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限时跟踪检测(十二) 对数函数
一、单项选择题
1．若0log B．log >log
2
a
C．log a0，a≠1)的反函数，g(x)＝f(x－2)
＋1，则g(x)过定点( )
A．(2,0) B．(2,1)
C．(3,0) D．(3,1)
3．(2024·安徽安庆模拟)若实数x满足log x＝1＋sin θ，则log (|x－1|＋|x－9|)的值为(
3 2
)
A．2 B．3
C．4 D．与θ有关
4．(2024·山东泰安模拟)已知对数函数 f(x)＝log x 的图象经过点 A(4，t)，若 a＝
2
log t，b＝t，c＝t，则( )
\f(1,2
A．c0的解集是( )
2
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0) D．∅
7．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则( )
A．＋＝ B．＋＝
C．＋＝ D．＋＝
8．若函数y＝log (x2－ax＋2)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围是( )
a
A．(0,1) B．[2，＋∞)
C．[2,3) D．(1,3)
9．(2024·河南郑州质检)生物体死亡后，它体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大
约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.2023年，检测一墓葬殉葬
动物尸体出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断出该墓葬属于( )
参考数据：log 0.79≈－0.34.
2
参考时间轴：
战国时期：公元前475年—公元前221年，汉朝时期：公元前202年—公元220年，
唐朝时期：公元618年—公元907年，
宋朝时期：公元960年—公元1279年．
A．战国时期 B．汉朝时期
C．唐朝时期 D．宋朝时期
二、多项选择题
10．已知函数f(x)＝log x的定义域是[4,8]，则下列函数中与f(x)值域相同的函数是(
2
)
A．y＝f(x)＋1 B．y＝f(x＋1)
C．y＝－f(x) D．y＝|f(x)|
11．关于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(3－x)，下列结论正确的是( )
A．f(x)在(－1,3)上单调递增
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
D．f(x)的值域为R
12．已知函数f(x)＝|log (x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是( )
a
A．函数f(x)的图象恒过定点(0,0)
B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减
C．函数f(x)在区间上的最小值为0
D．若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2]
三、填空题与解答题
13．若函数 f(x)＝log (a>0，且a≠1)在区间内恒有 f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为
a
________．
14．(2024·辽宁本溪模拟)已知函数f(x)＝log (3－ax)(a>0，且a≠1)．
a
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1？如
果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．
高分推荐题
15．(2024·湖北襄阳模拟)设a＝，b＝ln 1.05，c＝e0.05－1，则下列关系正确的是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
解析版
一、单项选择题
1．若0log B．log >log
2
aC．log alog ，故
2 2
， >loga a
C错误；在D中，log >log ，故D错误．
2
a
答案：B
2．(2024·山东潍坊月考)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数，g(x)＝f(x－2)
＋1，则g(x)过定点( )
A．(2,0) B．(2,1)
C．(3,0) D．(3,1)
解析：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log x，∴g(x)＝f(x－2)＋1＝log (x－2)
a a
＋1，过定点(3,1)．
答案：D
3．(2024·安徽安庆模拟)若实数x满足log x＝1＋sin θ，则log (|x－1|＋|x－9|)的值为(
3 2
)
A．2 B．3
C．4 D．与θ有关
解析：－1≤sin θ≤1 0≤1＋sin θ≤2，由log x＝1＋sin θ，可得1≤x≤9，log (|x－1|＋|x－
3 2
9|)＝log 8＝3，故选B．
2 ⇒
答案：B
4．(2024·山东泰安模拟)已知对数函数 f(x)＝log x 的图象经过点 A(4，t)，若 a＝
2
log t，b＝t，c＝t，则( )
\f(1,2
A．c0，故选D．
答案：D
6．已知函数f(x)＝log (x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是( )
2
A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0) D．∅
解析：不等式f(x)>0 log (x＋1)>|x|，分别画出函数y＝log (x＋1)和y＝|x|的图象，由图
2 2
象可知y＝log (x＋1)和y＝|x|的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，由图象可知log (x＋
2 ⇔ 2
1)>|x|的解集是(0,1)，即不等式f(x)>0的解集是(0,1)．
答案：B
7．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则( )
A．＋＝ B．＋＝
C．＋＝ D．＋＝
解析：由已知，得2a＝3b＝6c＝k，得a＝log k，b＝log k，c＝log k，所以＝log2，＝
2 3 6 k
log3，＝log6，而2×3＝6，所以＋＝.
k k
答案：A
8．若函数y＝log (x2－ax＋2)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围是( )
a
A．(0,1) B．[2，＋∞)
C．[2,3) D．(1,3)
解析：当01时，要满足
解得2≤a<3.故a的取值范围是[2,3)．
答案：C
9．(2024·河南郑州质检)生物体死亡后，它体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大
约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.2023年，检测一墓葬殉葬
动物尸体出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断出该墓葬属于( )
参考数据：log 0.79≈－0.34.
