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限时跟踪检测(二十二) 任意角、弧度制及三角函数的概念
一、单项选择题
1．给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三象限角；
③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．设θ是第三象限角，且＝－cos，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．sin 2cos 3tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
4．(2024·安徽阜阳一中月考)中国折扇有着深厚的文化底蕴．如图2，在半圆O中作出
两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折扇的扇面．记扇环形ABDC
的面积为S，扇形OAB的面积为S，当S 与S 的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时
1 2 1 2
扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为( )
A. B.
C．3－ D.－2
5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与 x轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1，
m)，B(m，4)，则cos α＝( )
A．± B.
C．± D.
6．(2024·山东九校联考)已知点A在圆x2＋y2＝4上，且∠xOA＝，则点A的横坐标为(
)
A. B.
C. D.
7．在平面直角坐标系中，已知点 P(cos t，sin t)，A(2,0)，当t由变化到时，线段AP
扫过形成图形的面积等于( )
A．2 B. C. D.
8．(2024·浙江杭州模拟)达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的
微笑数百年来让无数观赏者入迷，某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，B处作圆弧所在圆的切线，两条切线交
于点C，测得AB＝12.6 cm，∠ACB＝，则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为(单位：cm)
( )
A．12.6 B．4π
C．4.2π D．4.3π
9．(2018·北京卷，文)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，
点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α0)，则下列各式的值一定为负的是( )
A．sin α＋cos α B．sin α－cos α
C．sin αcos α D.
三、填空题与解答题
12．已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________且圆心角为________弧度时，扇
形的面积最大，最大面积是________．
13．已知cos α＝－，角α的终边上一点P的坐标为(－2，m)，则sin α＝________.
14．(2024·安徽合肥二中月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的
非负半轴重合且与单位圆相交于 A点，它的终边与单位圆相交于 x轴上方一点B，始边不
动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈，请写出劣弓形AB的面积S与α的函数关系式．
高分推荐题
15．如图，点 P 是半径为 2 的圆 O 上一点，现将如图放置的边长为 2 的正方形
ABCD(顶点A与P重合)沿圆周逆时针滚动．若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动
至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点 A第一次回到点P的位置
时，正方形滚动了________轮，此时点A走过的路径的长度为________．
解析版
一、单项选择题
1．给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三象限角；
③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①中－是第三象限角，故①错．②中＝π＋，从而②正确．③中－400°＝－360°
－40°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
答案：C
2．设θ是第三象限角，且＝－cos，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：由θ是第三象限角知，为第二或第四象限角，又＝－cos，
所以cos<0.综上，为第二象限角．
答案：B
3．sin 2cos 3tan 4的值( )A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
解析：∵<2<3<π<4<，
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.
∴sin 2cos 3tan 4<0，故选A.
答案：A
4．(2024·安徽阜阳一中月考)中国折扇有着深厚的文化底蕴．如图2，在半圆O中作出
两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折扇的扇面．记扇环形ABDC
的面积为S，扇形OAB的面积为S，当S 与S 的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时
1 2 1 2
扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为( )
A. B.
C．3－ D.－2
解析：设∠AOB＝θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r，依题意，有＝，即＝，
1
所以＝＝＝2，得＝.故选B.
答案：B
5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与 x轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1，
m)，B(m，4)，则cos α＝( )
A．± B.
C．± D.
解析：记O为坐标原点，由题意可知O(0,0)，A(1，m)，B(m,4)三点共线，则m≠0，所
以＝，解得m＝±2，又A，B两点在同一象限，所以m＝2，则A(1,2)，所以cos α＝＝＝，
故选B.
答案：B
6．(2024·山东九校联考)已知点A在圆x2＋y2＝4上，且∠xOA＝，则点A的横坐标为(
)
A. B.
C. D.
解析：设点A(x，y)，
0 0
∵点A在圆上，∴x＋y＝4.
