文档内容
限时跟踪检测(三十二) 平面向量基本定理及坐标表示
一、单项选择题
1．如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，AP＝xAC＋yBQ，则
x等于( )
A. B.
C. D.
2．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|＝( )
A．3 B．4
C．4 D．5
3．已知点A(3,2)，B(5,1)，则与AB方向相反的单位向量为( )
A. B.
C. D.
4．(2024·广东汕头调研)如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，
且BF＝3FE，记a＝BA，b＝BC，则CF＝( )
A.a＋b B.a－b
C．－a＋b D.a－b
5．(2024·河北衡水中学调研)已知向量a＝，b＝(cos α，1)，α∈，且a∥b，则sin＝(
)
A．－ B.
C. D．－
6．(2024·云南大理模拟)在△ABC中，D是直线AB上的点．若2BD＝CB＋λCA，记
△ACB的面积为S，△ACD的面积为S，则等于( )
1 2
A. B.
C. D.
7．(2024·福建泉州模拟)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量OP绕点O按
逆时针方向旋转后得向量OQ，则点Q的坐标是( )
A．(－7，－) B．(－7，)
C．(－4，－2) D．(－4，2)
二、多项选择题
8．若ka＋kb＝0，则k＝k＝0，那么下列对a，b的判断不正确的是( )
1 2 1 2
A．a与b一定共线
B．a与b一定不共线C．a与b一定垂直
D．a与b中至少有一个为0
9．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构
成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B.
C．1 D．－1
三、填空题与解答题
10．如图1，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口．
六边形开口可记为图2中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设
AB＝a，AF＝b，若BM＝MC，EF＝3EN，则MN＝________.(用a，b表示)
图1 图2
11．若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，
β}下的坐标，现已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a在基底
{m＝(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐标为________．
12．(2024·江苏常州模拟)在△ABC中，C＝45°，O是△ABC的外心，若OC＝mOA＋
nOB(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是________.
13．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝
3c，CN＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．
14．已知△ABC中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q，设△APQ的面
积为S，△ABC的面积为S，AP＝pPB，AQ＝qQC.
1 2
(1)求的值；
(2)求的取值范围．
高分推荐题
15．根据毕达哥拉斯定理，得到结论：以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对 Rt△CDE
按上述操作作图后，得到如图所示的图形，其中∠EDC＝30°，若AF＝xAB＋yAD，则x－
y＝________.
解析版
一、单项选择题
1．如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，AP＝xAC＋yBQ，则
x等于( )
A. B.
C. D.
解析：分别以AB，AD为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设正方形ABCD
边长为2，则A(0,0)，B(2,0)，P(2,1)，Q(1，2)，C(2,2)，
则AP＝(2,1)，AC＝(2,2)，BQ＝(－1,2)，
又AP＝xAC＋yBQ，则有解得x＝.
答案：C
2．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|＝( )
A．3 B．4
C．4 D．5
解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2，y)，且a∥b，
∴1×y－(－2)×2＝0，即y＝－4.
则b＝(－2，－4)，
∴2a－b＝2(1,2)－(－2，－4)＝(4,8)，则|2a－b|＝＝4.故选B.
答案：B
3．已知点A(3,2)，B(5,1)，则与AB方向相反的单位向量为( )
A. B.
C. D.
解析：因为A(3,2)，B(5,1)，所以AB＝(2，－1)，则|AB|＝＝，所以与AB方向相反的单
位向量为－＝.故选B.
答案：B4．(2024·广东汕头调研)如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，
且BF＝3FE，记a＝BA，b＝BC，则CF＝( )
A.a＋b B.a－b
C．－a＋b D.a－b
解析：取a＝BA，b＝BC作为基底，则BE＝a＋b.因为BF＝3FE，所以BF＝BE＝＝a
＋b，所以CF＝BF－BC＝a＋b－b＝a－b，故选D.
答案：D
5．(2024·河北衡水中学调研)已知向量a＝，b＝(cos α，1)，α∈，且a∥b，则sin＝(
)
A．－ B.
C. D．－
解析：因为向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，所以＝tan αcos α＝sin α.因为α∈，
所以sin＝－cos α＝＝.故选C.
答案：C
6．(2024·云南大理模拟)在△ABC中，D是直线AB上的点．若2BD＝CB＋λCA，记
△ACB的面积为S，△ACD的面积为S，则等于( )
1 2
A. B.
C. D.
解析： 依题意作图，如图所示，
设BD＝μBA＝μ(CA－CB)＝－μCB＋μCA，
由条件BD＝CB＋CA，
得μ＝－，＝μ＝－，∴BD＝－BA，
∴点D在AB的延长线上，并且AD＝AB，∴＝＝.
