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限时跟踪检测(五十九) 定点、定值问题
1．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(－1,0)，F(1，0)，点M满足|MF |＋|MF |＝2.
1 2 1 2
记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点P为x轴上的动点，经过F 且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，
1
且|PA|＝|PB|，证明：为定值．
2．已知点F ，F 分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点A为双曲线C
1 2
的右顶点，已知|FA|＝3－，且点F 到一条渐近线的距离为2.
2 2
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝mx＋n与双曲线C交于两点M，N，直线OM，ON的斜率分别记为
k ，k ，且＋＝，求证直线l过定点，并求出定点坐标．
OM ON
3．(2024·河北张家口模拟)已知⊙O ：(x＋1)2＋y2＝1，⊙O ：(x－1)2＋y2＝9，⊙M与
1 2
⊙O 外切，与⊙O 内切．
1 2
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若A，B是点M的轨迹上的两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k ，
1
k，直线AB的斜率存在，△AOB的面积为，证明：k·k 为定值．
2 1 2
4．(2024·河北保定模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，左、右焦点分别是
F，F，其离心率为，圆F：(x＋c)2＋y2＝1与圆F：(x－c)2＋y2＝9相交，两圆交点在椭圆
1 2 1 2
E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l不经过点P(0,1)且与椭圆E相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为－2，证明：直线l过定点．
高分推荐题
5．(2024·安徽黄山第二次质检)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，F为焦点，若圆E：(x－
1)2＋y2＝16与抛物线C交于两点A，B，且|AB|＝4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点P为圆E上任意一点，且过点P可以作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分
别为M，N.求证：|MF|·|NF|恒为定值．
解析版
1．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(－1,0)，F(1，0)，点M满足|MF |＋|MF |＝2.
1 2 1 2
记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点P为x轴上的动点，经过F 且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，
1
且|PA|＝|PB|，证明：为定值．(1)解：由椭圆的定义，知M的轨迹为以F(－1，0)，F(1,0)为焦点的椭圆，且2a＝
1 2
2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，所以C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设直线l的方程为y＝k(x＋1)，k≠0，则联立得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
Δ>0.
设A(x，y)，B(x，y)，则x＋x＝－，xx＝，y＋y＝k(x＋x)＋2k＝，
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
则|AB|＝·
＝，
AB的中点的坐标为，
所以AB的垂直平分线为y－＝－，
令y＝0，得x＝－，
所以P，|FP|＝1－＝，
1
所以＝＝2.
2．已知点F ，F 分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点A为双曲线C
1 2
的右顶点，已知|FA|＝3－，且点F 到一条渐近线的距离为2.
2 2
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝mx＋n与双曲线C交于两点M，N，直线OM，ON的斜率分别记为
k ，k ，且＋＝，求证直线l过定点，并求出定点坐标．
OM ON
(1)解：由题知，F(c,0)，其中一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0.
2
所以
解得a＝，c＝3，b＝2，所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)证明：设M(x，y)，N(x，y)，将y＝mx＋n代入－＝1，
1 1 2 2
整理，得(5m2－4)x2＋10mnx＋5n2＋20＝0.
由Δ＝100m2n2－4(5m2－4)(5n2＋20)＝80(n2－5m2＋4)>0，得n2－5m2＋4>0.
则x＋x＝，xx＝.
1 2 1 2
因为＋＝＋＝
＝
＝
＝
＝，
所以＝，得n2＝4m2，即n＝±2m，
所以直线l的方程为y＝m(x±2)．
所以当n2－5m2＋4>0，且n＝2m时，直线l过定点(－2,0)；
当n2－5m2＋4>0，且n＝－2m时，直线l过定点(2,0)．
3．(2024·河北张家口模拟)已知⊙O ：(x＋1)2＋y2＝1，⊙O ：(x－1)2＋y2＝9，⊙M与
1 2
⊙O 外切，与⊙O 内切．
1 2
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若A，B是点M的轨迹上的两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k ，
1
k，直线AB的斜率存在，△AOB的面积为，证明：k·k 为定值．
2 1 2
(1)解：设⊙M的半径为r，则|MO |＝r＋1，|MO |＝3－r，
1 2|MO |＋|MO |＝4，故点M的轨迹与椭圆有关，2a＝4,2c＝2，
1 2
又由椭圆定义可知，点M的轨迹方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)证明：设A(x ，y)，B(x ，y)，直线AB的方程为y＝kx＋t，将y＝kx＋t代入＋＝
1 1 2 2
1(x≠－2)整理得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－12＝0，
有x＋x＝－，xx＝，
1 2 1 2
|AB|＝|x－x|＝·，
1 2
原点O到直线AB的距离为d＝，
∴S
△AOB
＝|AB|·d＝＝⇒(3＋4k2－2t2)2＝0，
得3＋4k2＝2t2，即k2＝，k·k＝＝
1 2
＝
＝
＝.
