文档内容
限时跟踪检测(四十一) 直线、平面平行的判定及性质
一、单项选择题
1．(2024·辽宁本溪模拟)对于平面α和不重合的两条直线m，n，下列选项中正确的是(
)
A．如果m α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
B．如果m α，n与α相交，那么m，n是异面直线
⊂
C．如果m α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥α
⊂
D．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α
⊂
2．(2024·浙江模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m α，
n α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )
⊂
A．充分不必要条件
⊂
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(2024·广东广州模拟)如图，在三棱柱ABCABC 中，AM＝2MA ，BN＝2NB ，过
1 1 1 1 1
MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则( )
A．MF∥EB
B．AB∥NE
1 1
C．四边形MNEF为平行四边形
D．四边形MNEF为梯形
4．如图所示，在四棱锥PABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，
PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，直线PD
与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为( )
A. B．2
C．2 D．2
5．(2024·天津模拟)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α
平行的棱有( )
A．0条 B．1条C．2条 D．1条或2条
6．(2024·辽宁东北育才学校模拟)如图所示，在棱长为a的正方体ABCDABC D 中，
1 1 1 1
E 是棱 DD 的中点，F 是侧面 CDD C 上的动点，且 BF∥平面 ABE，则点 F 在侧面
1 1 1 1 1
CDD C 上的轨迹的长度是( )
1 1
A．a B.
C.a D.a
二、多项选择题
7．(2024·江苏苏州中学质量评估)在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为梯形，
AB∥CD，则( )
A．平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行
B．平面PAD和平面PBC的交线与底面ABCD平行
C．平面PAB和平面PCD的交线与底面ABCD平行
D．平面PAD内任意一条直线都不与BC平行
8．(2024·江苏南京质检)如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，下列四个命题
中，正确的是( )
A．BM与ED平行
B．CN与BE是异面直线
C．AF与平面BDM平行
D．平面CAN与平面BEM平行
9．(2024·山东枣庄模拟)如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCDABC D 内灌进一
1 1 1 1
些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，有下面几个结
论，其中正确的是( )
图1 图2 图3
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．随着容器倾斜角度的不同，AC 始终与水面所在平面平行
1 1
D．当容器倾斜如图3所示时，AE·AH为定值
三、填空题与解答题
10．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
11．如图所示，在正四棱柱ABCDABC D 中，E，F，G，H分别是棱CC ，C D ，
1 1 1 1 1 1 1
DD，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条
1
件________时，就有MN∥平面BBDD (注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑
1 1
全部可能情况)．
12. 如图，在三棱柱 ABCA′B′C′中，点D是BC的中点，欲过点 A′作一截面与平面
AC′D平行．
(1)问应当怎样画线，并说明理由；
(2)求所作截面与平面AC′D将三棱柱分成的三部分的体积之比．
13．如图，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的
重心．
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S ∶S .
△MNG △ADC14．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝AF＝
4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C＝2.
(1)求五棱锥A′BCDFE的体积．
(2)在线段A′C上是否存在一点M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M；若不存在，
请说明理由．
高分推荐题
15．如图所示，在棱长为1的正方体ABCDABC D 中，点E，F分别是棱BC，CC 的
1 1 1 1 1
中点，P是侧面BCC B 内一点，若AP∥平面AEF，则线段AP长度的取值范围是( )
1 1 1 1
A. B.
C. D．[，]
16．如图，在正方体ABCDABC D 中，P，Q分别为对角线BD，CD 上的点，且＝＝.
1 1 1 1 1(1)求证：PQ∥平面ADDA；
1 1
(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面ADDA？请给出证明．
1 1
解析版
1．(2024·辽宁本溪模拟)对于平面α和不重合的两条直线m，n，下列选项中正确的是(
)
A．如果m α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
B．如果m α，n与α相交，那么m，n是异面直线
⊂
C．如果m α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥α
⊂
D．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α
⊂
解析：由线面平行的性质定理，可知A正确，B选项中，n可以与m相交，C选项中，
直线n可以与平面α相交，D选项中，n可以在平面α内，故选A.
