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限时跟踪检测(十一) 指数函数
一、单项选择题
1．(2022·北京卷)已知函数f(x)＝，则对任意实数x，有( )
A．f(－x)＋f(x)＝0
B．f(－x)－f(x)＝0
C．f(－x)＋f(x)＝1
D．f(－x)－f(x)＝
2．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1与g(x)＝21－x的图象关于( )
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
3．(2024·陕西汉中月考)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函
数g(x)＝ax＋b的图象是( )
4．若函数y＝ax(a>0，且a≠1，x∈[－1,1])的最大值与最小值之和为3，则a2＋a－2＝(
)
A．9 B．7
C．6 D．5
5．(2024·河北武邑中学调研)函数y＝e－|x－1|的大致图象是( )
6．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔漏出，t min后剩余的
细沙量(单位：cm3)为y＝ae－bt.6 min后发现容器内还有一半的细沙，要使容器内的细沙只有
开始时的八分之一，则需再经过( )
A．6 min B．12 min
C．18 min D．32 min
7．(2024·山东济宁模拟)已知函数f(x)＝，若a＝f(20.3)，b＝f(0.20.3)，c＝f(log 2)，则
0.3
a，b，c的大小关系为( )
A．b<a<c B．c<b<a
C．b<c<a D．c<a<b
8．(2024·湖北宜昌模拟)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实
数m的取值范围是( )
A．(－2,1) B．(－4,3)C．(－3,4) D．(－1,2)
二、多项选择题
9．(2024·广东梅州模拟)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的
是( )
A．a＝b＝0 B．a<b<0
C．0<a<b D．0<b<a
10．关于函数f(x)＝的性质，下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)的定义域为R
B．函数f(x)的值域为(0，＋∞)
C．方程f(x)＝x有且只有一个实根
D．函数f(x)的图象是中心对称图形
三、填空题与解答题
11．(2024·山东菏泽模拟)写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数________．
①当xx≥0时，f(x＋x)＝f(x)·f(x)；②f(x)为偶函数．
1 2 1 2 1 2
12．(2024·安徽皖北七校联考)已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝
max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．
2
ax ＋2x＋3
13．(2024·福建福州质检)若函数f(x)＝ 的值域是，则f(x)的单调递增区间是
________．
14．(2024·山东潍坊模拟)已知函数f(x)＝1－(a>0，且a≠1)且f(0)＝0.
(1)求a的值；
(2)若函数g(x)＝(2x＋1)f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围；
(3)当x∈(0,1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围．
高分推荐题
15．(2024·江苏徐州模拟)已知0<a<b<1，则( )
A．(1－a) >(1－a)b
B．(1－a)b>(1－a)
C．(1＋a)a>(1＋b)b
D．(1－a)a>(1－b)b
解析版
一、单项选择题1．(2022·北京卷)已知函数f(x)＝，则对任意实数x，有( )
A．f(－x)＋f(x)＝0
B．f(－x)－f(x)＝0
C．f(－x)＋f(x)＝1
D．f(－x)－f(x)＝
解析：函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝＝，所以f(－x)＋f(x)＝＋＝1.故选C．
答案：C
2．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1与g(x)＝21－x的图象关于( )
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
解析：因为f(－x)＝2－x＋1＝g(x)，所以f(x)，g(x)的图象关于y轴对称，故选A．
答案：A
3．(2024·陕西汉中月考)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函
数g(x)＝ax＋b的图象是( )
解析：易知函数f(x)的两个零点为a，b，由图象可知b＜－1，且0＜a＜1，所以函数
g(x)＝ax＋b是减函数，g(0)＝1＋b<0，所以选项A符合，故选A．
答案：A
4．若函数y＝ax(a>0，且a≠1，x∈[－1,1])的最大值与最小值之和为3，则a2＋a－2＝(
)
A．9 B．7
C．6 D．5
解析：∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上单调，
且当x＝－1时，y＝a－1；当x＝1时，y＝a，∴a－1＋a＝3，两边同时平方得a－2＋2＋
a2＝9，∴a－2＋a2＝7.
