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限时跟踪检测(六十四) 二项式定理
一、单项选择题
1．(2024·北京西城区模拟)在5的展开式中，x的系数为( )
A．40 B．10
C．－40 D．－10
2．(2024·河北衡水模拟)已知(x－2)(x＋m)5＝ax6＋ax5＋…＋ax＋a ，m为常数，若a
6 5 1 0 0
＝2，则a＝( )
5
A．－7 B．－2
C．3 D．7
3．已知(1＋λx)n的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，且(1＋
λx)n＝a＋ax＋ax2＋…＋axn，若a＋a＋…＋a＝242，则实数λ＝( )
0 1 2 n 1 2 n
A．3 B．2 C．1 D．4
4．二项式30的展开式中，其中是无理项的项数共有( )
A．27项 B．24项
C．26项 D．25项
5．(2024·山东菏泽模拟)若(a－x)(2＋x)6的展开式中x5的系数是12，则实数a的值为(
)
A．4 B．5
C．6 D．7
6．2 0232 022被2 0222除的余数是( )
A．1 B．0
C．2 023 D．2 022
7．设(2x－)6＝a＋ax＋…＋ax6，则(a＋a＋a)2－(a＋a＋a＋a)2＝( )
0 1 6 1 3 5 0 2 4 6
A．－1 B．0
C．1 D．2
8．若(1－2x)2 023＝a ＋ax＋ax2＋…＋a x2 023，则2·a －22·a ＋23·a －24·a ＋…＋22
0 1 2 2 023 1 2 3 4
023·a 的值为( )
2 023
A．·(32 023＋52 023)
B．－52 023
C．1－52 023
D．－1－32 023
二、多项选择题
9．(2024·河北沧州模拟)已知(1－2x)2 023＝a＋ax＋ax2＋…＋a x2 023，则( )
0 1 2 2 023
A．展开式中所有项的二项式系数和为22 023
B．展开式中系数最大项为第1 350项
C．a＋a＋a＋…＋a ＝
1 3 5 2 023
D．＋＋＋…＋＝－1
10．(2024·河北张家口模拟)已知(ax2－1)5(b>0)的展开式中含x项的系数为30，项的系
数为M，则下列结论正确的是( )A．a>0 B．ab3－b2＝3
C．M有最大值10 D．M有最小值－10
三、填空题与解答题
11．在(1－x)4(2x＋1)5的展开式中，含x2的项的系数为________．
12．(2024·浙江名校联盟联考)设(x－1)(2＋x)3＝a ＋ax＋ax2＋ax3＋ax4，则a ＝
0 1 2 3 4 1
________，2a＋3a＋4a＝________.
2 3 4
13．(2024·名师原创)若(1＋2 020x)2 020＝a ＋ax＋ax2＋…＋a x2 020，则＋＋＋…＋＝
0 1 2 2 020
________.
14．在①只有第8项的二项式系数最大；②奇数项二项式系数之和为47；③各项系数
之和为414这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
设二项式n，若其展开式中，________，是否存在整数k，使得T 是展开式中的常数项？
k
若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
高分推荐题
15．已知S 是数列{a}的前n项和，若(1－2x)2 023＝b ＋bx＋bx2＋…＋b x2 023，数列
n n 0 1 2 2 023
{a}的首项a＝＋＋…＋，a ＝S·S ，则S ＝( )
n 1 n＋1 n n＋1 2 023
A．－ B．
C．2 023 D．－2 023
解析版
一、单项选择题
1．(2024·北京西城区模拟)在5的展开式中，x的系数为( )
A．40 B．10
C．－40 D．－10
解析：设5的通项为T ，则T ＝Cx5－k(－2x－1)k(k＝0,1,2，…，5)，化简得T ＝
k＋1 k＋1 k＋1
C·(－2)k·x5－2k，令5－2k＝1，得k＝2，则x的系数为C(－2)2＝40，故A正确．
答案：A
2．(2024·河北衡水模拟)已知(x－2)(x＋m)5＝ax6＋ax5＋…＋ax＋a ，m为常数，若a
6 5 1 0 0
＝2，则a＝( )
5
A．－7 B．－2
C．3 D．7
解析：令x＝0，得(－2)×m5＝2，得m5＝－1，即m＝－1，故(x＋m)5＝(x－1)5的展开
式的通项T ＝Cx5－r(－1)r，因为a 为x5的系数，故由多项式的乘法法则可知a ＝1×C×(－
r＋1 5 51)1＋(－2)×C×(－1)0＝－5－2＝－7.
