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限时跟踪检测(四十二) 直线、平面垂直的判定及性质
一、单项选择题
1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①如果m α，n α，m∥β，n∥β，那么m∥n；
②如果m∥n，n⊥α，那么m⊥α；
⊂ ⊂
③如果α⊥β，m α，n β，那么m⊥n；
④如果α∩β＝m，m⊥n，n α，那么n⊥β.
⊂ ⊂
其中正确命题的个数有( )
⊂
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCDABC D ，M，N分别是AD，DB的中点，
1 1 1 1 1 1
则( )
A．直线AD与直线DB垂直，直线MN∥平面ABCD
1 1
B．直线AD与直线DB平行，直线MN⊥平面BDD B
1 1 1 1
C．直线AD与直线DB相交，直线MN∥平面ABCD
1 1
D．直线AD与直线DB异面，直线MN⊥平面BDD B
1 1 1 1
3．如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影
H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
4．(2024·湘赣皖十五校联考)棱长为1的正方体ABCDABC D 中，P为正方体表面上
1 1 1 1
的一个动点，且总有PC⊥BD，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为( )
1
A. B．3 C. D．1
5．如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′DE是△ADE绕
直线DE翻折过程中的一个图形，现给出下列命题：①恒有直线BC∥平面A′DE；
②恒有直线DE⊥平面A′FG；
③恒有平面A′FG⊥平面A′DE.
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．图1是建筑工地上的塔吊，图2是根据图1绘制的塔吊简易直观图，点A，B，C在
同一水平面内．塔身PO⊥平面ABC，直线AO与BC的交点E是BC的中点，起重小车挂
在线段AO上的D点，AB＝AC，DO＝6 m．若PO＝2 m，PB＝3 m，△ABC的面积为10
m2，根据图中标注的数据，忽略△ABC自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下
(0.5OD＝1.5OE)可得点A，P之间的距离为( )
A．2 m B．6 m
C．8 m D．9 m
二、多项选择题
7．已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说
法中正确的是( )
A．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
B．若m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β
C．若m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β
8．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AC与EF交于点G，现
沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记
为H，那么在这个空间图形中必有( )
A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH所在平面
C．EF⊥△AGH所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
9．如图，在长方体ABCDABC D 中，AA ＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C D ，
1 1 1 1 1 1 1
CC 的中点，则( )
1
A．A，M，N，B四点共面
B．平面ADM⊥平面CDD C
1 1
C．直线BN与BM所成的角为60°
1
D．BN∥平面ADM
三、填空题与解答题
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个
点Q满足PQ⊥DQ，则a＝________.
11．如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC
上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的
条件即可)．
12．如图所示，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB于E，AF⊥DC于F，且AD＝
AB＝2，则三棱锥DAEF体积的最大值为________．
13．(2024·江西五市九校第一次联考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，EA⊥平面ABCD，EA∥BF，AB＝AE＝2BF＝2.
(1)证明：平面EAC⊥平面EFC；
(2)求点B到平面CEF的距离．
14．(2024·山东济南模拟)如图1所示，在等腰梯形 ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝
45°，AB＝2CD＝4，点E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达点P的位置，得
到如图2所示的四棱锥PEBCD，点M为棱PB的中点．
图1 图2
(1)求证：PD∥平面MCE；
(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥MBCE的体积．
15．(2024·广东梅州模拟)如图，在正三棱柱ABCABC 中，AB＝AA ＝2，M为AB 的
1 1 1 1 1 1
中点．(1)在棱BB 上是否存在点Q，使得AQ⊥平面BC M？若存在，求出的值；若不存在，
1 1
请说明理由．
(2)求点C到平面BC M的距离．
1
高分推荐题
16．在长方体ABCDABC D 中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使
1 1 1 1
得EC ⊥ED，则实数t的取值范围是________．
1
解析版一、单项选择题
1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①如果m α，n α，m∥β，n∥β，那么m∥n；
②如果m∥n，n⊥α，那么m⊥α；
⊂ ⊂
③如果α⊥β，m α，n β，那么m⊥n；
④如果α∩β＝m，m⊥n，n α，那么n⊥β.
