文档内容
限时跟踪检测(六十七) 事件的相互独立性与条件概率
一、单项选择题
1．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，
其他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该生各项均合格(假设各项标准互不影
响)的概率为( )
A． B．
C． D．
2．(2024·山东聊城高二期末)某公司有甲、乙两家餐厅，小张第1天午餐时随机等可能
地选择一家餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为；如果第1天
去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为.则小张第2天去乙餐厅的概率为( )
A． B． C． D．
3．(2024·四川成都二诊)甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲
对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制(当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛
结束)，则甲获胜的概率为( )
A． B． C． D．
4．(2024·湖南益阳模拟)甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所
示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第 i场比赛
的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场
比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁之间相互比赛，每人获胜的可能性相同．则甲获得冠
军的概率为( )
A． B． C． D．
5．(2024·江苏苏锡常镇模拟)某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青
少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”
“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程．甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，
设事件A＝“甲、乙两人所选课程恰有一门相同”，事件B＝“甲、乙两人所选课程完全
不同”，事件C＝“甲、乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则( )
A．A与B为对立事件 B．A与C互斥
C．A与C相互独立 D．B与C相互独立
6．(2024·山东济南模拟)我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决
定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因
分别来自于父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，
OO为O型血．比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等可能的出
现AA，AB，AO，BO四种结果．已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为( )
A． B． C． D．
7．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄
至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；
C表示事件“医生乙派往②村庄”，则( )
A．事件A与B相互独立
B．事件A与C相互独立
C．P(B|A)＝
D．P(C|A)＝
二、多项选择题
8．下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有( )
A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M为“出现的点数为奇数”，事件N为“出现
的点数为偶数”
B．袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M为
“第1次摸到红球”，事件N为“第2次摸到红球”
C．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M为“第1枚为正面”，事件N为“两枚结果相
同”
D．一枚硬币掷两次，事件M为“第一次为正面”，事件N为“第二次为反面”
9．(2024·安徽合肥质检)有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为
6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第 1,2,3台车床的
零件数分别占总数的25%,30%,45%，则下列选项正确的有( )
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B．任取一个零件是次品的概率为0.052 5
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
三、填空题与解答题
10．播种用的一等品种子中混合了2.0%的二等品种子，1.5%的三等品种子，1.0%的四
等品种子，若用一等品、二等品、三等品、四等品种子长出优质产品的概率分别为
0.5,0.15,0.1,0.05，则从这批种子中任选一粒长出优质产品的概率为________．
11．(2024·浙江舟山模拟)根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：
若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)
＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即
P(C)＝0.005，则P(C|A)＝________.(精确到0.001)
12．(2024·江西赣州期末)已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品
的市场占有率为40%，乙厂产品的市场占有率为36%，丙厂产品的市场占有率为24%，甲、
乙、丙三厂产品的合格率分别为，，.
(1)现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；
(2)现从市场中随机购买一台电器，求买到的是合格品的概率．高分推荐题
13．(2024·山东淄博期末)对某品牌机电产品进行质量调查，共有“擦伤、凹痕、外
观”三类质量投诉问题．其中保质期内的投诉数据如下：
擦伤 凹痕 外观 合计
保质期内 1
保质期后的投诉数据如下：
擦伤 凹痕 外观 合计
保质期后 1
(1)若100项投诉中，保质期内60项，保质期后40项．依据小概率值α＝0.001的独立
性检验，能否认为凹痕质量投诉与保质期有关联？
(2)若投诉中，保质期内占64%，保质期后占36%.设事件A：投诉原因是产品外观，事
件B：投诉发生在保质期内．
①计算P(A)，并判断：事件A，B是独立事件吗？
②“若该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内的概率
大”，这种说法是否成立？并给出理由．
附：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
解析版
一、单项选择题
1．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，
其他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该生各项均合格(假设各项标准互不影响)的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：各项均合格的概率为××＝.
答案：B
2．(2024·山东聊城高二期末)某公司有甲、乙两家餐厅，小张第1天午餐时随机等可能
地选择一家餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为；如果第1天
去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为.则小张第2天去乙餐厅的概率为( )
A． B． C． D．
解析：设A ＝“第1天去甲餐厅用餐”，B ＝“第1天去乙餐厅用餐”，A ＝“第2
1 1 2
天去乙餐厅用餐”，
根据题意得P(A)＝P(B)＝0.5，P(A|A)＝0.4，P(A|B)＝0.2，
1 1 2 1 2 1
由全概率公式，得P(A)＝P(A)P(A|A)＋P(B)P(A|B)＝0.5×0.4＋0.5×0.2＝0.3，因此，
2 1 2 1 1 2 1
小张第2天去乙餐厅用餐的概率为0.3.故选D．
答案：D
3．(2024·四川成都二诊)甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲
对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制(当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛
结束)，则甲获胜的概率为( )
A． B． C． D．
解析：甲获胜的情况分三类：
①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为×＝；
②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为××＝；
③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为××＝.
