文档内容
第 01 讲 两条直线的位置关系
课程标准 学习目标
1．理解对顶角、补角和余角的概念，能在图形中辨认；
①对顶角
2．掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相
②补角、余角
等，并能解决一些实际问题．
知识点01 相交线、平行线
1.相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.表示方法：如下图，直线AB与直线
CD相交于点O
2.平行线：在平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
【即学即练1】（23-24七年级下·广东揭阳·期中）在同一平面内，两条直线的位置关系是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交
【答案】D
【知识点】平面内两直线的位置关系
【分析】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独
作为一类．
利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答，同一平面内两条直线的位置关系有两种：平行、相交．
【详解】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交．
故选：D
知识点02 对顶角
1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个
角叫做对顶角.
2.对顶角的性质：对顶角相等.
【即学即练1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图， 和 不是对顶角的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】对顶角的定义
【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．根据对顶角定义：两个角有一
个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，逐一判断即可．
【详解】解：根据对顶角定义：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向
延长线，
① 和 两边不是互为反向延长线，不是对顶角；
② 和 两边不是互为反向延长线，没有公共顶点，不是对顶角；
③ 和 两边互为反向延长线，有一个公共顶点，是对顶角；
④ 和 两边不是互为反向延长线，不是对顶角；
所以不是对顶角是①②④，共3个．
故选：C．
【即学即练2】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，直线 、 相交于点 ， ，
那么 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【知识点】对顶角相等
【分析】本题考查了对顶角的定义．根据两直线相交，对顶角相等即可得出答案．
【详解】 与 是对顶角，
∴ = = ，
故答案为： ．
知识点03 余角、补角
1.互补与互余的概念
互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，
那么称这两个角互为余角，也称互余.
2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.
【即学即练1】（23-24七年级上·河北承德·期末）已知 ，则 的余角为 ， 的
补角为 ．
【答案】
【知识点】角的单位与角度制、求一个角的余角、求一个角的补角
【分析】本题主要考查了求一个角的余角， 求一个角的补角，角的单位与角度制等知识点，熟练掌握余
角和补角的定义是解题的关键：如果两个角的和等于 （直角），则这两个角互为余角，即其中每一个
角是另一个角的余角；如果两个角的和等于 （平角），则这两个角互为补角，即其中每一个角是另一
个角的补角．
根据余角和补角的定义直接列式计算即可．
【详解】解： ，
的余角 ，
的补角 ，
故答案为： ， ．
【即学即练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线 上， ．
(1)图中除 外，还有哪些角是直角？
(2)图中有哪些相等的角？
(3)指出图中与 互余的角、与 互补的角．
【答案】(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2) ；
(3)与 互余的角有： ；与 互补的角有：
【知识点】与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用
【分析】本题考查了角的余角、补角的概念，仔细看图找到角之间的关系是解题的关键．
（1）根据直角的定义即可求解；
（2）根据直角都相等，等角的余角相等即可求解；
（3）根据余角和补角的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴图中除 外，还有 是直角；
（2）解： ；
；
（3）解：∵ ，
∴与 互余的角有： ；
∵ ，
又 ，
∴ ，
∴与 互补的角有： ．
题型01 平面内两直线的位置关系
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直
【答案】C
【知识点】平面内两直线的位置关系
【分析】本题考查平面内直线的位置关系，根据平面内两条直线的位置关系进行判断即可．
【详解】解：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是相交或平行；
故选C．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是（
）
A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【知识点】平面内两直线的位置关系
【分析】本题考查平面内两条直线的位置关系，注意垂直是相交的特殊情况，包括在相交里．根据同一平
面内，两条直线的位置关系即可得到结论．
【详解】解：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交或平行，
故选：A．
2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，已知四条线段a，b，m，n中的一条与挡板另一侧的线段l平
行，请判断该线段是（ ）
A．a B．b C．m D．n
【答案】B
【知识点】平面内两直线的位置关系
【分析】根据同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线，即可判断，
本题考查了平行的定义，解题的关键是：熟练掌握平行线的定义．
【详解】解：用直尺分别作a，b，l，m，n的延长线，
其中只有b的延长线不与l相交，
∴ ．
故选：B．
题型02 对顶角的定义
例题：（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图， 与 是对顶角的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角的定义
