限时跟踪检测(三十五) 数列的概念及简单表示
一、单项选择题
1．在数列1,2，，，，…中，2是这个数列的( )
A．第16项 B．第24项
C．第26项 D．第28项
2．(2024·黑龙江牡丹江月考)在数列{a}中，对任意m，n∈N*，恒有a ＝a ＋a ，若
n m＋n m n
a＝，则a＝( )
1 7
A. B. C. D.
3．观察下列各图，并阅读图形下面的文字．像这样，10条直线相交，交点的个数最
多是( )
…
A．40 B．45
C．50 D．55
4．(2024·河北衡水模拟)若数列{a}满足a＝2，a ＝a(a>0)，则a＝( )
n 1 n＋1 n n
A．22n－1 B．2n－1
C．4n－1 D．2n
5．(2024·山西太原模拟)已知数列{a}满足a ＝2a ＝1，且a a ＝a(n≥2)，则＝(
n 2 1 n＋1 n－1 n
)
A. B. C. D.
6．观察后面的算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3，2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第(
)
A．22项 B．23项
C．24项 D．25项
7．(2024·四川成都联考)若等差数列{a}中的a ，a 是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两
n 3 2 017
个不同的极值点，则loga 的值为( )
1 010
A．－2 B．－
C．2 D.
二、多项选择题
8．“克拉茨猜想”又称“3n＋1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数
学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇
数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数
m经过6次运算后得到1，则m的值可以为( )
A．10 B．32
C．64 D．96
9．(2024·山东潍坊模拟)已知数列{a}满足a ＝若对任意的n∈N*都有a<a 成立，则
n n n n＋1
整数a的值可以为( )A．1 B．2
C．3 D．4
三、填空题与解答题
10．(2024·河北保定模拟)若数列{a}满足a ＋a ＋…＋a ＝3n＋1，n∈N*，则a ＝
n 1 2 n n
________.
11．已知数列{a}中，前n项和为S，且S＝a，则的最大值为________．
n n n n
12．(2024·河北衡水武邑中学模拟)我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列
满足以下两个条件：
①所有的奇数项满足a <a ，所有的偶数项满足a <a ；
2n－1 2n＋1 2n 2n＋2
②任意相邻的两项a ，a 满足a <a .
2n－1 2n 2n－1 2n
根据上面的信息完成下面的问题：
(1)数列1,2,3,4,5,6________“有趣数列”(填“是”或“不是”)；
(2)若a＝n＋(－1)n，则数列{a}________“有趣数列”(填“是”或“不是”)．
n n
13．在①na －(n＋1)a ＝n(n＋1)；②S ＝2n2－1这两个条件中任选一个补充在下面
n＋1 n n
的横线上，并解答．
若数列{a}的前n项和为S，a＝1，且数列{a}满足________．
n n 1 n
(1)求a，a；
2 3
(2)求数列{a}的通项公式．
n
高分推荐题
14．在数列{a}中，已知a ＝1，n2a －S ＝n2a －S (n≥2，n∈N*)，记b ＝，T 为数
n 1 n n n－1 n－1 n n
列{b}的前n项和，则T ＝________.
n 2 025
解析版
一、单项选择题
1．在数列1,2，，，，…中，2是这个数列的( )
A．第16项 B．第24项
C．第26项 D．第28项
解析：设题中数列为{a}，则a ＝1＝，a ＝2＝，a ＝，a ＝，a ＝，…，所以a ＝.令
n 1 2 3 4 5 n
＝2＝，解得n＝26.故选C.
答案：C
2．(2024·黑龙江牡丹江月考)在数列{a}中，对任意m，n∈N*，恒有a ＝a ＋a ，若
n m＋n m n
a＝，则a＝( )
1 7
A. B. C. D.
解析：因为a ＝a ＋a，a＝，
m＋n m n 1
所以a＝2a＝，a＝2a＝，
2 1 4 2
a＝a＋a＝，a＝a＋a＝.故选D.
