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第2讲 常用逻辑用语
复习要点 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，理解定义、判定定理、
性质定理与充要条件、充分条件、必要条件的关系.2.通过已知的数学实例，理解全称
量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
一 命题的概念
使用语言、符号或者式子表达的，可以判断
概念
真假的陈述句
特点 (1)能判断真假；(2)陈述句
分类 真命题、假命题
二 充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒p
p是q的必要不充分条件 p⇒q且q⇒p
p是q的充要条件 p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件 p⇒q且q⇒p
三 全称量词和存在量词
1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符
号“∀”表示．
2．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并
用符号“∃”表示．
四 全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
对M中任意一个x，p(x)
结构 存在M中的元素x，p(x)成立
成立
简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x)
否定 ∃x∈M，綈p(x) ∀ x ∈ M ， 綈 p ( x )
常/用/结/论
1．设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
①若p是q的充分条件，则A⊆B；
②若p是q的充分不必要条件，则AB；
③ 若 p 是 q 的必要不充分条件，则 B A ；一个推理形式等价于 3种不同叙述形式. 如：p⇒q且q⇒/ p. 等价于：①p是q
的充分不必要条件 (或q的充分不必要条件是p); ②q是p的必要不充分条件(或p的必
要不充分条件是q); ③AB．
④若p是q的充要条件，则A＝B.
2．p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．
1．判断下列结论是否正确．
(1)“p是q的充分不必要条件”等价于“q是p的必要不充分条件”．(√)
(2)“菱形的边长相等”是全称量词命题．(√)
(3)已知集合A，B，“A∪B＝A∩B”的充要条件是“A＝B”．(√)
(4)命题“∃x∈R，sin ＋cos ＝”是真命题．()
2．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是( )
A．∃x∈R，x2－x＋＜0
B．所有的正方形都是矩形
C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
解析：对于 A，其否定为∀x∈R，x2－x＋≥0，是全称量词命题，又 x2－x＋＝
2≥0，所以为真命题，故符合题意；对于 B，其否定为存在量词命题，故不符合题意；
对于 C，其否定为全称量词命题，又 x2＋2x＋2＞0，则原命题为假命题，即其否定为
真命题，故符合题意；对于 D，其否定为对于任意实数 x，都有 x3＋1≠0，而 x＝－1
时，x3＋1＝0，所以其否定不是真命题，故不符合题意．故选AC．
答案：AC
3．(1)“x＞0”是“x(x＋1)＞0”的________条件．
(2)“|a|＞0”是“a＞0”的________条件．
(3)“α＞β”是“sin α＞sin β”的________条件．
答案：(1)充分不必要 (2)必要不充分 (3)既不充分也不必要
4．(2024·重庆南开中学模拟)若命题“∃x∈[1,2]，2x＋x－a≤0”为真命题，则实
数a的取值范围为________．
解析：因为∃x∈[1,2]，2x＋x－a≤0，所以 a≥(2x＋x) ，x∈[1,2]，显然 y＝2x＋x
min
在x∈[1,2]上单调递增，所以a≥21＋1＝3，即实数a的取值范围为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)题型 如何判断充分、必要条件
典例1下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＞b，q：a＞b－1；
(2) p ： a ＞ b ， q ： lg a ＞ lg b ；
p⇒q，原因在于没有强调a，b的范围．
(3) p ： a ＞ b ， q ： 2 a ＞ 2 b ；
指数函数的定义域为R，不必考虑a，b的范围．
(4)p：a＞b，q：a2＞b2.
解：(1)p⇒q，q⇒p，∴p是q的充分不必要条件．
(2)q⇒p，p⇒q，∴p是q的必要不充分条件．
(3)p⇒q，且q⇒p，∴p是q的充要条件．
(4)p⇒q，q⇒p，∴p是q的既不充分也不必要条件．
判断充分、必要条件的步骤
(1)弄清条件p和结论q分别是什么．
(2)尝试p⇒q，q⇒p.
充要条件可以融入数学各个分支，题型灵活多变，但万变不离其宗，只要紧扣定
义，结合其他知识，便可迎刃而解．
对点练1设a∈R，则“a>0”是“a3>a2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：①当 a＝时，满足“a>0”，但不满足“a3>a2”，所以“a>0”不能推出
“a3>a2”，故充分性不成立；
②由a3>a2，解得a>1，因为“a>1”可以推出“a>0”，故必要性成立．
综上，可知“a>0”是“a3>a2”的必要不充分条件．故选B．
答案：B
典例 2(2023·新高考全国Ⅰ卷)记 S 为数列{a }的前 n 项和，设 甲 ： { a } 为等差数列 ；
n n n
乙 ： 为等差数列 ，则( )本题考查了等差数列{a }及其衍生数列{S }和的联系．
n n
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析：方法一：甲：{a }为等差数列，设其首项为a ，公差为d，
n 1
则S ＝na ＋d，＝a ＋d＝n＋a －，－＝，
n 1 1 1
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即－＝＝为常数，设为t，
即＝t， 则 S ＝ na － t · n ( n ＋ 1) ，有 S ＝ ( n － 1) a － t · n ( n － 1) ， n ≥ 2 ，
n n＋1 n－1 n
此推导过程略显繁琐，等差数列的本质可从各个方面体现出来．(1)通项公式为一
次函数型. (2)前n项和为n的二次函数型且无常数项.