2
参考时间轴：
战国时期：公元前475年—公元前221年，
汉朝时期：公元前202年—公元220年，
唐朝时期：公元618年—公元907年，
宋朝时期：公元960年—公元1279年．
A．战国时期 B．汉朝时期
C．唐朝时期 D．宋朝时期
解析：生物体内碳14的含量P与死亡年数t之间的函数关系式为P＝(t>0)，
由P＝≈0.79，得≈log 0.79，
\f(1,2
所以t≈5 730×log 0.79＝－5 730×log 0.79≈1 948，
2
\f(1,2
2 023－1 948＝75，对应朝代为汉朝．故选B．
答案：B二、多项选择题
10．已知函数f(x)＝log x的定义域是[4,8]，则下列函数中与f(x)值域相同的函数是(
2
)
A．y＝f(x)＋1 B．y＝f(x＋1)
C．y＝－f(x) D．y＝|f(x)|
解析：因为函数f(x)＝log x在[4,8]上单调递增，且f(4)＝log 4＝2，f(8)＝log 8＝3，所
2 2 2
以f(x)的值域为[2,3]．
对于选项A，y＝f(x)＋1值域为[3,4]，故A不正确；对于选项B，将y＝f(x)图象向左平
移1个单位，得y＝f(x＋1)的图象，所以y＝f(x＋1)值域为[2,3]，故B正确；
对于选项C，y＝－f(x)值域为[－3，－2]，故C不正确；
对于选项D，y＝|f(x)|的值域为[2,3]，故D正确．故选BD．
答案：BD
11．关于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(3－x)，下列结论正确的是( )
A．f(x)在(－1,3)上单调递增
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
D．f(x)的值域为R
解析：函数f(x)的定义域是(－1,3)，且f(x)可化为f(x)＝ln.令t(x)＝＝－1，易知t(x)在
(－1,3)上单调递增，所以t(x)>t(－1)＝0，所以f(x)在(－1，3)上单调递增，且值域为R.故
A，D正确．当x∈(－2，2)时，1＋x∈(－1,3)，1－x∈(－1,3)，且f(1＋x)＝ln，f(1－x)＝
ln，所以f(1＋x)＝－f(1－x)，f(1＋x)≠f(1－x)．所以y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．故B错
误，C正确．故选ACD．
答案：ACD
12．已知函数f(x)＝|log (x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是( )
a
A．函数f(x)的图象恒过定点(0,0)
B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减
C．函数f(x)在区间上的最小值为0
D．若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2]
解析：将(0,0)代入函数f(x)＝|log (x＋1)|(a>1)，成立，故A正确；
a
当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|log (x＋1)|＝log (x＋1)，由
a a
复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log (x＋1)|＝log (x＋1)单调递增，故B错
a a
误；
当x∈时，x＋1∈，所以f(x)＝|log (x＋1)|≥log 1＝0，故C正确；
a a
当 x∈[1,2]时，f(x)＝|log (x＋1)|＝log (x＋1)≥1 恒成立，所以由函数为增函数知
a a
log 2≥1，解得10，且a≠1)在区间内恒有 f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为
a
________．解析：令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝
log M为增函数，又M＝2－，因为M的单调递增区间为.又x2＋x>0，所以x>0或x<－，所
a
以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
14．(2024·辽宁本溪模拟)已知函数f(x)＝log (3－ax)(a>0，且a≠1)．
a
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1？如
果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的
最小值为3－2a，∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立，∴3－2a
＞0，
∴a＜.
又a＞0且a≠1，∴0＜a＜1或1＜a<.
即实数a的取值范围为(0,1)∪.
(2)不存在．理由如下：
由(1)知，函数t(x)＝3－ax为减函数．
∵f(x)在区间[1,2]上单调递减，∴y＝log x单调递增，
a
∴a>1，
当x∈[1,2]时，t(x)的最小值为t(2)＝3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝log (3－a)，
a
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1.
高分推荐题
15．(2024·湖北襄阳模拟)设a＝，b＝ln 1.05，c＝e0.05－1，则下列关系正确的是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
解析：由 ex>1＋x(x>0)，ln(1＋x)0)，知 ex－1>x>ln(1＋x)(x>0)，则 c＝e0.05－
1>0.05>ln(1＋0.05)＝ln 1.05＝b.易知ln x0且x≠1)，以替换x，得ln <－1，则ln
x>1－，即ln(1＋x)>1－(x>－1且x≠0)，那么ln(1＋0.05)>1－，即b＝ln 1.05>1－＝＝a.综上，
c>b>a，故选C．
答案：C