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两
个角叫做对顶角，由此对各选项作出判断即可．
本题考查对顶角的定义，解题的关键是理解对顶角的定义．
【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有选项C是对顶角，其它都不是．
故选C．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）下面四个图形中， 与 是对顶角的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角的定义
【分析】本题考查了对顶角．两条边互为反向延长线的两个角叫对顶角，根据定义结合图形逐个判断即可．
【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；
B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；
C、符合对顶角的定义，故本选项符合题意；
D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）下面四个图形中， 与 互为对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角的定义
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两
个角互为对顶角，据此求解即可．
【详解】解；根据对顶角的定义可知，四个选项中只有C选项中的 与 互为对顶角，
故选：C．
题型03 利用对顶角相等求角
例题：（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线a、b相交， ，则 度．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】140
【知识点】对顶角相等
【分析】本题主要考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等成为解题的关键．
先根据对顶角相等和已知条件求得 ，再根据平角的性质列式计算即可．
【详解】解：∵ ， （对顶角相等），
，
．
故答案为：140．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，直线 、 相交于点O， 平分 ，
， ， ， ．
【答案】 37 53
【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等
【分析】由邻补角定义即可得出结果；由对顶角相等得出 ，由角平分线定义即可得出
结果；求出 ，即可得出 的度数．本题考查了对顶角相等的性质以及角
平分线定义；熟练掌握各个角之间的数量关系是解决问题的关键．
【详解】解： ， 平分 ，
；
∵
，
．
故答案为：37，53
2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知直线 和 相交于点 ，射线 于点 ，且
，则 的度数为 度．
【答案】 或
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】几何图形中角度计算问题、对顶角相等、利用邻补角互补求角度
【分析】本题考查了对顶角、邻补角、角的计算，熟记概念并准确画图是解题的关键．
根据垂直的定义求出 ，然后求出 或 ，再根据邻补角或对顶角相等即可解答．
【详解】解：分为两种情况：
如图 ：
，
，
又 ，
，
；
如图 ：
，
，
，
，
又 直线 和 相交于点 ，
；
综上， 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
题型04 求一个角的余角
例题：（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知 ，则 的余角大小是 ．
【答案】
【知识点】求一个角的余角
【分析】本题考查了互为余角的概念，根据互为余角的两个角的和为 作答即可，熟记和为 的两个角
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学科网（北京）股份有限公司互为余角是解题的关键．
【详解】解：根据余角定义可得： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知 ，那么 的余角度数为 ．
【答案】
【知识点】求一个角的余角
【分析】本题考查了余角，度分秒的换算，解决本题的关键是掌握度、分、秒的换算．根据余角的定义可
知 的余角为 ，计算时应首先从90°中取出 化为 ，然后让分和分相减、度和度相减即可．
【详解】解： 的余角为： ．
故答案为： ．
2．（24-25七年级上·北京海淀·期末）已知 在正方形网格中的位置如图所示．设 的余角为 ，
则 ．（填“>” “<”或“=”）
【答案】
【知识点】角的比较、求一个角的余角
【分析】本题考查网格特征、余角的定义、角的和差关系及大小比较等知识点，熟练掌握网格特征是解题
关键．如图，取格点格点 、 ，连接 、 、 、 ，根据网格特征可得四边形 是正方形，
， ，根据余角得定义得出 ，根据角的和差关系即可比
较 、 的大小，可得答案．
【详解】解：如图，取格点格点 、 ，连接 、 、 、 ，
由网格特征可知： ， ，四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ 的余角为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司题型05 求一个角的补角
例题：（24-25七年级上·湖南郴州·期末）已知 ，那么 的补角等于 ．
【答案】 /
【知识点】求一个角的补角
【分析】本题考查了补角的定义，根据补角的定义即可直接求解，熟练掌握补角的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ 的补角等于 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2024七年级上·河南·专题练习）若 ，则 的补角的余角为 ．
【答案】
【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角
【分析】本题考查求补角和余角，由互补定义“互补的两个角和为 ”即可求出 的补角，再由互余
定义“互余的两个角和为 ”即可求出 的补角的余角．熟记互余、互补定义是解决问题的关键．
【详解】解： ，
的补角为 ，
则 的补角的余角为 ，
故答案为： ．
2．（2024七年级上·吉林·专题练习）已知点 在点 的南偏西 方向上，点 在点 的北偏西 方向上，
则 的补角的度数为 ．
【答案】
【知识点】与方向角有关的计算题、求一个角的补角
【分析】本题考查了方向角，补角的定义，正确画出图形是解题的关键．根据方向角的定义，画出图形得
到 即可求解．
【详解】如图所示，
所以 ，
所以 的补角为 ．
故答案为： .
