文档内容
限时跟踪检测(三十) 正、余弦定理的应用举例
一、单项选择题
1．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A
看建筑物CD的张角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
2．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一．
其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山．始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加
重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局．因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳
阳楼记》使得岳阳楼著称于世．自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小李为测量岳阳楼的高度选取了与
底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，则岳阳楼的高度 CD约为(≈1.414，
≈1.732)( )
A．18米 B．19米
C．20米 D．21米
3. 第6号台风“烟花”于2021年7月25日登陆舟山普陀区．如图，A点正北方向的C市受到台风侵袭，一艘
船从A点出发前去实施救援，以24 n mile/h的速度向正北航行，在A处看到S岛在船的北偏东15°方向上，船航行
h后到达B处，在B处看到S岛在船的北偏东45°方向上．此船从A点到C市航行过程中距离S岛的最近距离为 (
)
A．9 n mile B．9(－1)n mile
C．9(－1)n mile D．9(－)n mile
4．(2024·陕西咸阳模拟)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边
长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法
是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，
开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．若＝，b
＝2，则△ABC面积S的最大值为( )
A． B．C．2 D．
5．小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧C，D
两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P ，P ，且PP ＝a，已经测得两个角∠PPD＝α，
1 2 1 2 1 2
∠PPD＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可
2 1
以求出C，D间距离的是 ( )
①∠DPC和∠DCP ；②∠PPC和∠PCP ；③∠PDC和∠DCP .
1 1 1 2 1 2 1 1
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
6．(2024·四川绵阳模拟)《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书．”箜
篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强．如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，
发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线AC＝99.9 cm，BC＝100.2 cm，AB
＝180 cm，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为( )
A．0.62 B．0.56
C．－0.56 D．－0.62
7．(2024·福建福州模拟)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领
域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的视角为∠BPC，且tan∠BPC＝.已知
地面上三处受灾点B，C，D共线，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1 km，则无人机P到地面受灾点D处的遥测
距离PD的长度是( )
A． km B．2 km
C． km D．4 km
二、多项选择题
8．(2024·重庆质检)某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好 km，
那么x的值可以是( )
A． B．2
C．3 D．69．(2024·江苏徐州模拟)如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与
B在同一水平面内的两点C，D(B，C，D不在同一条直线上)，测得CD＝s.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有
∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是(
)
A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC
B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD
C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC
D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC
三、填空题与解答题
10．魏晋南北朝时期，数学在测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通
过多次观测，测量山高谷深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步．关于重差术的注文在唐代成书，
因其第一题为测量海岛的高和远的问题，故将《重差》更名为《海岛算经》．受此启发，小明同学依照此法测量
泾阳县崇文塔的高度(示意图如图所示)，测得以下数据(单位：米)：前表却行DG＝1，表高CD＝EF＝2，后表却行
FH＝3，表间DF＝85.则塔高AB＝________米．
11．(2024·江西南昌模拟)某高一学习小组为测出一绿化区域的面积，进行了一些测量工作，最后将此绿化区
域近似地看成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，AB＝2 km，BC＝1 km，∠BAD＝45°，∠B＝60°，
∠BCD＝105°，则该绿化区域的面积是________km2.(结果保留根号)
