限时跟踪检测(五) 二次函数及其性质
一、单项选择题
1．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．1
2．已知m＞2，点(m－1，y)，(m，y)，(m＋1，y)都在二次函数y＝x2－2x的图象上，
1 2 3
则( )
A．y＜y＜y B．y＜y＜y
1 2 3 3 2 1
C．y＜y＜y D．y＜y＜y
1 3 2 2 1 3
3．函数y＝1－|x－x2|的图象大致是( )
4．(2024·河北沧州七校联考)已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)＝(
)
A．x2－2x＋1 B．x2＋2x＋1
C．2x2－2x＋1 D．2x2＋2x－1
5．若函数f(x)＝x2－3mx＋18(m∈R)在(0,3)上不单调，则m的取值范围为( )
A．[0,2] B．(0,2)
C．(－∞，0] D．[2，＋∞)
6．(2024·湖南长沙一中模拟)已知函数f(x)＝2x2－mx－3m，则“m＞2”是“f(0)＜0对
x∈[1,3]恒成立”的( )
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
7．一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象
大致是( )
8．(2024·河北保定模拟)对于任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大
于0，则x的取值范围是( )
A．{x|1<x<3}
B．{x|x<1或x>3}
C．{x|1<x<2}
D．{x|x<1或x>2}
9．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(x＋2)是偶函数，则下列大小关系可能正确的是()
A．f(2)＜f＝c
B．f＜f(x)＜c
C．f(2)＞f＞c
D．f＜f(2)＝c
二、多项选择题
10．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c
的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．”根据现有信息，
题中的二次函数可能具有的性质是( )
A．在x轴上截得的线段的长度是2
B．与y轴交于点(0,3)
C．顶点是(－2，－2)
D．过点(3,0)
11．已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x，x，以下结论正确的是( )
1 2
A．a＜1
B．若xx≠0，则＋＝
1 2
C．f(－1)＝f(3)
D．函数y＝f(|x|)有四个零点
三、填空题与解答题
12．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取
值范围为____________．
13．定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x(a<x<b)，满足f(x)
0 0 0
＝，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x 是它的一个均值点，如y＝x4是[－
0
1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值
函数，则实数m的取值范围是________．
14．(2024·辽宁沈阳模拟)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．
高分推荐题
15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间[t，t＋4]内的值域为[m，M]，对于任意实
数t，都有M－m≥4，则实数a的取值范围是( )
A．a≥1 B．a≤1
C．a≥2 D．a≤2
解析版
一、单项选择题
1．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为( )
A．－3 B．－2C．－1 D．1
解析：函数f(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1的大致图象如图所示．
由图象知，在[3，＋∞)上，f(x) ＝f(3)＝32－2×3＋m＝1，解得m＝－2.故选B．
min
答案：B
2．已知m＞2，点(m－1，y)，(m，y)，(m＋1，y)都在二次函数y＝x2－2x的图象上，
1 2 3
则( )
A．y＜y＜y B．y＜y＜y
1 2 3 3 2 1
C．y＜y＜y D．y＜y＜y
1 3 2 2 1 3
解析：∵m＞2，∴m－1＞1.
∴三点均在对称轴的右边．
∵函数在[1，＋∞)上单调递增，m＋1＞m＞m－1，∴y＜y＜y.
1 2 3
答案：A
3．函数y＝1－|x－x2|的图象大致是( )
解析：当0≤x≤1时，y＝x2－x＋1＝2＋，又当x＞1或x＜0时，y＝－x2＋x＋1＝－2＋，
因此，结合图象，选项C正确．
答案：C
4．(2024·河北沧州七校联考)已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)＝(
)
A．x2－2x＋1 B．x2＋2x＋1
C．2x2－2x＋1 D．2x2＋2x－1
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，
由f(x)＝x2＋f′(x)－1，得
ax2＋bx＋c＝x2＋2ax＋(b－1)，
所以解得
所以f(x)＝x2＋2x＋1.