题型06 对顶角、余角、补角的综合
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学科网（北京）股份有限公司例题：（23-24七年级上·广东潮州·期末）如图， 平分 ， 平分 ．若
．
(1)求出 的度数；
(2)判断 与 是否互补，并说明理由．
【答案】(1)
(2) 与 互补．理由见解析
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查了角平分线有关计算，判断互补，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，补角定义．
（1）利用角平分线的定义得出 ，结合 ，根据 ，代入计算
即可；
（2）先利用角平分线的定义求出 ， ，再根据 ，即可得答案．
【详解】（1）解：∵ 平分 ． ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解： 与 互补．理由：
∵ 平分 ， 平分 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故 与 互补．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线 相交于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，则 的余角有__________．
(2)若 ，求 和 的度数．
【答案】(1) ，
(2) ， ．
【知识点】几何图形中角度计算问题、求一个角的余角、对顶角相等、利用邻补角互补求角度
【分析】此题主要考查了垂直的定义，对顶角的性质和邻补角的定义计算，要注意领会由垂直得直角这一
要点．
（1）由垂线的性质求得 ，然后根据等量代换及余角的定义解答；
（2）根据垂直的定义求得 ，再由 求得 ，然后根据邻补角
定义和对顶角的性质即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
，即 ，
∵ ，
的余角有： ， ；
故答案为： ， ；
（2）解： ，
，
， ，
∴ ，
，
∴ ．
2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，O是直线 上一点，过点O作 、 、 三条射线，
平分 ， ．
(1)若 ，则 的度数为___________；
(2)若 ，求 的度数；
(3)在（2）的条件下，若过点O作射线 使得 ，求 的度数．
【答案】(1) ；
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学科网（北京）股份有限公司(2) 的度数为 ；
(3) 的度数为 或 ．
【知识点】几何图形中角度计算问题、利用邻补角互补求角度
【分析】本题考查了角平分线的定义和角的计算，熟练掌握角平分线的定义，并能够根据题目已知条件找
到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键．
（1）由条件 平分 可得 ，再由条件 可得 ，通过等量
代换即可得到 的度数；
（2）由条件 ，并结合（1）的结论 ，可得 ，再利用
为平角找出等量关系列出等式，即可求解 的度数；
（3）分射线 在 的内部及外部两种情况讨论，作出示意图并结合图形先计算 的度数，再
根据 与 互补的关系即可得解．
【详解】（1） 平分 ，
．
，
同理， ，
，
．
（2）由题可知， ，
．
，
，
由题可知 为平角，
，
即 ，
，
的度数为 ．
（3）当 在 内部时，如图①，
则 ．
；
当 在 外部时，如图②，
则 ，
．
综上所述， 的度数为 或 ．
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学科网（北京）股份有限公司题型07 与对顶角、余角、补角有关的旋转综合问题
例题：（2024七年级上·黑龙江·专题练习）如图，O是直线 上的一点，将一直角三角尺如图摆放，过点
O作射线 平分 ．将直角三角尺绕点O顺时针旋转，回到图①的位置时停止旋转，探究在旋转过
程中 与 之间的数量关系．
(1)如图①，若 ，求 的度数；
(2)如图②，直角边 在直线 的上方，若 ，其他条件不变，请求出 的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题、与余角、补角有关
的计算
【分析】此题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找
到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．
（1）先根据补角的定义求出 ，再根据角平分线的定义求出 ，再根据直角的定义结合
即可求解；
（2）先根据补角的定义求出 ，再根据角平分线的定义求出 ，再根据直角的定义结合
即可求解．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ．
因为 平分 ，所以 ．
因为 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ．
因为 平分 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点O为直线AB上一点，过点O 作射线 ，使 ．
将一直角三角板的直角顶点放在点O处 ，一边 在射线 上，另一边 在直线 的
下方．
(1)求图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②，使一边 在 的内部，且恰好平分 求
的度数．
(2)将图①中的三角板绕点O 顺时针旋转至图3，使 在 的内部，请探究 与 的数量
关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算
【分析】本题主要考查了角的和差运算的应用，角平分线的性质等知识点，
（1） 平分 ，可求得 ，再由互余关系即可求得结果；
（2）由 且 ，即可得出两角的关系；