⊂ ⊂
其中正确命题的个数有( )
⊂
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析：对于①，如果m α，n α，m∥β，n∥β，那么m∥n或m与n相交，故①错误；
对于②，如果m∥n，n⊥α，由线面垂直的性质可知 m⊥α，故②正确；对于③，如果
⊂ ⊂
α⊥β，m α，n β，那么m⊥n或m∥n或m与n相交(不垂直)或m与n异面(不垂直)，故③
错误；对于④，如果α∩β＝m，m⊥n，n α，那么n⊥β或n与β相交(不垂直)，当α⊥β，
⊂ ⊂
α∩β＝m，m⊥n，n α时，n⊥β，故④错误．故选D.
⊂
答案：D
⊂
2．(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCDABC D ，M，N分别是AD，DB的中点，
1 1 1 1 1 1
则( )
A．直线AD与直线DB垂直，直线MN∥平面ABCD
1 1
B．直线AD与直线DB平行，直线MN⊥平面BDD B
1 1 1 1
C．直线AD与直线DB相交，直线MN∥平面ABCD
1 1
D．直线AD与直线DB异面，直线MN⊥平面BDD B
1 1 1 1
解析：方法一：连接AD(图略)，则易知点M在AD 上，且AD⊥AD.因为AB⊥平面
1 1 1 1
ADD A ，AD 平面ADD A ，所以AB⊥AD，AD∩AB＝A，AD ，AB 平面ABD ，所以
1 1 1 1 1 1 1 1 1
AD⊥平面 ABD ，所以 AD 与 BD 异面且垂直．在△ABD 中，由中位线定理可得
1 ⊂ 1 1 1 1 ⊂
MN∥AB，又MN⊄平面ABCD，AB 平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.易知直线AB与平
面BDD B 成45°角，所以MN与平面BDD B 不垂直．所以选项A正确．故选A.
1 1 ⊂ 1 1
方法二：以点D为坐标原点，DA，DC，DD 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空
1
间直角坐标系(图略)．设AB＝2，则A(2,0,2)，D(0,0,0)，D(0,0,2)，B(2,2,0)，所以M(1，
1 1
0,1)，N(1,1,1)，所以A1D＝(－2,0，－2)，D1B＝(2,2，－2)，MN＝(0,1,0)，所以A1D·D1B
＝－4＋0＋4＝0，所以AD⊥DB.又由图易知直线AD与BD 是异面直线，所以AD与BD
1 1 1 1 1 1
异面且垂直．因为平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，所以MN·n＝0，又MN⊄平面
ABCD，所以MN∥平面ABCD.设直线MN与平面BDD B 所成的角为θ，易得平面BDD B
1 1 1 1
的一个法向量为a＝(－1,1,0)，所以sin θ＝|cos〈MN，a〉|＝＝＝，所以直线MN与平面
BDD B 不垂直．故选A.
1 1答案：A
3．如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影
H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析：由AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABD，得AC⊥平面ABD，
而AC 平面ABC，则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC
⊂
与平面ABD的交线AB上．故选A.
⊂
答案：A
4．(2024·湘赣皖十五校联考)棱长为1的正方体ABCDABC D 中，P为正方体表面上
1 1 1 1
的一个动点，且总有PC⊥BD，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为( )
1
A. B．3 C. D．1
解析：如图，连接BD.易证BD⊥平面ACB ，得动点P的轨迹所围成图形为△ABC，
1 1 1
△ABC是边长为的正三角形，其面积S＝×()2＝.