答案：A
3．已知(1＋λx)n的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，且(1＋
λx)n＝a＋ax＋ax2＋…＋axn，若a＋a＋…＋a＝242，则实数λ＝( )
0 1 2 n 1 2 n
A．3 B．2 C．1 D．4
解析：由(1＋λx)n的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，得C＝
C，解得n＝5，所以(1＋λx)5＝a ＋ax＋ax2＋…＋ax5，令x＝0，得a ＝1，令x＝1，得(1
0 1 2 5 0
＋λ)5＝a＋a＋a＋…＋a＝243，所以1＋λ＝3，解得λ＝2.
0 1 2 5
答案：B
4．二项式30的展开式中，其中是无理项的项数共有( )
A．27项 B．24项
C．26项 D．25项
解析：二项式 30 的展开式中，通项公式为 C·()30－r·r＝C·x，0≤r≤30，∴r＝
0,6,12,18,24,30时为有理项，共6项，故无理项的项数共有31－6＝25，故选D．
答案：D
5．(2024·山东菏泽模拟)若(a－x)(2＋x)6的展开式中x5的系数是12，则实数a的值为(
)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：利用二项式定理展开得(a－x)(2＋x)6＝(a－x)·(C×26＋C×25x＋C×24x2＋C×23x3＋
C×22x4＋C×2x5＋C×x6)，则x5的系数为aC×2－C×22＝12，解得a＝6.
答案：C
6．2 0232 022被2 0222除的余数是( )
A．1 B．0
C．2 023 D．2 022
解析：因为2 0232 022＝(2 022＋1)2 022＝2 0222 022＋C·2 0222 021＋…＋C·2 0222＋C·2 022＋
1＝2 0222 022＋C·2 0222 021＋…＋C·2 0222＋2 0222＋1＝2 0222×(2 0222 020＋C·2 0222 019＋…＋C
＋1)＋1，因此2 0232 022被2 0222除的余数是1.
答案：A
7．设(2x－)6＝a＋ax＋…＋ax6，则(a＋a＋a)2－(a＋a＋a＋a)2＝( )
0 1 6 1 3 5 0 2 4 6
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：令x＝1，得(2－)6＝a＋a＋a＋a＋a＋a＋a，
0 1 2 3 4 5 6
令x＝－1，得(－2－)6＝a－a＋a－a＋a－a＋a，
0 1 2 3 4 5 6
∴(a＋a＋a)2－(a＋a＋a＋a)2
1 3 5 0 2 4 6
＝－(a＋a＋a＋a＋a＋a＋a)(a－a＋a－a＋a－a＋a)
0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6
＝－(2－)6·(－2－)6＝－1.
答案：A
8．若(1－2x)2 023＝a ＋ax＋ax2＋…＋a x2 023，则2·a －22·a ＋23·a －24·a ＋…＋22
0 1 2 2 023 1 2 3 4023·a 的值为( )
2 023
A．·(32 023＋52 023)
B．－52 023
C．1－52 023
D．－1－32 023
解析：因为(1－2x)2 023＝a ＋ax＋ax2＋…＋a x2 023，令x＝0，得a ＝1；再令x＝－
0 1 2 2 023 0
2，则[1－2·(－2)]2 023＝1－2·a ＋22·a －23·a ＋24·a －…－22 023·a ，从而2·a －22·a ＋23·a
1 2 3 4 2 023 1 2 3
－24·a＋…＋22 023·a ＝1－52 023.故选C．
4 2 023
答案：C
二、多项选择题
9．(2024·河北沧州模拟)已知(1－2x)2 023＝a＋ax＋ax2＋…＋a x2 023，则( )
0 1 2 2 023
A．展开式中所有项的二项式系数和为22 023
B．展开式中系数最大项为第1 350项
C．a＋a＋a＋…＋a ＝
1 3 5 2 023
D．＋＋＋…＋＝－1
解析：易知(1－2x)2 023的展开式中所有项的二项式系数和为22 023，故A正确；
由二项式通项，知T ＝C(－2x)r＝(－2)rCxr，
r＋1
所以第1 350项的系数为(－2)1 349C<0，
所以第1 350项不是系数最大项，故B错误；
当x＝1时，有a＋a＋a＋…＋a ＝－1，①
0 1 2 2 023