熟练掌握其性质，结合图形，用所求的角表示未知的角是解决此题的关键．
【详解】（1）解：∵ 平分 ， ，
，
；
（2）解： ，理由如下，
∵ ，
∴ ,
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学科网（北京）股份有限公司, ，
，
,
即 与 的数量关系为： ．
2．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）定义：如果两个角的差的绝对值等于 ，就称这两个角互为垂角，
例如： ， ，则 和 互为垂角．
(1)如图1，O为直线 上的一点， ，直接写出图中一对垂角；
(2)如果一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍，求这个角的度数；
(3)如图2，O为直线 上的一点，若 ，且射线 绕O以每秒 的速度顺时针
旋转，射线 绕点O以每秒 的速度顺时针旋转，两条射线 同时运动，运动时间为t秒（
），试求当t为何值时， 和 互为垂角？
【答案】(1) 和 互为垂角
(2)
(3)2或14或26
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算
【分析】此题考查了互为垂角和余角的概念以及运用，一元一次方程的应用，解题的关键是能准确的从图
中找到角之间的数量关系，从而计算出结果．
（1）根据垂角定义即可得到答案；
（2）设这个锐角的度数为 ，根据一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍列方程解答；
（3）分四种情况：当 时，当 时，当 时，当 时，分别求出 和
，根据互为垂角列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ 和 互为垂角；
（2）解：设这个锐角的度数为 ，则 ，它的垂角是 ，
，
解得 ，
∴这个角的度数是 ；
（3）解：分四种情况：
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
∴ ，
解得 ；
当 时， ，
∴ ，
解得 （舍去）；
当 时， ，
∴ ，
解得 ；
当 时， ，
∴ ，
解得 ，
综上，当t的值为2或14或26时， 和 互为垂角．
题型08 与对顶角、余角、补角有关的新定义综合问题
例题：（北京市海淀区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题）设 ，
， 分别是 、 的角平分线，记 ．如果
， 互补，或者 ， 互补，则称 ， 是一对“分补角”．
(1)如图 ， ， 在 内， ．分别作 ， 的角平分线 ，
则 ______ ， ， ______一对“分补角”（填“是”或“不是”）；
(2)若 ， ，且 ， 是一对“分补角”，求 的值；
(3)如图 ， ．若 和 是一对“分补角”，直接写出 的所有可能值．
【答案】(1) ，不是
(2)
(3) 或 或 或
【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、几何图形中角度计算问题
【分析】（ ）利用角平分线的定义可求出 ，再分别求出 与 即可判
断 ， 是否是“分补角”；
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学科网（北京）股份有限公司（ ）由题意可知 不可能在 内部，再画出图形，根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求
解；
（ ）分 在 内部和外部两种情况，分别画出图形，根据角平分线和“分补角”的定义解答即可
求解；
本题考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， 不是一对“分补角”，
故答案为： ，不是；
（2）解：∵ ， 、 是一对“分补角”，
∴ 不可能在 内部，
如图，∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， 是一对“分补角”，
∴ ，
即 ，
解得 ；
（3）解：当 在 内部时，如图，
∵ 平分 ， 平分 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ；
当 时， ；
当 在 外部时，
①当 为钝角时，如图，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②当 为锐角时，如图，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
综上， 的可能值为 或 或 或 ．
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学科网（北京）股份有限公司【变式训练】
1．（24-25七年级上·北京房山·期末）已知，从 的顶点 出发，在 的内
部作一条射线 ，若射线 将 分得的两个角中有一个角与 相加和为90°，则称射线 是
的“角余分线”．
例如：如图， ，射线 在 的内部， ， ，所以射线
是 的“角余分线”．
(1)若 ，射线 在 的内部，且 ，则射线 ________（填“是”或“不
是”） 的“角余分线”；
(2)若射线 是 的“角余分线”，且射线 平分 ，则 ________ ；
(3)已知 ，射线 在 的内部，射线 是 的角平分线，射线 是 的
“角余分线”，若射线 是 的“角余分线”，请直接写出 的度数．
【答案】(1)是
(2)
(3) 或 或
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、
补角有关的计算
【分析】本题考查了角平分线的定义，余角等，理解“分余线”的概念是解题的关键．
（1）根据“角余分线”的定义，即可求解；
（2）射线 平分 ，设 ，则 ，根据“角余分线”的定义，得出
，进而即可求解；
（3）设 ，则 ，根据射线 是 的“角余分线”，得出