1
答案：C
5．如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′DE是△ADE绕
直线DE翻折过程中的一个图形，现给出下列命题：
①恒有直线BC∥平面A′DE；
②恒有直线DE⊥平面A′FG；
③恒有平面A′FG⊥平面A′DE.其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：对于①，∵DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，又知DE 平面A′DE，BC⊄平
面A′DE，∴BC∥平面A′DE，故①正确；对于②，∵△ABC为等边三角形，AF为BC边上
⊂
的中线，∴BC⊥AF，又知DE∥BC，∴DE⊥AF，∴DE⊥FG，根据翻折的性质可知，
DE⊥A′G，又A′G∩FG＝G，∴DE⊥平面A′FG，故②正确；对于③，由②知DE⊥平面
A′FG，又知DE 平面A′DE，∴平面A′FG⊥平面A′DE，故③正确．综上，真命题为①②③.
答案：D
⊂
6．图1是建筑工地上的塔吊，图2是根据图1绘制的塔吊简易直观图，点A，B，C在
同一水平面内．塔身PO⊥平面ABC，直线AO与BC的交点E是BC的中点，起重小车挂
在线段AO上的D点，AB＝AC，DO＝6 m．若PO＝2 m，PB＝3 m，△ABC的面积为10
m2，根据图中标注的数据，忽略△ABC自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下
(0.5OD＝1.5OE)可得点A，P之间的距离为( )
A．2 m B．6 m
C．8 m D．9 m
解析：根据条件得，OE＝＝＝2(m)．∵PO⊥平面ABC，AE 平面ABC，∴PO⊥AE，
又AB＝AC，且E是BC的中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC.∵PO＝2 m，∴PE＝2 m，∵PB＝3
⊂
m，∴BE＝1 m．由于△ABC的面积为10 m2，∴BC·AE＝10，解得AE＝10 m，则AO＝8
m，易得AP＝2 m．故选A.
答案：A
二、多项选择题
7．已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说
法中正确的是( )
A．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
B．若m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β
C．若m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β
解析：A选项，若m∥α，n∥β，且m∥n，则α，β可能相交或平行，故A错误；B选
项，若m∥α，n∥β，且m⊥n，则α，β可能相交，也可能平行，故B错误；C选项，若
m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，则α∥β，故C正确；D选项，若m⊥α，m⊥n，则n∥α
或n α，又n⊥β，根据面面垂直的判定定理可得α⊥β，故D正确．故选CD.
答案：CD
⊂8．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AC与EF交于点G，现
沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记
为H，那么在这个空间图形中必有( )
A．AG⊥△EFH所在平面
B．AH⊥△EFH所在平面
C．EF⊥△AGH所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
解析：根据折叠前、后得到AH⊥HE，AH⊥HF不变，根据线面垂直的判定定理，可
得AH⊥平面EFH，所以B正确；过A只有一条直线与平面EFH垂直，所以A不正确；易
知AG⊥EF，EF⊥AH，由线面垂直的判定定理，可得EF⊥平面AGH，所以C正确；易知
HG与AG不垂直，所以HG与平面AEF不垂直，所以D不正确．故选BC.
答案：BC
9．如图，在长方体ABCDABC D 中，AA ＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C D ，
1 1 1 1 1 1 1
CC 的中点，则( )
1
A．A，M，N，B四点共面
B．平面ADM⊥平面CDD C
1 1
C．直线BN与BM所成的角为60°
1
D．BN∥平面ADM
解析： 如图所示，对于A中，直线AM，BN是异面直线，故A，M，N，B四点不共
面，故A错误；对于B中，在长方体ABCDABC D 中，可得AD⊥平面CDD C ，所以平
1 1 1 1 1 1
面ADM⊥平面CDD C ，故B正确；
1 1对于C中，取CD的中点O，连接BO，ON，则BM∥BO，所以直线BN与BM所成
1 1
的角为∠NBO(或其补角)．易知△BON为等边三角形，所以∠NBO＝60°，故C正确；
对于D中，因为BN∥平面AADD，显然BN与平面ADM不平行，故D错误．
1 1
答案：BC
三、填空题与解答题
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个
点Q满足PQ⊥DQ，则a＝________.