∵∠xOA＝，cos＝cos
＝coscos－sinsin＝，
∴x＝2×＝.故选A.
0
答案：A7．在平面直角坐标系中，已知点 P(cos t，sin t)，A(2,0)，当t由变化到时，线段AP
扫过形成图形的面积等于( )
A．2 B. C. D.
解析：当t＝时，设点P在B处，当t＝时，设点P在C处，如图所示，线段AP扫过
形成图形为平面直角坐标系中的阴影部分，因为 BC∥x轴，所以S ＝S ，所以线段
△COB △ABC
AP扫过形成图形的面积等于扇形BOC的面积，S ＝×12×＝.故选C.
扇形BOC
答案：C
8．(2024·浙江杭州模拟)达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的
微笑数百年来让无数观赏者入迷，某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘
将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，B处作圆弧所在圆的切线，两条切线交
于点C，测得AB＝12.6 cm，∠ACB＝，则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为(单位：cm)
( )
A．12.6 B．4π
C．4.2π D．4.3π
解析：画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，如图，设圆心为O，依题意，OA⊥AC，
OB⊥BC，O，A，C，B四点共圆，∵∠ACB＝，
∴∠AOB＝.
∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，
∴OA＝AB＝12.6 cm.
∴《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为OA×＝4.2π(cm)．故选C.
答案：C
9．(2018·北京卷，文)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α0，所以
P所在的圆弧是，故选C.
答案：C
二、多项选择题
10．已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是( )
A. B.
C. D.
解析：由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，可得sin x－cos x<0，即sin x0)，则下列各式的值一定为负的是( )
A．sin α＋cos α B．sin α－cos α
C．sin αcos α D.
解析：由已知得r＝|OP|＝，则sin α＝>0，cos α＝－<0，tan α＝－m<0，则sin α＋
cos α的符号不确定，sin α－cos α>0，sin αcos α<0，＝cos α<0.故选CD.
答案：CD
三、填空题与解答题
12．已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________且圆心角为________弧度时，扇
形的面积最大，最大面积是________．
解析：设扇形的圆心角为α，半径为r，
则2r＋αr＝4，∴α＝－2.
∴S ＝α·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1.
扇形
∴当r＝1时，(S ) ＝1，此时|α|＝2.
扇形 max
答案：1 cm 2 1 cm2
13．已知cos α＝－，角α的终边上一点P的坐标为(－2，m)，则sin α＝________.
解析：由三角函数的定义，知
cos α＝＝－，∴m＝(负值舍去)，∴sin α＝＝.
答案：
14．(2024·安徽合肥二中月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的
非负半轴重合且与单位圆相交于 A点，它的终边与单位圆相交于 x轴上方一点B，始边不
动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈，请写出劣弓形AB的面积S与α的函数关系式．
解：(1)由题意可得B，根据三角函数的定义得tan α＝＝－.
(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，故与角α终边相同的角β的集合为{β.
(3)若α∈，则S ＝αr2＝α，
扇形
而S ＝×1×1×sin α＝sin α，
△AOB
故劣弓形AB的面积S＝S －S ＝α－sin α，α∈.
扇形 △AOB
高分推荐题
15．如图，点 P 是半径为 2 的圆 O 上一点，现将如图放置的边长为 2 的正方形
ABCD(顶点A与P重合)沿圆周逆时针滚动．若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动
至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点 A第一次回到点P的位置
时，正方形滚动了________轮，此时点A走过的路径的长度为________．
解析：正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为B→C→D→A，顶点再次回
到点P时，正方形顶点将圆周正好分成六等份，
由4和6的最小公倍数为3×4＝2×6＝12，
所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮．
每一轮中，点A路径A→A′→A″→A是圆心角为，半径分别为2,2，2的三段弧，故路
径长l＝·(2＋2＋2)＝，
所以点A与P重合时总路径长为(＋2)π.
答案：3 (＋2)π