或 ，根据射线 是 的“角余分线”得出 或
，进而分别表示出 ，进而列出方程，解方程，并结合图形检验即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，射线 在 的内部，且 ，
∴
∴
∴射线 是 的“角余分线”；
故答案为：是．
（2）解：∵射线 平分 ，设
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学科网（北京）股份有限公司∴
又∵射线 是 的“角余分线”，
∴
∴
∴
故答案为： ．
（3）解：∵射线 是 的角平分线，
∴ ，
设 ，
则
∵射线 是 的“角余分线”，
∴ 或
∴ ，即 ①；或 即
②；
∵射线 是 的 角余分线 ，
∴ 或
∴ ③或
，即 ④
当 ， 时（即①③成立），如图所示
∴
解得：
∴ ；
当 ， 时（即①④成立），如图所示，
∴
21 / 43
学科网（北京）股份有限公司解得：
∴ ；
当 ， 时（即②③成立），如图所示
∴
解得：
∴ ；
当 ， 时（即②④成立），如图所示
∴
解得：
∴ ；
∵ ，
∴ ，则 在 的外部，不是 的 角余分线 ，不合题意，舍去
综上所述， 或 或
3．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）如图1，已知射线 ．
(1)若 ，且 ，求 的度数．
(2)若 是 的平分线， 是 的平分线，求 的度数．
(3)若 分别是 和
的平分线， ，求 的度数．
(4)定义：从 的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将 分得的两个角中有一
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学科网（北京）股份有限公司个角与 互为余角，则称该射线为 的“分余线”．
①若 平分 ，且 为 的“分余线”，则 ；
②如图2， 为 的平分线，在 的内部作射线 ，使 ，当
为 的“分余线”时，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) ； 或
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算
【分析】（1）根据题意，得到 ，从而得到 的度数；
（2）利用角平分线，得到 ，从而得到结果；
（3）利用角之间的比例关系，设 ，利用角平分线，从而得到结果；
（4）①根据新定义， ，结合角平分线得到 ，从而求得结果； ②根据
题意， 为 的“分余线”，分别讨论 或 这两种情况，从
而得到结果．
【详解】（1）
解： ， ，
，
，
，
；
（2） 是 的平分线，
，
是 的平分线，
∴ ，
，
，
；
（3）
如图：
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学科网（北京）股份有限公司，
∴设 ，
分别是 和 的平分线，
， ，
，
，
即： ，
解得： ，
；
（4）① 平分 ，且 为 的“分余线”，
，且 ，
，
，
，
故答案为： ；
②如图2，
为 的平分线，
，
为 的“分余线”，
或 ，
若 时，
令 ，
则 ，
，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
解得 ，
；
若 时，
令 则 ，
，
，
，
解得： ，
综上所述， 为 或 ．
【点睛】本题考查了角平分性质，互为余角的概念，以及新定义的“分余线”的应用，关键是对新定义的
理解和正确应用．
一、单选题
1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列图形中 与 是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角的定义
【分析】本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的定义．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个
角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此即可判断．
【详解】解：A、D两个角的两边不互为反向延长线，故A、D不符合题意；
B、两角没有公共顶点，故B不符合题意；
C、两角是对顶角，故C符合题意；
故选：C．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，两条直线相交于一点，如果 ，则 的度数是（
）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C．60° D．30°
【答案】A
【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度
【分析】本题考查了对顶角和邻补角，根据对顶角相等可得： ，又因为 ，可以求出
，根据邻补角定义可得： ，所以可得： ．
【详解】解： ， ，
，
又 ，
，
故选：A．
3．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线 ， 相交于点 ，过点 作 ，若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线的定义理解、几何图形中角度计算问题
【分析】本题考查了垂线，平角的知识，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂
直定义可得： ，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
4．（24-25七年级上·天津南开·期末）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中 与
互补的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角板中角度计算问题、同(等)角的余(补)角相等的应用
