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限时跟踪检测(二十五) 公式的灵活运用
一、单项选择题
1．(2024·四川攀枝花模拟)已知tan α＝1＋m，tan β＝m，且α＋β＝，则实数m＝(
)
A．－1 B．1
C．0或－3 D．0或1
2．(2024·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知tan 10°＋λcos 80°＝1，则实数λ的值为( )
A．4 B．4
C．3 D．2
3．(2024·河北保定一中月考)如图，某时钟显示的时刻为9：45，此时时针与分针的夹
角为θ，则cos2θ＝( )
A． B．
C． D．
4．(2024·河南开封模拟)已知sin α＝，α∈，则tan＝( )
A．－7 B．－
C． D．7
5．(2024·河南焦作模拟)已知α∈，2sin 2α＝1－cos 2α，则tan ＝( )
A．－ B．
C． D．－
6．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
7．已知A，B均为钝角，且sin2＋cos＝，sin B＝，则A＋B＝( )
A． B．
C． D．
8．(2024·重庆万州区模拟)若＝－，则sin(α－2β)＝( )
A．－ B．0
C． D．1
9．(2024·湖南湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log2＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
二、多项选择题
10．(2024·安徽合肥模拟)下列计算结果正确的是( )
A．cos(－15°)＝B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝－
D．2sin 18°cos 36°＝
11．已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的
是( )
A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝
C．β－α＝－ D．β－α＝
三、填空题与解答题
12．化简：＝________.
13．(2024·河南六市联考)已知cos α＝，cos(α－β)＝，若0<β<α<，则β＝________.
14．证明：＝.
高分推荐题
15．(2024·湖北武汉模拟)f(x)满足：∀x ，x∈(0,1)且x≠x ，都有<0.若a＝sin 7°sin
1 2 1 2
83°，b＝，c＝cos2－，则，，的大小顺序为( )
A．<<
B．<<
C．<<
D．<<
解析版
一、单项选择题
1．(2024·四川攀枝花模拟)已知tan α＝1＋m，tan β＝m，且α＋β＝，则实数m＝(
)
A．－1 B．1
C．0或－3 D．0或1
解析：因为α＋β＝，所以tan(α＋β)＝＝tan ＝1，又tan α＝1＋m，tan β＝m，所以＝
1，解得m＝0或m＝－3.故选C．
答案：C
2．(2024·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知tan 10°＋λcos 80°＝1，则实数λ的值为( )
A．4 B．4
C．3 D．2
解析：根据已知得sin 10°＋λsin 10°cos 10°＝cos 10°，所以sin 20°＝2＝2(sin 30°cos 10°
－cos 30°sin 10°)＝2sin 20°，解得λ＝4.
答案：A
3．(2024·河北保定一中月考)如图，某时钟显示的时刻为9：45，此时时针与分针的夹
角为θ，则cos2θ＝( )A． B．
C． D．
解析：时针从9点到10点转过的角度为，而到9：45是转过了此段的＝，∴θ＝×＝，
则cos2θ＝＝＝.故选D．
答案：D
4．(2024·河南开封模拟)已知sin α＝，α∈，则tan＝( )
A．－7 B．－
C． D．7
解析：由于sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，tan α＝＝－，tan＝＝＝7.
答案：D
5．(2024·河南焦作模拟)已知α∈，2sin 2α＝1－cos 2α，则tan ＝( )
A．－ B．
C． D．－
解析：由2sin 2α＝1－cos 2α，得4sin αcos α＝2sin2α，因为α∈，所以sin α<0，cos
α≠0，所以sin α＝2cos α.又sin2α＋cos2α＝1，联立解得所以tan＝＝＝＝＝－.
答案：D
6．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
解析：设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝，又β＝－，所以0<<，cos β
＝cos＝sin ＝＝＝.
答案：B
7．已知A，B均为钝角，且sin2＋cos＝，sin B＝，则A＋B＝( )
A． B．
C． D．
解析：因为sin2＋cos＝，
所以＋cos A－sin A＝，即－sin A＝，
解得sin A＝，因为A为钝角，
所以cos A＝－＝－＝－.
由sin B＝，且B为钝角，
得cos B＝－＝－＝－.
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝×－×＝.
又A，B都为钝角．即A，B∈，
所以A＋B∈(π，2π)，所以A＋B＝.答案：C
8．(2024·重庆万州区模拟)若＝－，则sin(α－2β)＝( )
A．－ B．0
C． D．1
解析：因为＝－，所以＝－＝，
即＝，则＝，
故2sin(α－β)cos β＝sin α.
所以2sin(α－β)cos β＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β，
则sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝0，即sin[(α－β)－β]＝sin(α－2β)＝0.
答案：B
9．(2024·湖南湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log2＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：由sin(α＋β)＝，
得sin αcos β＋cos αsin β＝，①
由sin(α－β)＝，
得sin αcos β－cos αsin β＝，②
由①②，可解得sin αcos β＝，
cos αsin β＝.
∴＝＝＝5.
∴log2＝log25＝4，故选C．
答案：C
二、多项选择题
10．(2024·安徽合肥模拟)下列计算结果正确的是( )
A．cos(－15°)＝
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝－
D．2sin 18°cos 36°＝
解析：对于A，cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝，所以A错误；
对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝
sin 15°sin 30°cos 15°＝sin 15°cos 15°＝
sin 30°＝，所以B正确；
对于C，cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)
＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]
＝cos(－60°)＝cos 60°＝，
所以C错误；
对于D,2sin 18°cos 36 °＝2cos 72°cos 36°＝2××＝＝，所以D正确．答案：BD
11．已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的
是( )
A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝
C．β－α＝－ D．β－α＝
解析：由题意知，sin γ＝sin β－sin α，
cos γ＝cos α－cos β，
将两式分别平方后相加，
得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2
＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，
∴cos(β－α)＝，即A正确，B错误；
∵γ∈，∴sin γ＝sin β－sin α>0，
∴β>α，而α，β∈，
∴0<β－α<，∴β－α＝，即D正确，C错误．
答案：AD
三、填空题与解答题
12．化简：＝________.
解析：方法一：原式＝
＝＝
＝＝sincoscos α
＝sin αcos α＝sin 2α.
方法二：原式＝＝cos2α·
＝cos2αtan α＝cos αsin α＝sin 2α.
答案：sin 2α
13．(2024·河南六市联考)已知cos α＝，cos(α－β)＝，若0<β<α<，则β＝________.
解析：由cos α＝，0<α<，
得sin α＝＝＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.
∵β∈，∴β＝.
答案：
14．证明：＝.
证明：等式左边＝
＝
＝
＝＝，则原等式等价于＝，
即证sin2x＝(1＋cos x)(1－cos x)，
即证sin2x＝1－cos2x，
只需证sin2x＋cos2x＝1，该等式恒成立，
∴原等式成立．
高分推荐题
15．(2024·湖北武汉模拟)f(x)满足：∀x ，x∈(0,1)且x≠x ，都有<0.若a＝sin 7°sin
1 2 1 2
83°，b＝，c＝cos2－，则，，的大小顺序为( )
A．<<
B．<<
C．<<
D．<<
解析：a＝sin 7°sin 83°＝sin 7°cos 7°＝sin 14°，
b＝＝＝sin 16°，
c＝cos＝sin＝sin 15°，
∴a