答案：A
2．(2024·浙江模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m α，
n α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )
⊂
A．充分不必要条件
⊂
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m α，n α，由“α∥β”
可得“m∥β且n∥β”，根据面面平行的判定定理可知“m∥β且n∥β”不能得“α∥β”，所
⊂ ⊂
以“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
3．(2024·广东广州模拟)如图，在三棱柱ABCABC 中，AM＝2MA ，BN＝2NB ，过
1 1 1 1 1
MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则( )
A．MF∥EB
B．AB∥NE
1 1
C．四边形MNEF为平行四边形
D．四边形MNEF为梯形
解析：由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，M∉平面BEF，故MF，EB为异面直线，故A错误；
由于B ，N，E三点共面，B∈平面BNE，A∉平面BNE，故AB ，NE为异面直线，
1 1 1 1 1 1 1
故B错误；
∵在平行四边形AABB中，
1 1
AM＝2MA ，BN＝2NB ，
1 1
∴AM∥BN，AM＝BN，
故四边形AMNB为平行四边形，∴MN∥AB.
又MN⊄平面ABC，AB 平面ABC，
∴MN∥平面ABC.
⊂
又MN 平面MNEF，
平面MNEF∩平面ABC＝EF，
⊂
∴MN∥EF，∴EF∥AB，
显然在△ABC中，EF≠AB，
∴EF≠MN，
∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．
答案：D
4．如图所示，在四棱锥PABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，
PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，直线PD
与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为( )
A. B．2
C．2 D．2
解析： ∵PD与平面CEF交于点H，∴平面CEF∩平面PCD＝CH.
∵EF∥平面PCD，∴EF∥CH，过点C作CH∥EF交PD于点H，过点H作HM∥PA
交AD于点M，连接CM，如图所示．
∵EF∩AP＝F，CH∩HM＝H，
∴平面AEF∥平面CHM.
∵平面 AEF∩平面 ABCD＝AE，平面 CHM∩平面 ABCD＝CM，∴AE∥CM.又
BC∥AM，∴四边形ABCM为平行四边形，∴AM＝BC＝2.又AD＝4，∴M是AD的中点，则H为PD的中点，∴CH＝＝＝2.
答案：C
5．(2024·天津模拟)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α
平行的棱有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．1条或2条
解析： 如图所示，平面 α 即平面 EFGH，则四边形 EFGH 为平行四边形，则
EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH 平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF 平面ACD，平面
BCD∩平面 ACD＝CD，∴EF∥CD.又 EF 平面 EFGH，CD⊄平面 EFGH，∴CD∥平面
⊂ ⊂
EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条．
⊂
答案：C
6．(2024·辽宁东北育才学校模拟)如图所示，在棱长为a的正方体ABCDABC D 中，
1 1 1 1
E 是棱 DD 的中点，F 是侧面 CDD C 上的动点，且 BF∥平面 ABE，则点 F 在侧面
1 1 1 1 1
CDD C 上的轨迹的长度是( )
1 1
A．a B.
C.a D.a
解析：设G，H，I分别为CD，CC ，C D 的中点，连接BG，GE，BI，BH，HI，
1 1 1 1 1
CD，易得A，B，G，E四点共面，
1 1
且平面ABGE∥平面BHI.
1 1
又∵BF∥平面ABE，∴F落在线段HI上．
1 1
∵正方体ABCDABC D 的棱长为a，
1 1 1 1
∴HI＝CD＝a，
1即F在侧面CDD C 上的轨迹的长度是a.故选D.
1 1
答案：D
二、多项选择题
7．(2024·江苏苏州中学质量评估)在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为梯形，
AB∥CD，则( )
A．平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行
B．平面PAD和平面PBC的交线与底面ABCD平行
C．平面PAB和平面PCD的交线与底面ABCD平行
D．平面PAD内任意一条直线都不与BC平行
解析：对于A，设平面PBC∩平面PAD＝l，在平面PBC内存在无数条直线与l平行，
且不在平面PAD内，则在平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行，故A正确；
对于B，若l∥平面ABCD，l 平面PBC，平面PBC∩平面ABCD＝BC，则l∥BC，同
理，l∥AD，则BC∥AD，这与四边形ABCD为梯形矛盾，故B错误；
⊂
对于C，设平面PAB∩平面PCD＝m，∵AB∥CD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，平面
PCD∩平面ABCD＝CD，
∴AB∥m，又AB 平面ABCD，m⊄平面ABCD，
∴m∥平面ABCD，故C正确；
⊂
对于D，假设平面PAD内存在一条直线a与BC平行，则BC∥平面PAD，又BC 平面
ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，则BC∥AD，不符合题意，
⊂
∴平面PAD内任意一条直线都不与BC平行，故D正确．故选ACD.