3 1 2 7 3 4答案：D
3．观察下列各图，并阅读图形下面的文字．像这样，10条直线相交，交点的个数最
多是( )
…
A．40 B．45
C．50 D．55
解析：方法一：最多交点个数的规律是1,1＋2,1＋2＋3，…，1＋2＋3＋…＋n，….
∴10条直线交点个数最多是1＋2＋…＋9＝45.
方法二：设n条相交直线的交点个数最多为a(n≥2)，则累加得a －a＝2＋3＋…＋9，
n 10 2
∴a ＝1＋2＋3＋…＋9＝45.
10
答案：B
4．(2024·河北衡水模拟)若数列{a}满足a＝2，a ＝a(a>0)，则a＝( )
n 1 n＋1 n n
A．22n－1 B．2n－1
C．4n－1 D．2n
解析：因为数列{a}满足a＝2，a ＝a(a>0)，
n 1 n＋1 n
所以log a ＝2log a ＝2，
2 n＋1 2 n
所以{log a}是公比为2的等比数列，
2 n ⇒
所以log a＝2n－1log a a＝22n－1.
2 n 2 1 n
答案：A
⇒
5．(2024·山西太原模拟)已知数列{a}满足a ＝2a ＝1，且a a ＝a(n≥2)，则＝(
n 2 1 n＋1 n－1 n
)
A. B. C. D.
解析：由a a ＝a(n≥2)，得a ＝＝，＝＝a，所以a ＝a，则数列{a}是周期为
n＋1 n－1 n n＋6 n n＋6 n n
6的周期数列，因为a＝2a＝1，所以a＝2，a＝2，所以a ＝a ＝a＝2，所以＝.
2 1 3 4 2 020 336×6＋4 4
答案：C
6．观察后面的算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3，2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第(
)
A．22项 B．23项
C．24项 D．25项
解析：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和
为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以是第24项，
故选C.
答案：C
7．(2024·四川成都联考)若等差数列{a}中的a ，a 是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两
n 3 2 017
个不同的极值点，则loga 的值为( )
1 010A．－2 B．－
C．2 D.
解析：由题易得f′(x)＝3x2－12x＋4，
因为a，a 是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，
3 2 017
所以a，a 是方程3x2－12x＋4 ＝0的两个不等实数根，所以a＋a ＝4.
3 2 017 3 2 017
又数列{a}为等差数列，所以a＋a ＝2a ，
n 3 2 017 1 010
即a ＝2，从而log a ＝log 2＝－，故选B.
1 010 1 010
\f(1,4 \f(1,4
答案：B
二、多项选择题
8．“克拉茨猜想”又称“3n＋1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数
学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇
数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数
m经过6次运算后得到1，则m的值可以为( )
A．10 B．32
C．64 D．96
解析：如果正整数m按照上述规则经过6次运算得到1，
则经过5次运算后得到的一定是2，
经过4次运算后得到的一定是4，
经过3次运算后得到的为8或1(不合题意)，
经过2次运算后得到的一定是16.
经过1次运算后得到的是5或32.
所以开始时的数为10或64.
所以正整数m的值为10或64.故选AC.
答案：AC
9．(2024·山东潍坊模拟)已知数列{a}满足a ＝若对任意的n∈N*都有a<a 成立，则
n n n n＋1
整数a的值可以为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为对任意的n∈N*都有a<a 成立，所以数列是递增数列，
n n＋1
所以解得1<a<4.故选BC.
