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限时跟踪检测(三十三) 平面向量的数量积
一、单项选择题
1．(2024·山东淄博模拟)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则|2a＋b|＝( )
A．3 B.
C．7 D.
2．已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量e
为( )
A.或
B.或
C.
D.
3．已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则sin〈a，c〉＝( )
A. B.
C. D.
4．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值
为( )
A．4 B．－4
C. D．－
5．(2024·广东韶关模拟)已知a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若b⊥c，则向量c在向量
a上的投影向量为( )
A．－a B.a
C．－a D.a
6．(2024·河北承德二中月考)已知向量a＝(－1,2)，b＝(1，m)，则“m<”是“〈a，b〉
为钝角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．(2024·安徽合肥一检)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BD＝2DC，AE＝EB，则
AD·CE＝( )
A．－ B.
C．－ D.
8．(2024·湖南长郡中学月考)已知P是边长为3的等边△ABC外接圆上的动点，则|PA
＋PB＋2PC|的最大值是 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
9．(2024·安徽合肥一六八中学模拟)在菱形ABCD中，AB＝2，点E，F分别为BC和
CD的中点，且AB·AF＝4，则AE·BF＝( )
A．1 B.C．2 D.
二、多项选择题
10．已知O为坐标原点，点A(1,0)，P(cos α，sin α)，P(cos β，sin β)，P(cos(α－
1 2 3
β)，sin(α－β))，则下列选项正确的是( )
A．|OP1|＝|OP2|
B．|AP2|＝|P1P3|
C.OA·OP1＝OP2·OP3
D.OA·OP3＝OP1·OP2
11. (2024·湖南雅礼中学模拟)如图，AB是圆O(O为圆心)的一条弦，由下列一个条件能
确定AB·AO值的有( )
A．已知圆的半径长
B．已知弦长|AB|
C．已知∠OAB的大小
D．已知圆的半径长和∠OAB的大小
三、填空题与解答题
12．(2024·吉林长春校联考)已知向量a＝(1,2)，b＝(4，－7)，若a∥c，a⊥(b＋c)，则|
c|＝________.
13．(2024·吉林长春模拟)已知O是△ABC内一点，且5OA＋6OB＋10OC＝0，则＝
________.
14．(2024·上海同济大学第一附属中学模拟)对任意两个非零的平面向量α和β，定义
α⊗β＝.若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且a⊗b和b⊗a都在集合{中，求
a⊗b的值．高分推荐题
15．在2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪
花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线
称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在 1904年研究的一种分形曲线．
如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后
以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图
1中正三角形的边长为3，则图3中OM·ON的值为________．
图1 图2 图3
解析版
一、单项选择题
1．(2024·山东淄博模拟)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则|2a＋b|＝( )
A．3 B.
C．7 D.
解析：由已知可得|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1，则a·b＝，因此|2a＋b|＝＝＝.故
选D.
答案：D
2．已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量e
为( )
A.或
B.或
C.
D.
解析：由题意得a－2b＝(－2－2k,7)，
∵(a－2b)⊥c，
∴(a－2b)·c＝0，
即(－2－2k,7)·(1,2)＝－2－2k＋14＝0，
解得k＝6，
∴b＝(6，－3)，
∴e＝±＝±.
答案：A
3．已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则sin〈a，c〉＝( )
A. B.
C. D.
解析：方法一：设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(，)，∴cos〈a，c〉＝＝，∴sin〈a，c〉＝.
方法二：a·c＝a·(a＋b)＝a2＋a·b＝，|c|＝＝＝＝3，
∴cos〈a，c〉＝＝＝，
∴sin〈a，c〉＝.
答案：B
4．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值
为( )
A．4 B．－4
C. D．－
解析：由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝－＝－3×
＝－3×＝－4.故选B.
答案：B
5．(2024·广东韶关模拟)已知a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若b⊥c，则向量c在向量
a上的投影向量为( )
A．－a B.a
C．－a D.a
解析：c＝a＋tb＝(3＋t,4)．因为b⊥c，所以t＝－3，所以c＝(0,4)，所以向量c在向量
a上的投影向量为·＝a，故选B.
答案：B
6．(2024·河北承德二中月考)已知向量a＝(－1,2)，b＝(1，m)，则“m<”是“〈a，b〉
为钝角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若〈a，b〉为钝角，则有a·b<0且a与b不平行，即得m<且m≠－2.故“m<”是
“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
7．(2024·安徽合肥一检)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BD＝2DC，AE＝EB，则
AD·CE＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：方法一：在△ABC中，因为BD＝2DC，所以D为BC边上靠近C的三等分点，
所以AD＝AC＋AB，又AE＝EB，所以CE＝CA＋AB＝AB－AC，所以AD·CE＝·＝－AC2
＋AB2＝－6＋＝－.故选C.