答案：B
5．(2024·河北武邑中学调研)函数y＝e－|x－1|的大致图象是( )
解析：当x＝1时，y＝1，排除C，D；当x>1时，y＝e－(x－1)单调递减，排除A．
答案：B
6．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔漏出，t min后剩余的细沙量(单位：cm3)为y＝ae－bt.6 min后发现容器内还有一半的细沙，要使容器内的细沙只有
开始时的八分之一，则需再经过( )
A．6 min B．12 min
C．18 min D．32 min
解析：当t＝0时，y＝a；当t＝6时，y＝ae－6b＝a，所以e－6b＝.若容器内的细沙只有开
始时的八分之一，则y＝ae－bt＝a，所以e－bt＝＝(e－6b)3＝e－18b，则t＝18，18－6＝12(min)，
所以再经过12 min，容器内的细沙只有开始时的八分之一．故选B．
答案：B
7．(2024·山东济宁模拟)已知函数f(x)＝，若a＝f(20.3)，b＝f(0.20.3)，c＝f(log 2)，则
0.3
a，b，c的大小关系为( )
A．b<a<c B．c<b<a
C．b<c<a D．c<a<b
解析：f(x)＝＝＝1－，因为y＝ex在R上单调递增，所以y＝在R上单调递减，所以
f(x)＝1－在 R 上单调递增．又因为 20.3>20＝1,0<0.20.3<0.20＝1，log 2<log 1＝0，所以
0.3 0.3
f(20.3)>f(0.20.3)>f(log 2)，即a>b>c.故选B．
0.3
答案：B
8．(2024·湖北宜昌模拟)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实
数m的取值范围是( )
A．(－2,1) B．(－4,3)
C．(－3,4) D．(－1,2)
解析：原不等式可变形为m2－m<x，因为函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数，所以x≥－
1＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m<x恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2.
答案：D
二、多项选择题
9．(2024·广东梅州模拟)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的
是( )
A．a＝b＝0 B．a<b<0
C．0<a<b D．0<b<a
解析：如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.故选ABD．
答案：ABD
10．关于函数f(x)＝的性质，下列说法中正确的是( )A．函数f(x)的定义域为R
B．函数f(x)的值域为(0，＋∞)
C．方程f(x)＝x有且只有一个实根
D．函数f(x)的图象是中心对称图形
解析：函数f(x)＝的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以
函数f(x)＝在定义域内单调递减，所以函数的值域为，所以方程f(x)＝x只有一个实根，所
以B不正确，C正确；因为f(x＋1)＋f(－x)＝＋＝＋＝，所以f(x)关于点对称，所以D正确．
故选ACD．
答案：ACD
三、填空题与解答题
11．(2024·山东菏泽模拟)写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数________．
①当xx≥0时，f(x＋x)＝f(x)·f(x)；②f(x)为偶函数．
1 2 1 2 1 2
解析：若满足①对任意的xx≥0，有f(x ＋x)＝f(x)f(x)成立，则对应的函数为指数函
1 2 1 2 1 2
数y＝ax的形式；若满足②f(x)为偶函数，只需要将x加绝对值即可，所以满足①②两个条
件的函数满足f(x)＝a|x|(a>0，且a≠1)即可．
答案：f(x)＝2|x|(答案不唯一)
12．(2024·安徽皖北七校联考)已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝
max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．
解析：由题意知，f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}＝当x≥1时，f(x)≥e，且当x＝1时，取得最小值
e；当x<1时，f(x)>e.故f(x)的最小值为f(1)＝e.
答案：e
2
ax ＋2x＋3
13．(2024·福建福州质检)若函数f(x)＝ 的值域是，则f(x)的单调递增区间是
________．
解析：令g(x)＝ax2＋2x＋3，因为f(x)的值域是，
所以g(x)的值域是[2，＋∞)．
因此有解得a＝1，
2
x ＋2x＋3
所以g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝ .
因为g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
14．(2024·山东潍坊模拟)已知函数f(x)＝1－(a>0，且a≠1)且f(0)＝0.
(1)求a的值；
(2)若函数g(x)＝(2x＋1)f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围；
(3)当x∈(0,1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)对于函数f(x)＝1－，
由f(0)＝1－＝0，得a＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝1－＝1－.∵函数g(x)＝(2x＋1)f(x)＋k＝2x＋1－2＋k＝2x－1＋k有零点，
∴函数y＝2x的图象和直线y＝1－k有交点，
∴1－k>0，即k∈(－∞，1)．
(3)∵当x∈(0,1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，
即1－>m·2x－2恒成立，
亦即m<－恒成立，
令t＝2x，则t∈(1,2)，
且m<－＝＝＋恒成立．
由于y＝＋在(1,2)上单调递减，
∴＋>＋＝，∴m≤.
故实数m的取值范围为.
高分推荐题
15．(2024·江苏徐州模拟)已知0<a<b<1，则( )
A．(1－a) >(1－a)b
B．(1－a)b>(1－a)
C．(1＋a)a>(1＋b)b
D．(1－a)a>(1－b)b
解析：因为0<a<1，所以0<1－a<1，所以y＝(1－a)x是减函数，又0<b<1，所以>b，
b>，所以(1－a) <(1－a)b，(1－a)b<(1－a) ，所以A，B均错误；又1<1＋a<1＋b，所以(1
＋a)a<(1＋b)a<(1＋b)b，所以C错误；因为0<1－b<1－a<1，所以(1－a)a>(1－a)b>(1－b)b，
所以D正确．
答案：D