12．(2024·广西南宁模拟)2022年4月16日，搭载着3名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆于东风
着陆场，标志着神舟十三号载人飞行舱任务取得圆满成功．假设返回舱D垂直下落于点C，某时刻地面上A，B观
测点观测到点D的仰角分别为45°，75°，若A，B间距离为10千米(其中向量CA与CB同向)，试估算该时刻返回舱
距离地面的距离CD约为________千米．(结果保留整数，参考数据：≈1.732)
13．在①a(sin A－sin C)＝(b－c)(sin B＋sin C)，②2bcos＝a＋c，③向量m＝(1＋cos B，sin C)与n＝(－c，
b)，且m⊥n这三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并解答．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所
对的边，且________．
(1)求角B的大小；(2)若△ABC是钝角三角形，且b＝，求a＋c的取值范围．
14．(2024·上海徐汇区模拟)如图，某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC送快件到C处，平均速度为20公
里/时，已知 BD＝10公里，∠DCB＝45°，∠CDB＝30°，△ABD 是等腰三角形，∠ABD＝120°.(参考数据：
≈1.414，≈1.732)
(1)试问快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？
(2)快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路 AD→DC追
赶，若汽车平均速度为60公里/时，问汽车能否先到达C处？
高分推荐题
15．拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑
定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的
顶点”，如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其中心依次为D，E，
F，若DF＝2，则＝________，AB＋AC的最大值为________．
解析版
一、单项选择题1．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A
看建筑物CD的张角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：由已知，得AD＝20 m，AC＝30 m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝
＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
答案：B
2．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一．
其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山．始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加
重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局．因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳
阳楼记》使得岳阳楼著称于世．自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小李为测量岳阳楼的高度选取了与
底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，则岳阳楼的高度 CD约为(≈1.414，
≈1.732)( )
A．18米 B．19米
C．20米 D．21米
解析：在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，则AC＝CD，
在Rt△BDC中，∠DBC＝45°，则BC＝CD，
由AC－BC＝AB得CD－CD＝14 CD＝＝7(＋1)≈19.124≈19(米)，CD约为19米．
答案：B
⇒
3. 第6号台风“烟花”于2021年7月25日登陆舟山普陀区．如图，A点正北方向的C市受到台风侵袭，一艘
船从A点出发前去实施救援，以24 n mile/h的速度向正北航行，在A处看到S岛在船的北偏东15°方向上，船航行
h后到达B处，在B处看到S岛在船的北偏东45°方向上．此船从A点到C市航行过程中距离S岛的最近距离为 (
)
A．9 n mile B．9(－1)n mile
C．9(－1)n mile D．9(－)n mile
解析： 如图，作SE⊥AB，在△ASB中，∠ABS＝135°，
AB＝24×＝18(n mile)，∠SAB＝15°，
∠ASB＝180°－∠ABS－∠SAB＝30°，
由正弦定理得＝，
所以AS＝＝18(n mile)．
所以船与S岛的最近距离
SE＝SA·sin∠SAB＝18sin 15°＝18×＝9(－1)(n mile)．
答案：C
4．(2024·陕西咸阳模拟)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边
长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法
是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，
开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．若＝，b
＝2，则△ABC面积S的最大值为( )
A． B．
C．2 D．
解析：因为＝，
所以tan C＝，
又tan C＝，
所以＝，
所以sin Bcos C＝sin C(1－cos B)，
所以sin Bcos C＝sin C－sin Ccos B，
所以sin C＝(sin Bcos C＋cos Bsin C)＝sin(B＋C)＝sin A，
由正弦定理得c＝a，
因为b＝2，
所以△ABC的面积
S＝
＝
＝，
将a2看成整体并利用二次函数性质得，当a2＝4即a＝2时，△ABC的面积S有最大值，最大值为.
答案：A
5．小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧C，D
两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P ，P ，且PP ＝a，已经测得两个角∠PPD＝α，
1 2 1 2 1 2
∠PPD＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可
2 1
以求出C，D间距离的是 ( )①∠DPC和∠DCP ；②∠PPC和∠PCP ；③∠PDC和∠DCP .