答案：ACD
8．(2024·江苏南京质检)如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，下列四个命题
中，正确的是( )
A．BM与ED平行
B．CN与BE是异面直线
C．AF与平面BDM平行
D．平面CAN与平面BEM平行
解析： 由展开图还原得到正方体的直观图，如图，BM与ED异面，故A错误；易知
CN与BE平行，故B错误；因为四边形AFMD是平行四边形，所以AF∥MD，又AF⊄平面
BDM，MD 平面BDM，所以AF∥平面BDM，故C正确；显然 AC∥EM，又AC⊄平面
BEM，EM 平面BEM，所以AC∥平面BEM，同理AN∥平面BEM，又AC∩AN＝A，所以
⊂
平面CAN∥平面BEM，故D正确．
⊂答案：CD
9．(2024·山东枣庄模拟)如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCDABC D 内灌进一
1 1 1 1
些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，有下面几个结
论，其中正确的是( )
图1 图2 图3
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．随着容器倾斜角度的不同，AC 始终与水面所在平面平行
1 1
D．当容器倾斜如图3所示时，AE·AH为定值
解析：由于 AB固定，所以在倾斜的过程中，始终有 CD∥HG∥EF∥AB，且平面
AEHD∥平面BFGC，故水的部分始终呈棱柱形(三棱柱或四棱柱)，且AB为棱柱的一条侧
棱，没有水的部分也始终呈棱柱形，故 A正确；对于水面EFGH所在四边形，从图2、图
3可以看出，EF，GH长度不变，而EH，FG的长度随倾斜角度变化而变化，所以水面
EFGH所在四边形的面积是变化的，故B错误；假设AC 与水面所在的平面始终平行，又
1 1
C D 与水面所在的平面始终平行，则长方体上底面ABC D 与水面所在的平面始终平行，
1 1 1 1 1 1
这就与倾斜时两个平面不平行矛盾，故C错误；水量不变时，棱柱AEHBFG的体积是定值，
又该棱柱的高AB不变，且V ＝·AE·AH·AB，所以AE·AH＝，即AE·AH是定值，故D
AEHBFG
正确．
答案：AD
三、填空题与解答题
10．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中
与MN平行的是________．
解析： 如图，连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F.由重心的性质可
知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E.由＝＝，得MN∥AB.∵AB 平面ABD，MN⊄
平面ABD，AB 平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
⊂
⊂答案：平面ABC和平面ABD
11．如图所示，在正四棱柱ABCDABC D 中，E，F，G，H分别是棱CC ，C D ，
1 1 1 1 1 1 1
DD，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条
1
件________时，就有MN∥平面BBDD (注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑
1 1
全部可能情况)．
解析：连接HN，FH，FN(图略)，则FH∥DD ，HN∥BD，且FH∩HN＝H，DD∩BD
1 1
＝D，∴平面FNH∥平面BBDD ，只需M∈FH，则MN 平面FHN，∴MN∥平面BBDD .
1 1 1 1
答案：点M在线段FH上
⊂
12. 如图，在三棱柱 ABCA′B′C′中，点D是BC的中点，欲过点 A′作一截面与平面
AC′D平行．
(1)问应当怎样画线，并说明理由；
(2)求所作截面与平面AC′D将三棱柱分成的三部分的体积之比．
解：(1)在三棱柱ABCA′B′C′中，点D是BC的中点，取B′C′的中点E，连接A′E，A′B，
BE，则平面A′EB∥平面AC′D，A′E，A′B，BE即为应画的线，如图所示．理由如下：
因为点D为BC的中点，点E为B′C′的中点，所以BD＝C′E.又因为BC∥B′C′，所以四
边形 BDC′E为平行四边形，所以 DC′∥BE.因为DC′⊄平面 A′BE，BE 平面 A′BE，所以
DC′∥平面A′BE.连接DE，则DE綉BB′，所以DE綉AA′，所以四边形AA′ED是平行四边形，
⊂
所以AD∥A′E.因为AD⊄平面A′BE，A′E 平面A′BE，所以AD∥平面A′BE.又因为AD∩DC′
＝D，AD 平面AC′D，DC′ 平面AC′D，所以平面A′EB∥平面AC′D.
⊂
(2)设棱柱的底面积为S，高为h.