答案：B
5．若函数f(x)＝x2－3mx＋18(m∈R)在(0,3)上不单调，则m的取值范围为( )
A．[0,2] B．(0,2)
C．(－∞，0] D．[2，＋∞)
解析：函数f(x)＝x2－3mx＋18(m∈R)图象的对称轴为直线x＝，∵函数f(x)＝x2－3mx＋18(m∈R)在(0,3)上不单调，∴0＜＜3，∴0＜m＜2，∴m的取值范围为(0,2)．故选B．
答案：B
6．(2024·湖南长沙一中模拟)已知函数f(x)＝2x2－mx－3m，则“m＞2”是“f(0)＜0对
x∈[1,3]恒成立”的( )
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若f(x)＜0对x∈[1,3]恒成立，
则
解得m＞3，
又“{m|m＞3}”是“{m|m＞2}”的真子集，所以“m＞2”是“f(x)＜0对x∈[1,3]恒成立”
的必要不充分条件．
答案：C
7．一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象
大致是( )
解析：若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口
向上，故可排除A，D；由直线可知a＞0，b＞0，从而－＜0，而二次函数的图象的对称轴
在y轴的右侧，故应排除B．故选C．
答案：C
8．(2024·河北保定模拟)对于任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大
于0，则x的取值范围是( )
A．{x|1<x<3}
B．{x|x<1或x>3}
C．{x|1<x<2}
D．{x|x<1或x>2}
解析：由题意知，关于a的一次函数y＝a(x－2)＋x2－4x＋4的值大于0在a∈[－1,1]上
恒成立，只需
解得 即x<1或x>3，故选B．
答案：B
9．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(x＋2)是偶函数，则下列大小关系可能正确的是(
)
A．f(2)＜f＝c
B．f＜f(x)＜cC．f(2)＞f＞c
D．f＜f(2)＝c
解析：因为f(x＋2)是偶函数，所以直线x＝2是y＝f(x)图象的对称轴．f＝a·＋b·＋c＝
c，则B，C，D均不可能成立，当a＞0时，f(2)是最小值，因此f(2)＜f＝c成立．故选A．
答案：A
二、多项选择题
10．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c
的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．”根据现有信息，
题中的二次函数可能具有的性质是( )
A．在x轴上截得的线段的长度是2
B．与y轴交于点(0,3)
C．顶点是(－2，－2)
D．过点(3,0)
解析：由已知，得
解得
所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－
2)，故选ABD．
答案：ABD
11．已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x，x，以下结论正确的是( )
1 2
A．a＜1
B．若xx≠0，则＋＝
1 2
C．f(－1)＝f(3)
D．函数y＝f(|x|)有四个零点
解析：易知二次函数对应的二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a＝4－4a＞0，解得a＜
1，故A正确；由根与系数的关系，得x＋x＝2，xx＝a，＋＝＝，故B正确；因为f(x)图
1 2 1 2
象的对称轴为x＝1，点(－1，f(－1))，(3，f(3))关于对称轴对称，故C正确；当a＜0时，y
＝f(|x|)只有两个零点，故D不正确．
答案：ABC
三、填空题与解答题
12．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取
值范围为____________．
解析：函数f(x)＝x2＋2ax＋3的图象的对称轴为直线x＝－＝－a，要使f(x)在[－4，6]
上为单调函数，只需－a≤－4或－a≥6，解得a≥4或a≤－6.
答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)
13．定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x(a<x<b)，满足f(x)
0 0 0
＝，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x 是它的一个均值点，如y＝x4是[－
0
1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值
函数，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数，设x 为均值点，所以＝
0m＝f(x)，即关于x 的方程－x＋mx ＋1＝m在(－1,1)内有实数根，解方程得x ＝1或x ＝m
0 0 0 0 0
－1.所以必有－1<m－1<1，即0<m<2，所以实数m的取值范围是(0,2)．
答案：(0,2)
14．(2024·辽宁沈阳模拟)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上单调递减，∴f(x) ＝f(1)＝－2.
min
(2)当a＞0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向上，且对称轴为直线x＝.
①当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0,1]内，
∴f(x)在上单调递减，在上单调递增．
∴f(x) ＝f＝－＝－.
min
②当＞1，即0＜a＜1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0,1]的右侧，
∴f(x)在[0,1]上单调递减．
∴f(x) ＝f(1)＝a－2.
min
(3)当a＜0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向下，且对称轴为直线x＝＜0，在y轴的左侧，
∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上单调递减．
∴f(x) ＝f(1)＝a－2.
min
综上所述，f(x) ＝
min
高分推荐题
15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间[t，t＋4]内的值域为[m，M]，对于任意实
数t，都有M－m≥4，则实数a的取值范围是( )
A．a≥1 B．a≤1
C．a≥2 D．a≤2
解析：由题意可知，对于任意实数t，都有M－m≥4，则满足(M－m) ≥4，根据二次函
min
数的性质可得，当[t，t＋4]关于对称轴对称，即t＋2＝－时，M－m取得最小值，根据题意，
由二次函数的性质可得，将f(x)的顶点平移到原点可得g(x)＝ax2，且不影响M－m的变化，
此时要使M－m取得最小值，则t＋2＝0，即t＝－2，则(M－m) ＝g(2)－g(0)＝4a≥4，解
min
得a≥1.
答案：A