1 1 1 2 1 2 1 1
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
解析：根据题意，由正弦定理可以求出△PPD的三个角和三个边，
1 2
选①，在△DCP 中，
1
＝，
故CD＝，
故①可以求出CD；③与①条件等价．
选②，在△PPC中，
1 2
＝，
故PC＝，
1
在△PCD中，利用余弦定理求解CD即可．
1
答案：D
6．(2024·四川绵阳模拟)《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书．”箜
篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强．如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，
发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线AC＝99.9 cm，BC＝100.2 cm，AB
＝180 cm，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为( )
A．0.62 B．0.56
C．－0.56 D．－0.62
解析：由题意，∠OAC＝∠OBC＝90°，所以∠AOB＋∠ACB＝180°，
切线AC＝99.9 cm，BC＝100.2 cm，由切线长定理，不妨取AC＝BC＝100 cm，又AB＝180 cm，由余弦定理，
有cos∠ACB＝＝＝－0.62，cos∠AOB＝cos(180°－∠ACB)＝－cos∠ACB＝0.62.故选A．
答案：A
7．(2024·福建福州模拟)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领
域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的视角为∠BPC，且tan∠BPC＝.已知
地面上三处受灾点B，C，D共线，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1 km，则无人机P到地面受灾点D处的遥测
距离PD的长度是( )A． km B．2 km
C． km D．4 km
解析：方法一：由题意得BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD．设PD＝x km，记∠PBD＝α，∠PCD＝β，
∴tan α＝，tan β＝x，
∴tan∠BPC＝tan(β－α)＝＝＝，解得x＝1或x＝2，
又在Rt△PDA中有x>1，∴x＝2.
方法二：由题意知BD⊥平面PAD，
∴BD⊥PD．设PA＝x km，
则PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.
由tan∠BPC＝，
可得cos∠BPC＝，
在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2··，解得x2＝3，进而PD＝＝2(km)．
答案：B
二、多项选择题
8．(2024·重庆质检)某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好 km，
那么x的值可以是( )
A． B．2
C．3 D．6
解析： 如图，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，
由余弦定理得AC2＝x2＋32－2x×3cos 30°＝3，
整理得x2－3x＋6＝0，
即x＝2或.
故选AB．
答案：AB
9．(2024·江苏徐州模拟)如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与
B在同一水平面内的两点C，D(B，C，D不在同一条直线上)，测得CD＝s.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有
∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是(
)A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC
B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD
C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC
D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC
解析：对于A，已知s，∠ACB，∠BCD，∠BDC，在△BCD中，利用三角形内角和为180°可求得∠CBD＝π
－∠BDC－∠BCD，利用正弦定理＝，可求得BC，
在△ABC中，AB⊥BC，由tan∠ACB＝即可求AB；
对于B，在△BCD中，已知一边CD，一角∠BCD，无法求解三角形，
在△ABC中，已知两角∠ABC＝90°，∠ACB，无法求解三角形，
在△ACD中，已知一边CD，一角∠ACD，无法求解三角形；
对于C，在△ACD中，已知一边CD，两角∠ACD，∠ADC，由三角形内角和可求得∠CAD，由正弦定理可求
得AC，
在△ABC中，已知两角∠ACB，∠ABC＝90°，一边AC，利用sin∠ACB＝，可求得AB；
对于D，在△ABC中，已知两角∠ABC＝90°，∠ACB，
由tan∠ACB＝，可用AB表示BC，由sin∠ACB＝，可用AB表示AC，
在△ACD中，已知∠ADC，边CD，AB表示的AC，利用余弦定理可用AB表示AD，
在Rt△ABD中，利用勾股定理可用AB表示BD，
在△BCD中，已知∠BCD，CD，AB表示BD，AC表示BC，利用余弦定理可建立关于AB的方程，即可求出
AB．
故选ACD．
答案：ACD
三、填空题与解答题
10．魏晋南北朝时期，数学在测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通
过多次观测，测量山高谷深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步．关于重差术的注文在唐代成书，