解析： 如图，连接AQ，取AD的中点O，连接OQ.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DQ，
又PQ⊥DQ，∴DQ⊥平面PAQ，∴DQ⊥AQ.
∴点Q在以线段AD的中点O为圆心，AD为直径的圆上，又∵在BC上有且仅有一个
点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切(相交时有两点满足垂直，相离时没有点满足垂直)，
∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ＝AB＝1，∴BC＝AD＝2，即a＝2.
答案：2
11．如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC
上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的
条件即可)．
解析：如图，连接AC，则AC⊥BD，因为PA⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，所以
PA⊥BD.又PA∩AC＝A，所以 BD⊥平面 PAC，又 PC 平面 PAC，所以 BD⊥PC.所以当
⊂
DM⊥PC(或 BM⊥PC)时，有 PC⊥平面 MBD.又 PC 平面 PCD，所以平面 MBD⊥平面
⊂
⊂PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)
12．如图所示，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB于E，AF⊥DC于F，且AD＝
AB＝2，则三棱锥DAEF体积的最大值为________．
解析：因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平
面ADC，所以BC⊥AF，又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，
AF⊥DB，又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥DAEF的高．
因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以DE＝AE＝，设AF＝a，FE＝b，则a2＋
b2＝2，△AEF的面积S＝ab≤·＝×＝，所以三棱锥DAEF的体积V≤××＝(当且仅当a＝b＝1
时等号成立)．
答案：
13．(2024·江西五市九校第一次联考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱
形，∠ABC＝60°，EA⊥平面ABCD，EA∥BF，AB＝AE＝2BF＝2.
(1)证明：平面EAC⊥平面EFC；
(2)求点B到平面CEF的距离．
(1)证明：如图，取EC的中点G，连接BD交AC于点N，连接GN，GF.
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且N是AC的中点，所以GN∥AE且GN＝
AE，又AE∥BF，AE＝2BF＝2，
所以GN∥BF且GN＝BF，所以四边形BNGF是平行四边形，所以GF∥BN.
又EA⊥平面ABCD，BN 平面ABCD，所以EA⊥BN，
又因为AC∩EA＝A，AC，EA 平面EAC，
⊂
所以BN⊥平面EAC，所以GF⊥平面EAC.
⊂
又GF 平面EFC，所以平面EFC⊥平面EAC.
⊂(2)解：因为EA⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以EA⊥AC.
因为EA∥BF，所以BF⊥平面ABCD，
⊂
又BC 平面ABCD，所以BF⊥BC.
因为∠ABC＝60°，AB＝2，所以AC＝2，
⊂
所以EC＝＝2，CF＝＝，EF＝＝，
所以FG⊥EC且FG＝＝，
所以S ＝EC·FG＝.
△CEF
取AB的中点M，连接CM，因为四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
所以△ABC为等边三角形，所以CM⊥AB，且CM＝＝，
又因为EA⊥平面ABCD，CM 平面ABCD，所以EA⊥CM，且AB∩EA＝A，AB，EA
平面ABFE，所以CM⊥平面ABFE.
⊂ ⊂
连接BE，V ＝S ·CM＝××BF·AB·CM＝.
CBEF △BEF
设点B到平面CEF的距离为d，因为V ＝V ，即S ·d＝，所以d＝，故点B到
BCEF CBEF △CEF
平面CEF的距离为.
14．(2024·山东济南模拟)如图1所示，在等腰梯形 ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝
45°，AB＝2CD＝4，点E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达点P的位置，得
到如图2所示的四棱锥PEBCD，点M为棱PB的中点．
图1 图2
(1)求证：PD∥平面MCE；
(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥MBCE的体积．
(1) 证明：在题图1中，因为BE＝AB＝CD且BE∥CD，所以四边形EBCD是平行四
边形．
如图，连接BD，交CE于点O，所以点O是BD的中点，连接OM，又点M为棱PB的中点，所以OM∥PD，
因为PD⊄平面MCE，OM 平面MCE，所以PD∥平面MCE.