答案：BC
三、填空题与解答题
10．(2024·河北保定模拟)若数列{a}满足a ＋a ＋…＋a ＝3n＋1，n∈N*，则a ＝
n 1 2 n n
________.
解析：当n＝1时，a＝4，∴a＝12；
1 1
当n≥2时，∵a＋a＋…＋a＝3n＋1，n∈N*，
1 2 n
∴a＋a＋…＋a ＝3(n－1)＋1，
1 2 n－1
两式相减，得a＝3，
n∴a＝3n＋1(n≥2)．
n
∵a＝12不满足上式，
1
∴a＝
n
答案：
11．已知数列{a}中，前n项和为S，且S＝a，则的最大值为________．
n n n n
解析：∵S ＝a ，∴当n≥2时，a ＝S －S ＝a －a ，可化为＝＝1＋，由函数y＝在
n n n n n－1 n n－1
区间(1，＋∞)上单调递减，可得当n＝2时，取得最大值2.∴的最大值为3.
答案：3
12．(2024·河北衡水武邑中学模拟)我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列
满足以下两个条件：
①所有的奇数项满足a <a ，所有的偶数项满足a <a ；
2n－1 2n＋1 2n 2n＋2
②任意相邻的两项a ，a 满足a <a .
2n－1 2n 2n－1 2n
根据上面的信息完成下面的问题：
(1)数列1,2,3,4,5,6________“有趣数列”(填“是”或“不是”)；
(2)若a＝n＋(－1)n，则数列{a}________“有趣数列”(填“是”或“不是”)．
n n
解析：(1)若数列为1,2,3,4,5,6，则该数列为递增数列，满足“有趣数列”的定义，故
数列1,2,3,4,5,6是“有趣数列”．
(2)若a ＝n＋(－1)n，则a ＝2n－1－，a ＝2n＋1－，a ＝2n＋，a ＝2n＋2＋.
n 2n－1 2n＋1 2n 2n＋2
所以a －a ＝－2－＋＝－2－<0，故a <a .又a －a ＝－2＋＝－2＋≤－2＋
2n－1 2n＋1 2n－1 2n＋1 2n 2n＋2
<0，故a <a .因为a －a ＝2n－1－－2n－＝－1－－<0，故a <a .综上，数列{a}
2n 2n＋2 2n－1 2n 2n－1 2n n
是“有趣数列”．
答案：(1)是 (2)是
13．在①na －(n＋1)a ＝n(n＋1)；②S ＝2n2－1这两个条件中任选一个补充在下面
n＋1 n n
的横线上，并解答．
若数列{a}的前n项和为S，a＝1，且数列{a}满足________．
n n 1 n
(1)求a，a；
2 3
(2)求数列{a}的通项公式．
n
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)选择①：a－2a＝1×2，则a＝4.
2 1 2
2a－3a＝2×3，则a＝9.
3 2 3
选择②：a＝S－S＝2×22－1－1＝6.
2 2 1
a＝S－S＝2×32－1－2×22＋1＝10.
3 3 2
(2)选择①：由na －(n＋1)a＝n(n＋1)，
n＋1 n
得－＝1，
所以＝－＋－＋…＋－a＋a＝n－1＋1＝n，
1 1
所以a＝n2.
n
选择②：当n≥2时，a＝S－S ＝2n2－1－[2(n－1)2－1]＝4n－2；
n n n－1
当n＝1时，a＝S＝1，不符合上式，故{a}的通项公式为a＝
1 1 n n
高分推荐题14．在数列{a}中，已知a ＝1，n2a －S ＝n2a －S (n≥2，n∈N*)，记b ＝，T 为数
n 1 n n n－1 n－1 n n
列{b}的前n项和，则T ＝________.
n 2 025
解析：由n2a－S＝n2a －S (n≥2，n∈N*)，
n n n－1 n－1
得n2a－(S－S )＝n2a ，
n n n－1 n－1
所以(n2－1)a＝n2a ，
n n－1
所以＝×.
令c＝，则c＝c ×，
n n n－1
所以＝.
由累乘法得＝，
又c＝a＝1，
1 1
所以c＝，所以＝，
n
所以a＝，
n
所以b＝＝＝2×，
n
所以T ＝2×＝2×＝.
2 025
答案：
