文档内容
第 02 讲 垂线与点到直线的距离
课程标准 学习目标
1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线
①垂线的定义及性质
的垂线；掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；
②点到直线的距离
2．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．
知识点01 垂线概念和性质
1.垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中
的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如下
图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O.垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角
（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角）
2.垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
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学科网（北京）股份有限公司（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
【即学即练1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，点 、 、 均在
格点上．
(1)过点 画线段 的平行线 ；
(2)过点 画线段 的垂线，垂足为 ；
(3)线段 的长度是点到直线 的距离；
(4)比较线段 、 的大小关系（用“<”连接）．
知识点02 点到直线的距离
3.点到线的距离：如下图所示，过点A作直线 的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线
的距离，此时线段AB叫垂线段.
【即学即练1】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在直角三角形 中， ，
， ．请解答下列问题：
(1)点B到 的距离是 ，点A到 的距离是 ；
(2)请在图中作出点C到 的垂线段 ；
(3) （填“ ”、“ ”、“ ”），理由是 ．
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学科网（北京）股份有限公司题型01 垂线的定义的理解
例题：（2024七年级上·全国·专题练习） 为直线 上的一点， 为 外一点，下列说法不正确的是（ ）
A．过 可画直线垂直于 B．过 可画直线 的垂线
C．连结 使 D．过 只能画1条直线与 垂直
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知 ， ，所以 与 在同一条直线上的理
由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图， ， 垂足为D，则下面说法中不正确
的是（ ）
A．点B到 的垂线段是线段CA B．CD与AB互相垂直
C． 与 互相垂直 D．线段 的长度是点A到 的距离
题型02 垂线段最短
例题：（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，在 中，过点C作 于点D，M是边 上的
一个动点，连接 ．若 ，则线段 的长的最小值是 ．
【变式训练】
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学科网（北京）股份有限公司1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为 米，
米， 米，则黎明的跳远成绩应该为 米．
2．（2024七年级上·全国·专题练习） 为直线 外一点， 为直线 上一点，点 到直线 的距离为 ，
则 （选填“≥”“＝”或“≤”），根据是 ．
题型03 画垂线
例题：（23-24七年级下·北京丰台·期末）用三角板过点 作 所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为 ， 、 、
都在格点上．
(1)利用网格作图：过点 画直线 的垂线 ，垂足为点 ；
(2)线段 的长度是点______到直线_______的距离；
(3)比较大小： ______ （填＞、＜或＝），理由：______．
2．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用网格画图：
(1)过点C画 的垂线，垂足为E；
(2)线段 的长度是点C到直线_______的距离；
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学科网（北京）股份有限公司(3)连接 ，在线段 中，线段_______最短．
题型04 点到直线的距离
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在三角形 中， ， ，垂足为 ．
若 ， ， ，则点A到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为
，点 到直线 的距离为 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，三角形 中， ，已知 ， ， ，
则点B到直线 的距离是 ．
2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点
称为格点，点 、 、 、 均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图．
(1)作线段 ，作射线 ；
(2)点 到直线 的距离为线段________的长度；
(3)在线段 上找一点 ，使它到 、 、 、 四个点的距离之和最小，作图的理由为________．
题型05 利用垂线的定义求角的度数
例题：（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线 与 相交于点O， 平分 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)当 时，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的度数．
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线 ， 相交于点 ， ．
(1)若 ，判断 与 的位置关系；
(2)若 ，求 的度数．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线 、 相交于点 ， ， ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．
题型06 利用垂线的定义求旋转问题
例题：（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图， 是直线 上的一点， ， 平分 ，
， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图，若 ，则 的度数为____________；
(2)探究在 绕点 旋转过程中，求 的度数；（用含有 的代数式表示）
(3)在 内部有一条射线 是 的角平分线，求 的度数．（用含有 的代数式表示）
【变式训练】
1．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图， ，射线 从 开始绕点O逆时针旋转，速度