方法二：可设三角形为以A为直角顶点的直角三角形，则以A为原点建系，如图所示，
则A(0,0)，B(2，0)，C(0,3)，D，E(1,0)，所以AD＝，CE＝(1，－3)，所以AD·CE＝×1＋
2×(－3)＝－.答案：C
8．(2024·湖南长郡中学月考)已知P是边长为3的等边△ABC外接圆上的动点，则|PA
＋PB＋2PC|的最大值是 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：设△ABC的外接圆的圆心为O，
则圆的半径为×＝，OA＋OB＋OC＝0，故PA＋PB＋2PC＝4PO＋OC.
又|4PO＋OC|2＝51＋8PO·OC≤51＋24＝75，故|PA＋PB＋2PC|≤5，
当PO，OC共线且同向时取最大值，故选D.
答案：D
9．(2024·安徽合肥一六八中学模拟)在菱形ABCD中，AB＝2，点E，F分别为BC和
CD的中点，且AB·AF＝4，则AE·BF＝( )
A．1 B.
C．2 D.
解析： 作出图形如图，选择一组不共线的向量AB，AD作为基底．
因为点E，F分别为BC和CD的中点，
所以AB·AF＝AB·＝AB·AD＋AB2＝4，所以AB·AD＝2.
所以AE·BF＝·＝·＝AB·AD＋AD2－AB2＝×2＝，故选B.
答案：B
二、多项选择题
10．已知O为坐标原点，点A(1,0)，P(cos α，sin α)，P(cos β，sin β)，P(cos(α－
1 2 3
β)，sin(α－β))，则下列选项正确的是( )
A．|OP1|＝|OP2|
B．|AP2|＝|P1P3|
C.OA·OP1＝OP2·OP3
D.OA·OP3＝OP1·OP2
解析：由题意OA＝(1,0)，OPi的坐标等于P的坐标(i＝1,2,3)，
i
|OP1|＝|OP2|＝1，A正确；
|AP2|＝＝，|P1P3|＝＝
＝，
所以|AP2|＝|P1P3|，B正确；
OA·OP1＝cos α，
OP2·OP3＝cos βcos(α－β)＋sin βsin(α－β)＝cos(2β－α)，C错误；
OA·OP3＝cos(α－β)，OP1·OP2＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，D正确．
答案：ABD
11. (2024·湖南雅礼中学模拟)如图，AB是圆O(O为圆心)的一条弦，由下列一个条件能
确定AB·AO值的有( )
A．已知圆的半径长
B．已知弦长|AB|
C．已知∠OAB的大小
D．已知圆的半径长和∠OAB的大小
解析：设AB的中点为M，连接OM(图略)，则OM⊥AB，AM＝AB.∵AB·AO＝|AB|·|
AO|·cos∠OAB＝|AM|·|AB|＝|AB|2，∴B正确；∵AB·AO＝|AB|·|AO|·cos∠OAB＝2|AM|·|
AO|·cos∠OAB＝2·|AO|2·cos2∠OAB，∴D正确．故选BD.
答案：BD
三、填空题与解答题
12．(2024·吉林长春校联考)已知向量a＝(1,2)，b＝(4，－7)，若a∥c，a⊥(b＋c)，则|
c|＝________.
解析：方法一：设c＝(x，y)，则b＋c＝(x＋4，y－7)，
由a∥c，a⊥(b＋c)，得
解得所以|c|＝＝2.
方法二：因为a∥c，所以设c＝λa＝(λ，2λ)，
所以b＋c＝(λ＋4,2λ－7)，所以由a⊥(b＋c)，得λ＋4＋2(2λ－7)＝0，解得λ＝2，所以
c＝(2,4)，|c|＝＝2.
答案：2
13．(2024·吉林长春模拟)已知O是△ABC内一点，且5OA＋6OB＋10OC＝0，则＝
________.
解析：∵5OA＋6OB＋10OC＝0，
∴OA＋2OC＝－OB，
如图，延长OC至C′，使得OC′＝2OC，
连接AC′，设AC′的中点为D，连接OD，BC′，则OA＋2OC＝2OD，
∴2OD＝－OB，即O，B，D三点共线．
∴S ＝S ＝2S ，
△AOB △OBC′ △BOC
∴＝2.
答案：2
14．(2024·上海同济大学第一附属中学模拟)对任意两个非零的平面向量α和β，定义
α⊗β＝.若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且a⊗b和b⊗a都在集合{中，求
a⊗b的值．
解：由题意得a⊗b＝＝∈{，
b⊗a＝∈{.
设m∈Z，t∈Z，令a⊗b＝，b⊗a＝，
由|a|≥|b|>0，得≥1,0<≤1，所以m≥t>0，
又θ∈，所以cos2θ＝∈，
所以mt∈(2,4)，又m∈Z，t∈Z，所以mt∈Z，mt＝3.
因为m≥t>0，所以所以a⊗b＝＝.
高分推荐题
15．在2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪
花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线
称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在 1904年研究的一种分形曲线．
如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后
以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图
1中正三角形的边长为3，则图3中OM·ON的值为________．
图1 图2 图3
解析： 在题图3中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则|OM|＝2，
OM＝＝(1，)，
|MP|＝，即MP＝，
|PN|＝，由题意知PN∥OM，
所以PN＝，所以ON＝OM＋MP＋PN＝，
所以OM·ON＝1×＋×＝6.
答案：6