【分析】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
根据同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：A、图中 ， 与 互余，故本选项不符合题意；
B、图中 ，不一定互补，故本选项错误；
C、图中 ，互为补角，故本选项正确；
D、图中 ，不是互补关系，故本选项错误．
故选：C．
5．（2024七年级上·全国·专题练习）如图， ，下列说法中正确的个数是（ ）
① ； ② ，依据是同角的余角相等；
③ ； ④当 时，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】几何图形中角度计算问题、求一个角的余角
【分析】由 ，可得 ，故 ，结合图形， ，
故 ， ， ，由此可判断
选项是否符合题意．本题考查了余角，几何图形的角运算，关键是掌握余角的定义．
【详解】解： ，
，即 ， ，
，依据是同角的余角相等；
故②符合题意，
由题意， 不一定相等，
27 / 43
学科网（北京）股份有限公司故①不符合题意，
，
，
即 ，
故③符合题意，
当 时， ， ，
，
故④不符合题意，
故选：B．
二、填空题
6．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）如图，直线 和直线 相交于点 ， ，则 ．
【答案】 /50度
【知识点】对顶角相等
【分析】此题考查了对顶角的性质．根据对顶角相等进行解答即可．
【详解】解：∵ ， 与 是对顶角，
∴ ，
故答案为：
7．（24-25七年级上·新疆吐鲁番·期末）若 ，则 的余角等于 ，补角等于 ．
【答案】
【知识点】与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查了余角和补角，根据余角和补角的定义即可求解，熟练掌握余角和补角的有关计算是解
题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ 的余角等于 ， 的补角等于 ，
故答案为： ， ．
8．（24-25七年级上·全国·期末）已知一个角的余角比这个角的补角的 小 ，则这个角的余角的度数是
，补角的度数是 ．
【答案】
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，余角和补角的知识，设这个角的度数是 ，则它的余角为
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学科网（北京）股份有限公司，补角为 ，根据一个角的余角比这个角的补角的 多 ，即可列方程求解，熟练掌握余角
的和等于 ，互补的两角之和为 是解决此题的关键．
【详解】设这个角的度数是 ，则它的余角为 ，补角为 ，
根据题意，得 ，
解得 ．
∴ ， ，
即这个角的余角的度数为 ，补角的度数为 ，
故答案为： ， ．
9．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）在直线 上任取一点 ，过点 作射线 ， ，使 ，
当 时， 的度数是 ．
【答案】 或
【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，分 在 同侧和异侧两种情况讨论，
并画出图，然后根据 ， ，计算 的度数即可．
【详解】解：当 在 同侧时，如图，
， ，
；
当 在 异侧时，如图，
， ，
；
故答案为： 或 ．
10．（24-25七年级上·全国·期末）如图，平面内 ， ，点E，O，F在一
条直线上，下列结论：
29 / 43
学科网（北京）股份有限公司① ；
② 与 互补；
③ 平分 ；
④ ；
⑤因为 ，所以 与 ， 互余．
其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①②③
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查了角度的计算，同角（等角）的余角相等．也考查了角平分线的定义．根据余角的定义、
角的计算和角平分线性质，对五个结论逐一计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，①的说法正确；
∵ ，
即 与 互补，②的说法正确；
∵ ， ，点E，O，F在一条直线上，
∴ ，
即 平分 ，③的说法正确；
∵ ，
∴ ，
而 和 不一定相等，
∴ ，④的说法错误；
∵互余是指两个角的和为 ，即两个角互为余角，
∴ 与 ， 互余的说法是错误的，
⑤的说法错误，
故答案为：①②③．
三、解答题
11．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）如图，已知A，O，B三点共线， ，OD平分
， ．
30 / 43
学科网（北京）股份有限公司(1)图中与 互余的角是________；
(2)求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】与余角、补角有关的计算、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查互余角、互补角和角的和差，理解角平分线的定义是解题关键．
（1）根据题意得到 ，然后根据互余的概念求解即可；
（2）首先根据角平分线的概念得到 ， ，然后根据互余的性质求解即可．
【详解】（1）∵ ，
∴
∴图中与 互余的角是 ；
（2）因为 ， 平分 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
由（1）知 与 互余，
所以 ．
12．（2024七年级上·全国·专题练习）根据题意计算：
(1)一个角的余角比它的补角的 多 ，求这个角；
(2)一个角的补角加上 的和等于这个角的余角的 倍，求这个角的余角和补角．
【答案】(1)
(2)余角是 ，补角是
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查了余角和补角的定义，解题关键是掌握余角和补角的定义．