两式相减，得a ＝na －(n－1)a －2tn，即a －a ＝2t，对n＝1也成立，
n n＋1 n n＋1 n
因此{a }为等差数列，则甲是乙的必要条件，
n
所以甲是乙的充要条件，C正确．
方法二：甲：{a }为等差数列，设数列{a }的首项为 a ，公差为 d，即 S ＝na ＋
n n 1 n 1
d，
则 ＝ a ＋ d ＝ n ＋ a － ，
1 1
若为等差数列，则可设＝an＋b，则有S ＝an2＋bn，符合等差数列的特性．
n
因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即－＝ D ，
从等差数列的定义出发，这样设出公差．
＝S ＋(n－1)D，
1
即S ＝nS ＋n(n－1)D，S ＝(n－1)S ＋(n－1)(n－2)D，
n 1 n－1 1
当 n≥2 时，上两式相减，得 S －S ＝S ＋2(n－1)D，即 a ＝S ＋2(n－1)D，对 n
n n－1 1 n 1
＝1也成立，
于是a ＝a ＋2(n－1)D，又a －a ＝a ＋2nD－[a ＋2(n－1)D]＝2D为常数，
n 1 n＋1 n 1 1
因此{a }为等差数列，则甲是乙的必要条件，
n
所以甲是乙的充要条件．故选C．
充分、必要条件的两种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．
对点练2(2023·全国甲卷，理)“sin2α＋sin2β＝1”是“sin α＋cos β＝0”的( )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
解析：当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0，但sin α＋cos β≠0，
即“sin2α＋sin2β＝1”推不出“sin α＋cos β＝0”；
当sin α＋cos β＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cos β)2＋sin2β＝1，
即“sin α＋cos β＝0”能推出“sin2α＋sin2β＝1”．
综上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sin α＋cos β＝0”的必要条件但不是充分条件．
故选B．
答案：B
题型 利用充分、必要条件求参数
典例3已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________；
(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则m的取值范围为________．
解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．
(1) 若 “ x ∈ P ” 是 “ x ∈ S ” 的必要条件，则 S ⊆ P ，
把充分、必要条件转化为集合的包含关系，是此类题目的常规思路．
∴解得0≤m≤3，故m的取值范围为[0,3]．故答案为[0,3]．
(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则PS，∴ 或 ∴ m≥9，
数形结合：S理解为以1为中心，到1的距离小于或等于 m(m≥0 )的闭区间，只有
当m≥9时，才把P全部包含进来. 这样是不是更直观呢？
则m的取值范围为[9，＋∞)．故答案为[9，＋∞)．
本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问
题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系
问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．
对点练 3已知 p：实数 m满足3a＜m＜4a(a＞0)，q：方程＋＝1表示焦点在 y轴上
的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________．解析：由2－m＞m－1＞0，得1＜m＜，即q：1＜m＜.因为p是q的充分条件．
所以解得≤a≤.
答案：
题型 全称量词命题与存在量词命题
典例4下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．
(1)有的正方形不是矩形；
“有的”属于存在量词．
(2)∀x∈R，x2＋2＞0；
(3)∃x∈Q，x2＝3.
解：(1)存在量词命题；假命题．
(2)全称量词命题；由于∀x∈R，都有 x2≥0，因而有 x2＋2≥2＞0，即 x2＋2＞0，
所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题．
(3)存在量词命题；由于使 x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数．因此，没
有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．
判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路
对点练4下列命题为真命题的是( )
A．∃x∈R，ln(x2＋1)＜0
B．∀x＞2,2x＞x2
C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sin α－sin βD．∀x∈(0，π)，sin x＞cos x
解析：∵x2＋1≥1，∴ln(x2＋1)≥0，故 A是假命题；当 x＝3时，23＜32，故 B是假
命题；当 α＝β＝0 时，sin(α－β)＝sin α－sin β，故 C 是真命题；当 x＝∈(0，π)时，
sin x＝，cos x＝，sin x＜cos x，故D是假命题．故选C．
答案：C
题型 含量词命题的否定
典例 5(1)(2024·湖南怀化模拟)命题“∀x∈N*，f(n)∈N*且 f(n)≤n”的否定形式是(
)
A．∀x∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n
B．∀x∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n
C．∃x∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n
D．∃x∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n
(2)若“ ∃ x ∈ ， sin x ＜ m ”是假命题，则实数m的最大值为( )
也可以先将原命题当作真命题来做：转化为 m＞( sin x) . 对于∀x∈D，m＞f(x)
min
则转化为m＞f(x) ，而对于∃x∈D，m＞f(x)则转化为m＞f(x) .
max min
A． B．－
C． D．－
解析：(1)写全称量词命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把
“且”改为“或”．故选D．
(2)因为“∃x∈，sin x＜m”是假命题，
所以“∀x∈，m≤sin x”是真命题，
即m≤sin x对于∀x∈恒成立，所以m≤(sin x) ，
min
因为y＝sin x在上单调递增，
所以x＝－时，y＝sin x最小，其最小值为y＝sin＝－sin ＝－，
所以m≤－，所以实数m的最大值为－.故选D．
全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)改写量词
确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进
行改写．
(2)否定结论对原命题的结论进行否定．
(3)“双量词”命题的否定叙述
“ 对于 ∀ t ∈ D ， ∃ x ∈ D ，满足条件 p ( t ， x ) ”其否定叙述为“∃t∈D ，
1 2 1
学会拆分. “∃x∈D ，满足条件p(t，x)”可以理解为对于变量t的“条件”．
2
对于∀x∈D ，满足条件綈p(t，x)”．
2
(4)常见词语的否定形式
对任意x∈A
原语句 是 都是 ＞ 至少有一个 至多有一个
使p(x)真
存在x∈A使
否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个
p(x)假
对点练5命题“∀x<0,1－x>ex”的否定是( )
A．∃x<0,1－x≤ex
B．∃x≥0,1－x≤ex
C．∃x<0,1－x>ex
D．∃x≥0,1－x>ex
解析：根据全称量词命题的否定可知，“∀x<0,1－x>ex”的否定是“∃x<0,1－
x≤ex”．故选A．
答案：A