因其第一题为测量海岛的高和远的问题，故将《重差》更名为《海岛算经》．受此启发，小明同学依照此法测量
泾阳县崇文塔的高度(示意图如图所示)，测得以下数据(单位：米)：前表却行DG＝1，表高CD＝EF＝2，后表却行
FH＝3，表间DF＝85.则塔高AB＝________米．
解析：由题意可知，△EFH∽△ABH，△CDG∽△ABG，所以＝，＝，又EF＝CD＝2，DG＝1，FH＝3，DF
＝85，所以＝，＝，则＝，解得BD＝，所以AB＝2BD＋2＝87.答案：87
11．(2024·江西南昌模拟)某高一学习小组为测出一绿化区域的面积，进行了一些测量工作，最后将此绿化区
域近似地看成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，AB＝2 km，BC＝1 km，∠BAD＝45°，∠B＝60°，
∠BCD＝105°，则该绿化区域的面积是________km2.(结果保留根号)
解析：如图，连接AC，由余弦定理可知AC＝＝(km)，故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝
15°，∠ADC＝150°.由正弦定理，得＝，即AD＝＝＝(km)，
故S ＝S ＋S ＝×1×＋×2×＝(km2)．
四边形ABCD △ABC △ADC
答案：
12．(2024·广西南宁模拟)2022年4月16日，搭载着3名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆于东风
着陆场，标志着神舟十三号载人飞行舱任务取得圆满成功．假设返回舱D垂直下落于点C，某时刻地面上A，B观
测点观测到点D的仰角分别为45°，75°，若A，B间距离为10千米(其中向量CA与CB同向)，试估算该时刻返回舱
距离地面的距离CD约为________千米．(结果保留整数，参考数据：≈1.732)
解析：在△ADC中，A＝45°，∠ABD＝180°－75°＝105°，∠ADB＝30°，
由正弦定理得＝，
则AD＝20sin 105°＝20sin(60°＋45°)＝20(sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°)＝5(＋)(千米)，所以CD＝AD×＝5(＋)×
＝5＋5≈14(千米)．
答案：14
13．在①a(sin A－sin C)＝(b－c)(sin B＋sin C)，②2bcos＝a＋c，③向量m＝(1＋cos B，sin C)与n＝(－c，
b)，且m⊥n这三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并解答．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所
对的边，且________．
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC是钝角三角形，且b＝，求a＋c的取值范围．
解：(1)若选条件①，根据正弦定理得a(a－c)＝(b＋c)(b－c)，则a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理可得，cos B＝
＝，又B∈(0，π)，则B＝.
若选条件②，由正弦定理得，2sin B·＝sin A＋sin C，则sin Bcos C＋sin Bsin C＝sin(B＋C)＋sin C，化简得
sin Bsin C＝sin Ccos B＋sin C，因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，于是sin B－cos B＝1，则sin＝，结合B∈(0，
π)，可得B＝.
若选条件③，由m⊥n，则m·n＝0＝－c(1＋cos B)＋bsin C，由正弦定理得，－sin C(1＋cos B)＋sin Bsin C＝0，因为C∈(0，π)，则sin C≠0，于是sin B－cos B＝1，则sin＝，结合B∈(0，π)，可得B＝.
(2)由正弦定理得，＝＝，得a＝2sin A，c＝2sin C，又△ABC是钝角三角形，不妨设A是钝角，又A＋C＝，
于是50，所以快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处．
(2)在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB×BD×cos 120°＝102＋102－2×10×10×＝300，
所以AD＝10 公里，
在△BCD中，∠CBD＝105°，由正弦定理，得
＝，
得CD＝5(1＋)公里，
则汽车到达C处所需时间t′＝×60＋15＝20＋15≈45.98(分钟)，
因为45.98<51.21，所以汽车能先到达C处．
高分推荐题
15．拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑
定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的
顶点”，如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其中心依次为D，E，
F，若DF＝2，则＝________，AB＋AC的最大值为________．
解析：设BC＝a，AC＝b，AB＝c.如图，连接AF，BD．由拿破仑定理知，△DEF为等边三角形．因为D为等边三角形的中心，所以在△DAB中，∠ABD＝∠BAD＝30°，∠ADB＝120°，设AD＝BD＝x，
由余弦定理得
c2＝x2＋x2－2x2cos 120°，
即c2＝3x2，
解得＝，即＝，
所以AD＝，同理AF＝，
又∠BAC＝60°，∠CAF＝30°，所以∠DAF＝∠BAD＋∠BAC＋∠CAF＝120°，
在△ADF中，由余弦定理可得
DF2＝AD2＋AF2－2AD·AF·cos 120°，
即12＝＋－2··，
化简得(b＋c)2＝bc＋36，
由基本不等式得(b＋c)2＝bc＋36≤2＋36,
解得b＋c≤4(当且仅当b＝c＝2时取等号)，所以(AB＋AC) ＝4.
max
答案： 4
