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限时跟踪检测(四十三) 空间向量及其应用
一、单项选择题
1．下列说法正确的是( )
A．若p＝xa＋yb，则p与a，b不一定共面
B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
C．若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A，B共面
D．若P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB
2．设平面α的一个法向量为n＝(x,1，－2)，平面β的一个法向量为m＝(2，－2，y)，
若α∥β，则xy＝( )
A．2 B．4 C．－2 D．－4
3．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是线段OA，CB的中点，
点G在线段MN上，且使MG＝2GN，如图，则正确用向量OA，OB，OC表示向量OG的是
( )
A． OG＝OA＋ OB＋ OC
B．OG＝OA＋OB＋OC
C．OG＝OA＋OB＋OC
D．OG＝OA＋OB＋OC
4．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c三个向量共面，
则实数λ＝( )
A. B. C. D.
5．已知正四面体ABCD的棱长为1，且AE＝2EB，AF＝2FD，则EF·DC＝( )
A. B. C．－ D．－
6．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O，都有OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，
B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．共线 D．不能确定
7．(2024·河北石家庄模拟)如图，正方体ABCDABC D 中，AP＝2PA1，点M在侧面
1 1 1 1
AABB内．若DM⊥CP，则点M的轨迹为( )
1 1 1
A．线段 B．圆弧C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
8．(2024·四川内江、眉山等六市月考)如图，平行六面体ABCDABC D 中，AB＝AD
1 1 1 1
＝AA＝1，∠BAD＝∠BAA＝120°，∠DAA ＝60°，则AC ＝( )
1 1 1 1
A．1 B．2
C. D.
二、多项选择题
9．(2024·广东梅州模拟)如图，在正方体ABCDABC D 中，AA ＝3，点M，N分别在
1 1 1 1 1
棱AB和BB 上(不含端点)运动．若DM⊥MN，则下列命题正确的是( )
1 1
A．MN⊥AM
1
B．MN⊥平面DMC
1
C．线段BN长度的最大值为
D．三棱锥C ADM体积不变
1 1 1
三、填空题与解答题
10．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以AB，AC为边的平行四边
形的面积为________．
11．已知e ，e 是空间单位向量，e·e ＝，若空间向量b满足b·e ＝2，b·e ＝，且对于
1 2 1 2 1 2
任意 x，y∈R，|b－(xe ＋ye)|≥|b－(xe ＋ye)|＝1(x ，y∈R)，则 x ＝________，y ＝
1 2 0 1 0 2 0 0 0 0
________，|b|＝________.
12．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，
CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M为AD的中点，N为PC上的点，且PC＝3PN.
求证：MN∥平面PAB.13．(2024·山东济南质检)如图，在三棱锥PABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥
平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，证明：平面AMC⊥平面BMC.
14．(2024·河南洛阳模拟)如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面
互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.
(1)求证：AC⊥BF.
(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若
不存在，请说明理由．
高分推荐题
15．如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，
E，F分别是AB，PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB.
解析版
一、单项选择题
1．下列说法正确的是( )
A．若p＝xa＋yb，则p与a，b不一定共面
B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
C．若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A，B共面
D．若P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB
解析：A项，若p＝xa＋yb，则p与a，b一定共面；B项，若a，b共线，p与a不共
线，则p＝xa＋yb就不成立；C正确；D项，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则MP
＝xMA＋yMB不成立．故选C.
答案：C
2．设平面α的一个法向量为n＝(x,1，－2)，平面β的一个法向量为m＝(2，－2，y)，
若α∥β，则xy＝( )
A．2 B．4 C．－2 D．－4
解析：因为α∥β，所以m∥n，所以存在实数λ，使得n＝λm，所以解得所以xy＝－
4，故选D.
答案：D
3．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是线段OA，CB的中点，
点G在线段MN上，且使MG＝2GN，如图，则正确用向量OA，OB，OC表示向量OG的是
( )
A． OG＝OA＋ OB＋ OC
B．OG＝OA＋OB＋OCC．OG＝OA＋OB＋OC
D．OG＝OA＋OB＋OC
解析：连接ON(图略)．
OG＝OM＋MG
＝OA＋MN
＝OA＋( ON－OM)
＝OA＋
＝OA＋OB＋OC.故选C.
答案：C
4．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c三个向量共面，
则实数λ＝( )
A. B. C. D.
解析：由题意，设c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，所以解得
故选D.
