
n 1 n
令400×1.5n－1>4 000，得1.5n－1>10，两边取以10为底的对数，得lg 1.5n－1>lg 10＝1，即(n
－1)·lg>1，则n－1>≈≈5.679，故n>6.679，因为n∈N*，所以n＝7，故从2021年开始，快
递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨．故选C.
答案：C
二、多项选择题
9．设数列{a}的前n项和为S，若a＝1，a ＝2S(n∈N*)，则有( )
n n 1 n＋1 n
A．S＝3n－1
n
B．{S}为等比数列
n
C．a＝2·3n－1
n
D．a＝
n
解析：由题意，数列{a}的前n项和满足a ＝2S(n∈N*)，
n n＋1 n当n≥2时，a＝2S ，
n n－1
两式相减，可得
a －a＝2(S－S )＝2a，
n＋1 n n n－1 n
可得a ＝3a，即＝3(n≥2)，
n＋1 n
又a＝1，则a＝2S＝2a＝2，
1 2 1 1
所以＝2，不满足上式，所以数列{a}的通项公式为a＝
n n
当n≥2时，S＝＝＝3n－1，
n
又S＝a＝1，适合上式，
1 1
所以数列{a}的前n项和为S ＝3n－1，又＝＝3，所以数列{S}为首项为1，公比为3的
n n n
等比数列．综上可得，故选ABD.
答案：ABD
三、填空题与解答题
10．(2024·福建泉州适应性线上测试)已知数列{a}的各项均为正数，且＝6a ＋a
n n n＋
(n∈N*)，则＝________.
1
解析：由＝6a ＋a ，可得a－a a －6a＝0，即(a －3a)(a ＋2a)＝0，因为
n n＋1 n＋1 n n＋1 n n＋1 n
a>0，所以a ＝3a，所以{a}是公比为3的等比数列，所以＝＝q2＝9.
n n＋1 n n
答案：9
11．设T 为正项等比数列{a}(公比q≠1)的前n项积，若T ＝T ，则＝________.
n n 2 015 2 021
解析：由题意得，T ＝T ＝T ·a a a a a a ，
2 015 2 021 2 015 2 016 2 017 2 018 2 019 2 020 2 021
所以a a a a a a ＝1，
2 016 2 017 2 018 2 019 2 020 2 021
根据等比数列的性质，
可得a a ＝a a ＝a a ＝1，
2 016 2 021 2 017 2 020 2 018 2 019
设等比数列的公比为q，
所以a a ＝＝1 a ＝q，
2 016 2 021 2 021
a a ＝＝1 a ＝q，
2 018 2 019 2 01⇒9
所以＝＝.
⇒
答案：
12．(2024·浙江杭州模拟)设数列{a}满足a ＝，且对任意的n∈N*，满足a －a≤2n，
n 1 n＋2 n
a －a≥5×2n，则a ＝________.
n＋4 n 2 017
解析：∵对任意的n∈N*，
满足a －a≤2n，a －a≥5×2n，
n＋2 n n＋4 n
∴5×2n≤a －a＝(a －a )＋(a －a)≤2n＋2＋2n＝5×2n，
n＋4 n n＋4 n＋2 n＋2 n
∴a －a＝5×2n.
n＋4 n
∴a ＝(a －a )＋(a －a )＋…＋(a－a)＋a
2 017 2 017 2 013 2 013 2 009 5 1 1
＝5×(22 013＋22 009＋…＋21)＋
＝5×＋＝.
答案：
13．(2024·湖南名校质量检测)记S 为数列{a}的前n项和，已知a＝2，a＝－1，且a
n n 1 2 n
＋a －6a＝0(n∈N*)．
＋2 n＋1 n(1)证明：{a ＋3a}为等比数列；
n＋1 n
(2)求数列{a}的通项公式及前n项和S.
n n
(1)证明：a ＋a －6a＝0可化为a ＋3a ＝2(a ＋3a)，n∈N*，
n＋2 n＋1 n n＋2 n＋1 n＋1 n
∴{a ＋3a}是以a＋3a＝5为首项，2为公比的等比数列．
n＋1 n 2 1
(2)解：由(1)可知a ＋3a＝5·2n－1(n∈N*)，
n＋1 n
故a －2n＝－3(a－2n－1)，又a－20＝1，∴{a－2n－1}是以1为首项，－3为公比的等
n＋1 n 1 n
比数列，∴a －2n－1＝1×(－3)n－1，∴a ＝2n－1＋(－3)n－1，S ＝＋＝2n－－，故a ＝2n－1＋(－
n n n n
3)n－1，S＝2n－－.
n
14．(2024·山东泰安模拟)已知等比数列{a}的前n项和为S，a>0,4S＋S＝S.
n n n 1 2 3
(1)求数列{a}的公比q；
n
(2)对于∀n∈N*，不等式＋n2＋≥6n＋t恒成立，求实数t的最大值．
解：(1)由4S＋S＝S，
1 2 3
得4a＋a＋a＝a＋a＋a，
1 1 2 1 2 3
整理得4a＝a，
1 3
所以4a＝aq2.
1 1
因为a≠0，所以q2＝4，
1
由题意得q>0，所以q＝2.
(2)由(1)得S＝＝a(2n－1)，
n 1
a＝a·2n－1，
n 1
所以＝.
所以不等式＋n2＋≥6n＋t恒成立等价于＋n2＋≥6n＋t恒成立，
所以t≤＋n2－6n＋.
令f(n)＝＋n2－6n＋＝(n－3)2－，n∈N*.
当n＝1时，f(1)＝4－＝；
当n＝2时，f(2)＝1－＝；
当n≥3时，f(n)单调递增，
所以f(n)≥f(3)＝－.
所以t≤－，
故实数t的最大值为－.
高分推荐题
15．将正整数按照如图所示方式排列：
2 024是图中第________行的第________个数．
解析：由题意得第n行有2n－1个数，前10行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋
29＝＝1 023(个)数，前11行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210＝＝2 047(个)数，故2 024是图中第11行的第1 001个数．
答案：11 1 001