当x＝－1时，有a－a＋a－a＋…＋a －a ＝32 023，②
0 1 2 3 2 022 2 023
①－②，可得a＋a＋a＋…＋a ＝－，故C错误；
1 3 5 2 023
当x＝0时，a＝1，当x＝时，
0
a＋＋＋＋…＋＝0，
0
所以＋＋＋…＋＝－a＝－1，故D正确．
0
答案：AD
10．(2024·河北张家口模拟)已知(ax2－1)5(b>0)的展开式中含x项的系数为30，项的系
数为M，则下列结论正确的是( )
A．a>0 B．ab3－b2＝3
C．M有最大值10 D．M有最小值－10
解析：∵(ax2－1)5＝ax25－5，又5的展开式的通项公式为T ＝Cx5－rr＝Cbrx5－2r，∴30＝
r＋1
aCb3－Cb2，∴ab3－b2＝3，故B正确；ab3＝b2＋3>0，又∵b>0，∴a>0，故A正确；由题
可得M＝aCb4－Cb3＝5(ab4－2b3)＝5(3b－b3)，所以M′＝15(1－b2)，∵b>0，由M′＝0，得b
＝1，∴b∈(0,1)，M′>0，b∈(1，＋∞)，M′<0，∴M在b＝1处取得最大值10，无最小值，
故C正确，D错误．故选ABC．
答案：ABC
三、填空题与解答题
11．在(1－x)4(2x＋1)5的展开式中，含x2的项的系数为________．
解析：(1－x)4的展开式的通项为 T ＝C(－x)k，(2x＋1)5的展开式的通项为 T ＝
k＋1 t＋1C(2x)5－t，所以(1－x)4(2x＋1)5的展开式中，含x2的项为C(－x)0·C(2x)5－3＋C(－x)1C(2x)5－4＋
C(－x)2C·(2x)5－5＝6x2，所以含x2的项的系数为6.
答案：6
12．(2024·浙江名校联盟联考)设(x－1)(2＋x)3＝a ＋ax＋ax2＋ax3＋ax4，则a ＝
0 1 2 3 4 1
________，2a＋3a＋4a＝________.
2 3 4
解析：因为x·C·23·x0－C·22·x1＝－4x，所以a＝－4.
1
对所给等式的两边对x求导，可得(2＋x)3＋3(x－1)(2＋x)2＝a＋2ax＋3ax2＋4ax3，
1 2 3 4
令x＝1，得27＝a＋2a＋3a＋4a，
1 2 3 4
所以2a＋3a＋4a＝31.
2 3 4
答案：－4 31
13．(2024·名师原创)若(1＋2 020x)2 020＝a ＋ax＋ax2＋…＋a x2 020，则＋＋＋…＋＝
0 1 2 2 020
________.
解析：因为＝＝nC＝2 020C，所以＋＋＋…＋＝2 020(C＋C＋…＋C)＝2 020×＝2
020×22 018.
答案：2 020×22 018
14．在①只有第8项的二项式系数最大；②奇数项二项式系数之和为47；③各项系数
之和为414这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
设二项式n，若其展开式中，________，是否存在整数k，使得T 是展开式中的常数项？
k
若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解：若选条件①，即只有第8项的二项式系数最大，则n＝14.
若选条件③，即各项系数之和为414，
则4n＝414，即n＝14.
二项式14的展开式的通项为T＝C()15－kk－1＝3k－1Cx.
k
由21－7k＝0，得k＝3.
即若选条件①或③，则存在整数k＝3，使得T 是展开式中的常数项．
k
若选条件②，即奇数项二项式系数之和为47，则2n－1＝47＝214，所以n＝15.
二项式15的展开式的通项为
T＝C()16－kk－1＝3k－1Cx.
k
由22－7k＝0，得k＝∉Z，即不存在整数k，使得T 是展开式中的常数项．
k
高分推荐题
15．已知S 是数列{a}的前n项和，若(1－2x)2 023＝b ＋bx＋bx2＋…＋b x2 023，数列
n n 0 1 2 2 023
{a}的首项a＝＋＋…＋，a ＝S·S ，则S ＝( )
n 1 n＋1 n n＋1 2 023
A．－ B．
C．2 023 D．－2 023
解析：令x＝，得2 023＝b＋＋＋…＋＝0.
0
令x＝0，得b＝1，
0
所以a＝＋＋…＋＝－1.
1
由a ＝S·S ＝S －S，
n＋1 n n＋1 n＋1 n
得＝－＝1，所以－＝－1，
所以数列是首项为＝－1，公差为－1的等差数列，
所以＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，
所以S＝－，所以S ＝－.
n 2 023
答案：A