（1）设这个角为x，则它的补角为 ，余角为 ，根据题意可得： ，
然后进行计算即可解答；
31 / 43
学科网（北京）股份有限公司（2）设这个角为x，则它的补角为 ，余角为 ，根据题意得： ，
然后进行计算即可解答．
【详解】（1）解：设这个角为x，则它的补角为 ，余角为 ，
由题意得： ，
解得 ，
即这个角是 ；
（2）解：设这个角为x，则它的补角为 ，余角为 ，
根据题意列方程，得 ，
解得 ，
即这个角为 ，则它的余角为 ，补角为 ．
13．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点 是直线 上一点， 平分 ，在直线 另
一侧以 为顶点作 ．
(1)若 ，那么 ______； 与 的关系是______； 与 的关系是
______；
(2)试说明 与 的关系成立的理由．
【答案】(1) ，互余，互补
(2)理由见解析
【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算
【分析】题主要考查角平分线的定义，平角的定义，掌握角平分线和平角定义是解题的关键．
（1）先根据平角的意义，得 ，再由条件可知 ，由角平
分线的定义得 ，根据 得 可求得答案；
（2）先证得 ，再利用平角的定义证得 ，即可证
．
【详解】（1）解：∵点 是直线 上一点，
∴ ，
∵ ，
32 / 43
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ 与 互余，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴
，
∴ ，
∴ 与 互补；
故答案为： ，互余，互补；
（2）∵点 是直线 上一点， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示， 是平角， ， ， 、
分别是 、 的平分线．
(1)猜想 与 是否互补，并说明理由；
(2)求 的度数；
(3)如果只改变 和 的度数，其他条件不变，则 与 有什么样的
数量关系？请直接写出结论．
【答案】(1)互补，见解析
(2)135度
(3)
【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算
【分析】本题主要考查角的运算，根据图形理清各个角之间的关系是解题的关键．
（1）先求出 ，得 ，故可得结论；
33 / 43
学科网（北京）股份有限公司（2）先根据角平分线的意义求出 和 ，再根据 ，即可求解；
（3）根据 、 分别是 的平分线，再利用角的和可得结论．
【详解】（1）解： 与 互补；理由如下：
因为 ， ， 是 的平分线，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 与 互补；
（2）解：因为 ， 分别是 、 的平分线，
所以 ， ，
所以 ；
（3）解： ．
因为 ， 分别是 、 的平分线，
所以 ， ，
所以 ．
15．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·实践探究
【从特殊到一般思想】如图，将一副直角三角板的直角顶点 叠放在一起．
【计算与观察】
(1)若 ，则 ___________；若 ，则 ___________；
【猜想与证明】
(2)猜想 与 的大小有何特殊关系？并说明理由；
【拓展与运用】
(3)若 ，求 的度数．
【答案】(1) ，
(2) 与 互补，见解析
(3)
34 / 43
学科网（北京）股份有限公司【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、三角板中角度计算问题
【分析】本题主要考查了余角和补角、角的和差定义等知识点，灵活运用所学知识解决问题成为解题的关
键．
（1）根据角的和差定义计算即可；
（2）利用角的和差定义计算即可；
（3）利用（2）的结论计算即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
，
．
， ，
，
．
故答案为： ， ．
（2）解： 与 互补．理由如下：
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 与 互补．
（3）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ．
16．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）【问题提出】
（1）如图1，点 、 、 在一条直线上， 是一条射线， 平分 ， 平分 ，则
；
【问题探究】
（2）如图2，点 、 、 不在一条直线上， 是 内的一条射线， 平分 ， 平分
，判断 与 的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】
35 / 43
学科网（北京）股份有限公司（3）如图3，当 是 内的一条射线时， 平分 ， 平分 ，（2）中 与
的数量关系是否仍然成立，请说明理由．
【答案】（1）90；（2） ，理由见解析；（3） 仍然成立，理由见解析
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查了角平分线的定义及角度和差关系．关键是利用角平分线的定义得出 与 的
关系．
（1）根据平角得 ，结合角平分线得 ，再结合
；
（2）有题意得 ，结合角平分线得 ，结合
即可；
（3）根据角平分线得 ，结合题意 ，则
，结合 即可．
【详解】解：（1）∵点 、 、 在一条直线上，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2） ．理由：
∵ 是 内的一条射线，
∴ ．
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
（3） 仍然成立．理由：