(2)解：在题图1中，因为四边形EBCD是平行四边形，所以DE＝BC，
⊂
因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AD＝BC，所以AD＝DE，
因为∠BAD＝45°，所以AD⊥DE.
所以PD⊥DE，又平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD＝DE，所以PD⊥
平面EBCD.
由(1)知OM∥PD，所以OM⊥平面EBCD，
在等腰直角三角形ADE中，
因为AE＝2，所以AD＝DE＝，
所以OM＝PD＝AD＝，S ＝S ＝1，
△BCE △PDE
所以V ＝S ·OM＝.
三棱锥MBCE △BCE
15．(2024·广东梅州模拟)如图，在正三棱柱ABCABC 中，AB＝AA ＝2，M为AB 的
1 1 1 1 1 1
中点．
(1)在棱BB 上是否存在点Q，使得AQ⊥平面BC M？若存在，求出的值；若不存在，
1 1
请说明理由．
(2)求点C到平面BC M的距离．
1
解：(1)在正三棱柱ABCABC 中，因为M为AB 的中点，所以C M⊥AB.
1 1 1 1 1 1 1 1
又AA⊥平面ABC ，C M 平面ABC ，则有AA⊥C M，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
而AA∩AB＝A，AA，AB 平面AABB，所以C M⊥平面AABB.
1 1 1 1 1 1⊂1 1 1 1 1 1
又 C M 平面 BC M，所以平面 BC M⊥平面 AABB.在平面 AABB 内过点 A 作
1 1 ⊂ 1 1 1 1 1
AQ⊥BM交BB 于点Q.
⊂ 1
因为平面BC M∩平面AABB＝BM，因此AQ⊥平面BC M，故点Q即为所要找的点．
1 1 1 1
显然△ABQ∽△BBM，因此＝，即有＝，故BQ＝，BQ＝BB－BQ＝4－＝，所以＝7.
1 1 1(2)取AB的中点N，连接CN，MN，因为M为AB 的中点，所以MN∥BB∥CC ，MN
1 1 1 1
＝BB ＝CC ，所以四边形CNMC 为平行四边形，即CN∥C M，而C M 平面BC M，CN⊄
1 1 1 1 1 1
平面BC M，
1 ⊂
所以CN∥平面BC M，所以点C到平面BC M的距离h 等于点N到平面BC M的距离
1 1 C 1
h .
N
又N为AB的中点，则点N到平面BC M的距离h 等于点A到平面BC M的距离h 的
1 N 1 A
一半，
而由(1)知，当BQ＝时，AQ⊥平面BC M，cos∠BAQ＝＝＝.
1
设AQ∩BM＝H，则h ＝AH＝AB·cos∠BAQ＝2×＝，
A
所以点C到平面BC M的距离h ＝h ＝h ＝.
1 C N A
高分推荐题
16．在长方体ABCDABC D 中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使
1 1 1 1
得EC ⊥ED，则实数t的取值范围是________．
1
解析： 因为C C⊥平面ABCD，ED 平面ABCD，可得C C⊥ED，
1 1
由EC ⊥ED，EC ∩C C＝C ，EC ，C C 平面ECC ，
1 1 1 1 1 ⊂1 1
可得ED⊥平面ECC ，所以ED⊥EC，
1 ⊂
在矩形ABCD中，设AE＝a,0≤a≤2，则BE＝2－a，
由∠DEA＋∠CEB＝90°，
可得tan∠DEA·tan∠CEB＝·＝＝1，
即t2＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1，
当a＝1时，t2取得最大值1，
即t的最大值为1；
当a＝0或2时，t2取得最小值0，但由于t>0，所以t的取值范围是(0,1]．
答案：(0,1]