答案：D
5．已知正四面体ABCD的棱长为1，且AE＝2EB，AF＝2FD，则EF·DC＝( )
A. B. C．－ D．－
解析：因为AE＝2EB，AF＝2FD，所以EF∥BD，EF＝BD，即EF＝BD，
则EF·DC＝BD·DC
＝|BD||DC|cos ＝－.
答案：D
6．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O，都有OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，
B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．共线 D．不能确定
解析：由已知可得
OP－OA＝－OA＋OB＋OC
＝－OA＋OB＋OC－OA，
可得AP＝－(OA－OB)＋(OC－OA)＝－BA＋AC，
所以AP，AC，AB共面但不共线，
故P，A，B，C四点共面．
答案：B
7．(2024·河北石家庄模拟)如图，正方体ABCDABC D 中，AP＝2PA1，点M在侧面
1 1 1 1
AABB内．若DM⊥CP，则点M的轨迹为( )
1 1 1A．线段 B．圆弧
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 3，则P(3,0,2)，C(0,3,0)，
D(0,0,3)，M(3，y，z)，D1M＝(3，y，z－3)，CP＝(3，－3,2)，所以D1M·CP＝9－3y＋2(z
1
－3)＝0，整理为3y－2z－3＝0，即点M的轨迹是平面ABBA 内，直线3y－2z－3＝0上的
1 1
一段线段．
答案：A
8．(2024·四川内江、眉山等六市月考)如图，平行六面体ABCDABC D 中，AB＝AD
1 1 1 1
＝AA＝1，∠BAD＝∠BAA＝120°，∠DAA ＝60°，则AC ＝( )
1 1 1 1
A．1 B．2
C. D.
解析：∵AC1＝AB＋AD＋AA1，
∴AC12＝AB2＋AD2＋AA12＋2AB·AD＋2AB·AA1＋2AD·AA1＝1＋1＋1＋2×1×1×＋
2×1×1×＋2×1×1×＝2，
∴AC ＝.
1
答案：D
二、多项选择题
9．(2024·广东梅州模拟)如图，在正方体ABCDABC D 中，AA ＝3，点M，N分别在
1 1 1 1 1
棱AB和BB 上(不含端点)运动．若DM⊥MN，则下列命题正确的是( )
1 1
A．MN⊥AM
1
B．MN⊥平面DMC
1
C．线段BN长度的最大值为
D．三棱锥C ADM体积不变
1 1 1
解析：在正方体ABCDABC D 中，以点D为原点，射线DA，DC，DD 分别为x轴、
1 1 1 1 1y轴、z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(3,0,3)，D(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，
1 1
设M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，则D1M＝(3，y，－3)，MN＝(0,3－y，z)，而
DM⊥MN，
1
则D1M·MN＝y(3－y)－3z＝0，即z＝y(3－y)．
对于 A 选项，连接 AM，A1M＝(0，y，－3)，则A1M·MN＝y(3－y)－3z＝0，则
1
A1M⊥MN，MN⊥AM，A正确；
1
对于B选项，连接CM，CD ，CM＝(3，y－3,0)， CM·MN＝(y－3)(3－y)＝－(3－
1
y)2<0，即CM与MN不垂直，从而MN与平面DMC不垂直，B不正确；
1
对于C选项，BN＝(0,0，z)，则线段BN长度|BN|＝z＝≤，当且仅当y＝时等号成立，C
正确；
对于D选项，连接AC ，MC ，不论点M如何移动，点M到平面ADC 的距离均为
1 1 1 1 1 1
3，而VC ADM＝VMADC ＝×3·S△ADC ＝，所以三棱锥C ADM体积为定值，即D正
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
确．
答案：ACD
三、填空题与解答题
10．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以AB，AC为边的平行四边
形的面积为________．
解析：由题意可得
AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)，
所以cos〈AB，AC〉＝
＝＝，所以sin〈AB，AC〉＝，
所以以AB，AC为边的平行四边形的面积S＝2×|AB||AC|sin〈AB，AC〉＝14×＝7.