为每分钟旋转 ；同时，射线 从 开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转 ；设运动时间为
，解答下列问题：
(1)当t为何值时， 为平角？
(2)当t为何值时， 平分 ？
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使 将 分成的两个角的度数之比为 ？若存在，求出t
的值；若不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使 ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
一、单选题
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，三条直线相交于点 ，若 ， ，则 等于
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）小峰同学家在点 处，他在行走速度相同的情况下，想尽快到达公路
边，他选择沿线段 去公路边，这一选择用到的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
3．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）过点B画线段 所在直线的垂线段，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图是光的反射定律示意图， 分别是入射光线、反射
光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角）．
若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知点 是射线 上一点，过 作 交射线 于点
， 交射线 于点 ，下列结论正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 的余角只有 B．图中互余的角共有 对
C． 的补角只有 D．图中与 互补的角共有 个
二、填空题
6．（23-24七年级下·北京·期末）如图，若 ， ， 为垂足，那么 ， ， 三点在同一直线
上，其理由是 ．
7．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，要把河中的水引到农田 处，若 河岸 ，垂足为点 ，
则沿着线段 铺设管道能使水管最短，其中蕴含的数学道理是 ．
8．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点O是直线 上一点，射线 在 同侧，且 ，
若 ，则 的度数为 ．
9．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图， ， 于D，有以下结论：① ：②
与 互相垂直；③点C到 的垂线段是线段 ；④点A到 的距离是线段 的长度；⑤线段
的长度是点C到 的距离：⑥线段 的长度是点D到 的距离，其中正确的有
（填序号）
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学科网（北京）股份有限公司10．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线 ， 相交于点 ， 平分 ，射线 于
点 ，且 ，则 ．
三、解答题
11．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥
，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直）
12．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线 相交于点D， ．
(1)若 ，求证： ；
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的度数．
13．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，正方形网格的格点 在 的边 上，点 ， ， 也
是格点，请利用网格完成下面画图：
(1)过点 画 的垂线，交 于点 ，经过的一个格点记为 ；
(2)过点 画 的垂线，垂足记为 ；
(3)试判断线段 ， ， 的大小关系并说明判断的依据．
14．（23-24七年级下·重庆秀山·阶段练习）如图，直线 、 相交于点 ， 平分 ， 平分
．
(1) 、 有什么位置关系，请说明理由；
(2)若 ，求 的度数．
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学科网（北京）股份有限公司15．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图，点 都在格点上（小正方形的顶点叫做格点），
(1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）．
①过点 画直线 的平行线 ，并标出直线 所经过的格点 ；
②过点 画直线 的垂线 ，并标出直线 所经过的格点 及垂足 ；
(2)线段______的长就是点 到直线 的距离；
(3)比较大小： ______ （填“ ”“ ”或“ ”）
16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，点O为直线 上一点，过点O作射线 ，使
，点M在射线 上，射线 在直线 的下方，且 ．
(1)将图1中的 绕点O逆时针旋转至图2，使射线 在 的内部并恰好平分 ，求
的度数．
(2)在（1）的条件下，反向延长射线 得到射线 ，如图3所示，判断射线 是否平分 ，请说
明理由．
(3)将图1中的 绕点O按每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，
边所在的直线恰好平分锐角 ，则t的值为__________秒．（直接写出答案）
17．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）已知，点O在直线 上， ， 平分 ．
【问题初探】
（1）如图1，若 ，求 的度数；
【类比分析】
（2）如图1，试探究 与 之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图2，若 平分 ， 平分 ，试探究 的值是否为定值？如果是，
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学科网（北京）股份有限公司请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
18．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）【问题情境】
如图，点 在直线 上， ．如果 绕点 按逆时针方向旋转 到 ，那么点 的位置可
以用 表示．
【操作发现】
（1）如图，将 绕点 按逆时针方向旋转 后停止，旋转后的对应线段为 ，在旋转过程中当
时，点 的位置可以用______表示；
【实践探究】
规定：若一个角是另一个角的4倍时，则称这两个角互为“偶分角”．
将 绕点 按逆时针方向以每秒 的速度旋转到 ，当 与 重合时，停止运动．
（2）是否存在某一时刻，使得 与 互为“偶分角”．若存在，求出点 的位置；若不存在，
请说明理由．
（3）当 旋转10秒后，射线 从 出发，绕点 以每秒 的速度按逆时针方向旋转，当 旋转
______秒后， 与 互为“偶分角”．
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