答案：D
7．(2024·福建泉州模拟)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量OP绕点O按
逆时针方向旋转后得向量OQ，则点Q的坐标是( )
A．(－7，－) B．(－7，)
C．(－4，－2) D．(－4，2)
解析：设OP与x轴正半轴的夹角为θ，则cos θ＝，sin θ＝，则由三角函数的定义，
可得OQ＝.
∵|OP|cos＝×＝10×＝－7，
|OP|sin＝×＝10×＝－，
∴OQ＝(－7，－)，即点Q的坐标为(－7，－)．
答案：A
二、多项选择题
8．若ka＋kb＝0，则k＝k＝0，那么下列对a，b的判断不正确的是( )
1 2 1 2
A．a与b一定共线
B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直
D．a与b中至少有一个为0
解析：由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，若ka＋kb＝0，则k＝k＝0，
1 2 1 2
当a与b共线时，k＝k＝0只是其中一组解，此时解不唯一，所以A错误，B正确；
1 2
而当a，b不共线时，不一定有a与b垂直，所以C错误；
当a与b中至少有一个为0时，k，k 中至少有一个可以不为零，所以D错误．
1 2
答案：ACD
9．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构
成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B.
C．1 D．－1
解析：各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为AB＝OB－OA
＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC＝OC－OA＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假
设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可
构成三角形．
答案：ABD
三、填空题与解答题
10．如图1，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口．
六边形开口可记为图2中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设
AB＝a，AF＝b，若BM＝MC，EF＝3EN，则MN＝________.(用a，b表示)
图1 图2
解析：因为BM＝MC，EF＝3EN，由正六边形的性质可知AB＝FO＝OC，AF＝OE＝
BO，所以OM＝(OB＋OC)，ON＝OF＋FN＝OF＋FE＝OF＋(OE－OF)＝OE＋OF，所以
MN＝MO＋ON＝－(OB＋OC)＋OE＋OF＝－(－AF＋AB)＋AF＋(－AB)＝AF－AB＋AF－AB
＝AF－AB＝－a＋b.
答案：－a＋b
11．若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，
β}下的坐标，现已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a在基底{m＝(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐标为________．
解析：因为a在基底{p，q}下的坐标为(－2，2)，所以a＝－2p＋2q＝(2,4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
所以解得
所以a在基底{m，n}下的坐标为(0,2)．
答案：(0,2)
12．(2024·江苏常州模拟)在△ABC中，C＝45°，O是△ABC的外心，若OC＝mOA＋
nOB(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是________.
解析：∵在△ABC中，C＝45°，∴∠AOB＝90°(圆心角是同弧所对的圆周角的2倍)．
建立如图所示的平面直角坐标系，
设A(r,0)，B(0，r)，C(rcos α，rsin α)，其中r>0,90°<α<360°.由OC＝mOA＋nOB，得
m＝cos α，n＝sin α，∴m＋n＝cos α＋sin α＝sin(α＋45°)∈[－，1)．
答案：[－，1)
13．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝
3c，CN＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－
42)．
(2)方法一：∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
方法二：∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，
又a＝mb＋nc，∴mb＋nc＝－b－c，
∴
(3)设O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c，
∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．
又∵CN＝ON－OC＝－2b，
∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴MN＝(9，－18)．
14．已知△ABC中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q，设△APQ的面积为S，△ABC的面积为S，AP＝pPB，AQ＝qQC.
1 2
(1)求的值；
(2)求的取值范围．
解：设AB＝a，AC＝b，AP＝λa，AQ＝λb，由G是△ABC的重心，可知AG＝(a＋
1 2
b)．又PG＝AG－AP＝a＋b，PQ＝AQ－AP＝λb－λa，因为PG与PQ共线，所以PQ＝
2 1
λPG，
即a＋b＝0.
所以⇒λ＋λ＝3λλ.
1 2 1 2
(1)因为＋＝－1＋－1＝1，故＝1.
(2)因为λ＝，则＝λλ＝＝，
2 1 2
易知λ∈，所以∈.
1
高分推荐题
15．根据毕达哥拉斯定理，得到结论：以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜
边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对 Rt△CDE
按上述操作作图后，得到如图所示的图形，其中∠EDC＝30°，若AF＝xAB＋yAD，则x－
y＝________.
解析： 如图，以A为原点，分别以AB，AD为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，
设正方形ABCD的边长为2a，则正方形DEHI的边长为a，正方形EFGC的边长为a，
可知A(0,0)，B(2a,0)，D(0,2a)，
DF＝(＋1)a，
则x ＝(＋1)a·cos 30°，
F
y ＝(＋1)a·sin 30°＋2a，
F
即F，
又AF＝xAB＋yAD，
∴＝x(2a,0)＋y(0,2a)＝(2ax,2ay)，∴
即2ax－2ay＝a－a，化简得x－y＝－.
答案：－