⊂ ⊂
则V ＝V ＝×Sh＝Sh，
三棱锥C′ACD 三棱锥BA′B′E所以三棱柱夹在平面AC′D与平面A′EB间的部分的体积为Sh－2×Sh＝Sh，
所以所作截面与平面 AC′D 将三棱柱分成的三部分的体积之比为 Sh∶Sh∶Sh＝
1∶4∶1.
13．如图，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的
重心．
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S ∶S .
△MNG △ADC
(1) 证明：连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于点P，F，H.
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
∴＝＝＝2.
连接PF，FH，PH，有MN∥PF.
又∵PF 平面ACD，MN⊄平面ACD，
∴MN∥平面ACD.
⊂
同理可得MG∥平面ACD.
∵MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD.
(2)解：由(1)可知＝＝，
∴MG＝PH.又∵PH＝AD，
∴MG＝AD.同理可得NG＝AC，MN＝CD.
∴△MNG∽△DCA，且相似比为1∶3，
∴S ∶S ＝1∶9.
△MNG △ADC
14．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝AF＝
4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C＝2.(1)求五棱锥A′BCDFE的体积．
(2)在线段A′C上是否存在一点M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M；若不存在，
请说明理由．
解：(1)如图，连接AC，设AC∩EF＝H，连接A′H.
因为四边形ABCD是正方形，AE＝AF＝4，
所以H是EF的中点，且EF⊥AH，
从而有A′H⊥EF，CH⊥EF.
又A′H∩CH＝H，
所以EF⊥平面A′HC，且EF 平面ABCD.从而平面A′HC⊥平面ABCD.
过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O.则A′O⊥平面ABCD.
⊂
因为正方形ABCD的边长为6，AE＝AF＝4，
所以A′H＝2，CH＝4.
所以在△A′HC中，
cos∠A′HC＝
＝＝，
所以HO＝A′Hcos∠A′HC＝，则A′O＝，
所以五棱锥A′BCDFE的体积
V＝××＝.
(2)线段A′C上存在点M，使得BM∥平面A′EF，此时A′M＝.证明如下：
如图，连接OM，BD，BM，DM，且易知BD过点O.
因为A′M＝＝A′C，HO＝HC，所以OM∥A′H.
又OM⊄平面A′EF，A′H 平面A′EF，所以OM∥平面A′EF.
又BD∥EF，BD⊄平面A′EF，EF 平面A′EF，
⊂
所以BD∥平面A′EF.
⊂
又BD∩OM＝O，
所以平面MBD∥平面A′EF.
因为BM 平面MBD，所以BM∥平面A′EF.
高分推荐题
⊂
15．如图所示，在棱长为1的正方体ABCDABC D 中，点E，F分别是棱BC，CC 的
1 1 1 1 1中点，P是侧面BCC B 内一点，若AP∥平面AEF，则线段AP长度的取值范围是( )
1 1 1 1
A. B.
C. D．[，]
解析： 如图，取BC 的中点M，BB 的中点N，连接AM，AN，MN，
1 1 1 1 1
可以证明平面AMN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上．
1
因为AM＝AN＝＝，
1 1
MN＝＝，
所以当点P位于M，N点时，AP最大，当点P位于MN的中点O时，AP最小，此时
1 1
AO＝＝，所以≤|AP|≤，所以线段AP长度的取值范围是.
1 1 1
答案：B
16．如图，在正方体ABCDABC D 中，P，Q分别为对角线BD，CD 上的点，且＝＝.
1 1 1 1 1
(1)求证：PQ∥平面ADDA；
1 1
(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面ADDA？请给出证明．
1 1
(1)证明：连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图1，连接MD ，
1
图1
因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以＝，
又因为＝＝，所以＝＝，所以PQ∥MD .
1
又MD 平面ADDA，PQ⊄平面ADDA，
1 1 1 1 1
故PQ∥平面ADDA.
⊂ 1 1
(2)解：当的值为时，能使平面PQR∥平面ADDA.证明如下：
1 1
如图2，因为＝，
图2
即＝，故＝.
所以PR∥DA.
又DA 平面ADDA，
1 1
PR⊄平面ADDA，
⊂ 1 1
所以PR∥平面ADDA，
1 1
又PQ∥平面ADDA，PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，
1 1
所以平面PQR∥平面ADDA.
1 1 ⊂