将k2＝代入得k·k＝－.
1 2
4．(2024·河北保定模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，左、右焦点分别是
F，F，其离心率为，圆F：(x＋c)2＋y2＝1与圆F：(x－c)2＋y2＝9相交，两圆交点在椭圆
1 2 1 2
E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l不经过点P(0,1)且与椭圆E相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率
之和为－2，证明：直线l过定点．
(1)解：由题意得e＝＝，由圆F：(x＋c)2＋y2＝1与圆F：(x－c)2＋y2＝9相交，两圆交
1 2
点在椭圆E上，可知2a＝1＋3，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝1，c＝，所以椭圆E的方程
为＋y2＝1.
(2)证明：①当直线l的斜率不存在时，设直线l：x＝t，由题意可知t≠0，且|t|<2.
设A，B，
因为直线PA，PB的斜率之和为－2，
所以＋＝－2，化简得t＝1，所以直线l的方程为x＝1.
②当直线AB的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m(m≠1)，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立消去y，化简得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
x＋x＝－，xx＝，
1 2 1 2
由题意可得Δ＝16(4k2—m2＋1)>0，
因为直线PA，PB的斜率之和为－2，
所以＋＝－2，
所以＋＝－2，
所以＝－2，
所以(2k＋2)·＋(m－1)·＝0(m≠1)，化简整理得k＝－m－1，
当且仅当Δ＝16[4(m＋1)2－m2＋1]＝16(3m2＋8m＋5)>0，即m<－或m>－1且m≠1时符
合题意，
所以直线AB的方程为y＝(－m－1)x＋m，
即y＋1＝(－m－1)(x－1)，故直线l过定点(1，－1)．综合①②可得，直线l过定点(1，－1)．
高分推荐题
5．(2024·安徽黄山第二次质检)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，F为焦点，若圆E：(x－
1)2＋y2＝16与抛物线C交于两点A，B，且|AB|＝4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点P为圆E上任意一点，且过点P可以作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分
别为M，N.求证：|MF|·|NF|恒为定值．
(1)解：由题意可知E(1,0)，半径r＝4，
由圆的圆心以及抛物线的焦点均在坐标轴x轴上，及对称性可知AB⊥x轴于点C，
在直角三角形ACE中，|CE|＝＝＝2，
因此|OC|＝|OE|＋|CE|＝3，故A(3，2)，将其代入抛物线方程中得12＝6p p＝2，
故抛物线方程为y2＝4x.
⇒
(2)证明：令P(x，y)，M(x，y)，N(x，y)，
0 0 1 1 2 2
抛物线在点M处的切线方程为x－x＝m(y－y)，
1 1
与y2＝4x联立得y2－4my＋4my－4x＝0①，
1 1
由相切时Δ＝16m2－4(4my－4x)＝0得4my－4x＝4m2，
1 1 1 1
代入①得y＝2m，
1
故在点M处的切线方程为x－x＝(y－y)，即为yy＝2x＋2x.
1 1 1 1
同理可得点N处的切线方程为yy＝2x＋2x.
2 2
而两切线交于点P(x，y)，
0 0
所以有yy＝2x＋2x，yy＝2x＋2x，
0 1 0 1 0 2 0 2
则直线MN的方程为2x－yy＋2x＝0.
0 0
由得y2－2yy＋4x＝0，所以y＋y＝2y，yy＝4x，
0 0 1 2 0 1 2 0
于是|MF|·|NF|＝(x＋1)(x＋1)＝＋＋＋1＝x＋＋1＝(x－1)2＋y，
1 2 0
又点P(x，y)在圆E：(x－1)2＋y2＝16上，
0 0所以(x－1)2＋y＝16，即|MF|·|NF|＝16.
0