答案：7
11．已知e ，e 是空间单位向量，e·e ＝，若空间向量b满足b·e ＝2，b·e ＝，且对于
1 2 1 2 1 2
任意 x，y∈R，|b－(xe ＋ye)|≥|b－(xe ＋ye)|＝1(x ，y∈R)，则 x ＝________，y ＝
1 2 0 1 0 2 0 0 0 0
________，|b|＝________.
解析：问题等价于|b－(xe＋ye)|当且仅当x＝x，y＝y 时取到最小值1，左边平方，得|
1 2 0 0
b|2＋x2＋y2－4x－5y＋xy，
在x＝x，y＝y 时取到最小值1，
0 0
即|b|2＋x2＋y2－4x－5y＋xy
＝x2＋(y－4)x＋y2－5y＋|b|2＝2＋(y－2)2－7＋|b|2，
所以解得
答案：1 2 2
12．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，
CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M为AD的中点，N为PC上的点，且PC＝3PN.
求证：MN∥平面PAB.
解：方法一(几何法)：如图，在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H，连接AH，在
△PBC中，NH∥BC，且NH＝BC＝1，AM＝AD＝1，
又AD∥BC，∴NH∥AM且NH＝AM，
∴四边形AMNH为平行四边形，
∴MN∥AH，
又AH 平面PAB，MN⊄平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
⊂
方法二(向量法)：在平面ABCD内作AE∥CD交BC于点E，则AE⊥AD.
以AE，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则P(0,0,4)，M(0,1,0)，C(2，2,0)，N，B(2，－1,0)，A(0,0,0)，
故MN＝， AP＝(0,0,4)， AB＝(2，－1，0)．
设MN＝mAB＋nAP，
∴＝m(2，－1,0)＋n(0，0,4)，
∴m＝，n＝，∴MN，AB，AP共面．∴MN∥平面PAB.又MN⊄平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
方法三(法向量)：建系写点坐标如方法二．
设m＝(x，y，z)为平面PAB的一个法向量，则由m⊥AP，m⊥AB，得
1 1 1
∴
令x＝1，则m＝(1,2，0)．
1
∴MN·m＝×1－×2＋×0＝0.∴m⊥MN，∴MN∥平面PAB.
又MN⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB.
13．(2024·山东济南质检)如图，在三棱锥PABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥
平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，证明：平面AMC⊥平面BMC.
证明：(1)如图，以O为原点，以射线OD为y轴正半轴，以射线OP为z轴正半轴，建
立空间直角坐标系Oxyz.
则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．
AP＝(0,3,4)，BC＝(－8,0,0)，
由此可得AP·BC＝0，
所以AP⊥BC，即AP⊥BC.
(2)由(1)，知AP＝5，
又AM＝3，且点M在线段AP上，
∴AM＝AP＝.
又BA＝(－4，－5,0)，
∴BM＝BA＋AM＝，
∴AP·BM＝(0,3,4)·＝0，
∴AP⊥BM，即AP⊥BM，
又根据(1)的结论，知AP⊥BC，且BM∩BC＝B，
∴AP⊥平面BMC，又AP 平面AMC，
故平面AMC⊥平面BMC.
⊂14．(2024·河南洛阳模拟)如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面
互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.
(1)求证：AC⊥BF.
(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若
不存在，请说明理由．
(1)证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF
平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.
⊂
∵AC 平面ABCD，∴AF⊥AC.
∴过A作AH⊥BC于H(图略)，
⊂
则BH＝1，AH＝，CH＝3，
∴AC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB.
∵AB∩AF＝A，∴AC⊥平面FAB.
∵BF 平面FAB，∴AC⊥BF.
(2)解：存在．
⊂
由(1)知，AF，AB，AC两两垂直．
以A为坐标原点，AB，AC，AF的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示
的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(－1，，2)．
假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，
设＝λ，则λ>0，P.
设平面PAC的法向量m＝(x，y，z)．
由AP＝，AC＝(0，2，0)，
得
即令x＝1，则z＝，
所以m＝为平面PAC的一个法向量．同理，可求得n＝为平面BCEF的一个法向量．
当m·n＝0，即λ＝时，平面PAC⊥平面BCEF，
所以在线段BE上存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF，此时＝.
高分推荐题
15．如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，
E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB.
(1)证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，
设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F.
EF＝， DC＝(0，a,0)．
因为EF·DC＝0，所以EF⊥DC，即EF⊥CD.
(2)解：设G(x,0，z)，则FG＝，
CB＝(a,0,0)， CP＝(0，－a，a)，
若使GF⊥平面PCB，则需FG·CB＝0，且FG·CP＝0，
由FG·CB＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝，
由FG·CP＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0.
所以G点坐标为，即G为AD的中点时，GF⊥平面PCB.