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ．
∵ 是 内的一条射线，
∴ ，
∴ ，
36 / 43
学科网（北京）股份有限公司则 ．
∵ ，
∴ ．
17．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知O是直线 上的一点， 是直角， 平分 ．
【猜想】
如图1，当 的两边在直线 同侧时，小明通过实验测量得到 与 的相关数量，如下表：
求 与 的数量关系．
【探究】
小明将图1中的 绕顶点 顺时针旋转至图2的位置．探究 和 的数量关系是否符合
【猜想】中的结论，并说明理由．
【拓展】
将图1中 的边 与 重合的位置开始，绕顶点 顺时针旋转，旋转的速度为每秒9度，旋转时间
秒 ， 为 的角平分线，当 时，求 的值．
【答案】【猜想】 ；【探究】 ；【拓展】 或
【知识点】与余角、补角有关的计算、几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、几何图形
中角度计算问题
【分析】猜想：由角平分线的定义结合角的和差运算可得
，从而可得结论；
探究：结合角的和差运算可得 ，从而可得结论；
拓展：先得出 ，则 ，再分两种情况讨论当 时和 时，再建立方
程求解即可．
【详解】解：猜想： ；
∵ 平分 ，
∴ ，
37 / 43
学科网（北京）股份有限公司∵ 是直角，
∴ ；
探究：符合，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 是直角，
∴ ；
拓展：①当 时， ，则 ，
∵ 为 的角平分线， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
②当 时， ，则 ，
∵ 为 的角平分线， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
38 / 43
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，余补角的定义，一元一次方程的应用，熟练的利
用方程解决问题是解本题的关键．
18．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）若 ，我们则称 是 的“绝配角”．例如：若
， ，则 是 的“绝配角”，请注意：此时 不是 的“绝配角”．
．
(1)如图1，已知 ，在 内存在一条射线 ，使得 是 的“绝配角”，此时
______：（直接填写答案）
(2)如图2，已知 ，若平面内存在射线 、 （ 在直线 的上方），使得 是
的“绝配角”， 与 互补，求 大小：
(3)如图3，若 ，射线 从 出发绕点O以每秒 的速度逆时针旋转，射线 绕点O从
出发以每秒 的速度顺时针旋转， 平分 ， 平分 ，运动时间为t秒（ ）．
①当 时， 是 的“绝配角”，求出此时t的值：
②当 时， ______时， 是 的“绝配角”（直接填写答案）．
【答案】(1)
(2) 或
(3)①4或16；②
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、
补角有关的计算
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义，一元一次方程的应用：
（1）根据题意得到 ，再由 ，进行求解即可；
（2）分当 在 下方时，当 在 内部时，当 在 外部时，三种情况讨论求解即可；
（3）分当 时，当 时，两种情况分别求出 ，再根据“绝配角”的定义得到
，据此建立方程求解即可；②分当 时，当 时，种情况分别求出
，再根据“绝配角”的定义得到 ，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ 是 的“绝配角”，
39 / 43
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：当 在 下方时，
∵ 是 的“绝配角”，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 （舍去）；
当 在 内部时，
同（1）可得 ，
∵ 与 互补，
∴ ，
∴ ；
当 在 外部时，且在 的上方时，
∵ 是 的“绝配角”，
∴ ，
∴ ，
40 / 43
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴
∵ 与 互补，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的度数为 或 ；
（3）解：①当 时，
由题意得，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴
∴ ，
∵ 是 的“绝配角”，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
当 时，
由题意得，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴
∴
41 / 43
学科网（北京）股份有限公司∵ 是 的“绝配角”，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
综上所述， 或 ；
故答案为：4或16；
②当 时，
由题意得，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴
∴
，
∵ 是 的“绝配角”，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍去）；
当 时，
由题意得，
∵ 平分 ， 平分 ，
42 / 43
学科网（北京）股份有限公司∴
∴
，
∵ 是 的“绝配角”，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
综上所述， ，
故答案为： ．
43 / 43
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