故甲获胜的概率为＋＋＝.
答案：B
4．(2024·湖南益阳模拟)甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所
示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第 i场比赛
的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场
比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁之间相互比赛，每人获胜的可能性相同．则甲获得冠
军的概率为( )
A． B． C． D．
解析：甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
1胜3胜6胜；1胜3负5胜6胜；1负4胜5胜6胜，所以甲获得冠军的概率为3＋2×3×＝，故选D．
答案：D
5．(2024·江苏苏锡常镇模拟)某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青
少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”
“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程．甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，
设事件A＝“甲、乙两人所选课程恰有一门相同”，事件B＝“甲、乙两人所选课程完全
不同”，事件C＝“甲、乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则( )
A．A与B为对立事件 B．A与C互斥
C．A与C相互独立 D．B与C相互独立
解析：依题意，甲、乙两人所选课程有如下情形：①有一门相同；②两门都相同；③
两门都不相同，故A与B互斥不对立，A与C不互斥，所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝
＝且P(AC)＝＝，P(BC)＝0，所以P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)≠P(B)·P(C)，即A与C相互独
立，B与C不相互独立．故选C．
答案：C
6．(2024·山东济南模拟)我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决
定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因
分别来自于父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，
OO为O型血．比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等可能的出
现AA，AB，AO，BO四种结果．已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考
虑基因突变，则小明是A型血的概率为( )
A． B． C． D．
解析：因小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型，则小明父亲的血型可能是AA，AB，
BB，它们对应的概率分别为，，.
当小明父亲的血型是AA时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型可能是AA，AB，
它们的概率均为，此时小明是A型血的概率为×＝；当小明父亲的血型是AB时，因其母亲
的血型为AB，则小明的血型是AA的概率为，此时小明是A型血的概率为×＝；
当小明父亲的血型是BB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型不可能是AA型．
所以小明是A型血的概率为＋＝，故选C．
答案：C
7．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄
至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；
C表示事件“医生乙派往②村庄”，则( )
A．事件A与B相互独立
B．事件A与C相互独立
C．P(B|A)＝
D．P(C|A)＝
解析：将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含CA＝36(个)
样本点，它们等可能，事件A含有的样本点个数为A＋CA＝12，
则P(A)＝＝，同理得P(B)＝P(C)＝.
事件AB含有的样本点个数为A＝2，则P(AB)＝＝，
事件AC含有的样本点个数为C＋CC＝5，则P(AC)＝.
对于A，P(A)P(B)＝≠P(AB)，
即事件A与B不相互独立，故A不正确；
对于B，P(A)P(C)＝≠P(AC)，即事件A与C不相互独立，故B不正确；
对于C，P(B|A)＝＝，故C不正确；
对于D，P(C|A)＝＝，故D正确．
答案：D
二、多项选择题
8．下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有( )
A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M为“出现的点数为奇数”，事件N为“出现
的点数为偶数”
B．袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M为
“第1次摸到红球”，事件N为“第2次摸到红球”
C．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M为“第1枚为正面”，事件N为“两枚结果相
同”
D．一枚硬币掷两次，事件M为“第一次为正面”，事件N为“第二次为反面”
解析：在A中，P(MN)＝0，所以M，N不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事
件；在C中，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互独立事
件；在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件．
答案：CD
9．(2024·安徽合肥质检)有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为
6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第 1,2,3台车床的
零件数分别占总数的25%,30%,45%，则下列选项正确的有( )
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B．任取一个零件是次品的概率为0.052 5
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
解析：记A为事件“零件为第i(i＝1,2,3)台车床加工”，记B为事件“任取一个零件为
i
次品”，
则P(A)＝0.25，P(A)＝0.3，P(A)＝0.45，
1 2 3
对于A，即P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.25×0.06＝0.015，A错误；
1 1 1
对于 B，P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P(A)·P(B|A)＋P(A)·P(B|A)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋
1 1 2 2 3 3
0.45×0.05＝0.052 5，B正确；
对于C，P(A|B)＝＝＝，C正确；
2
对于D，P(A|B)＝＝＝，D错误．
3
答案：BC
三、填空题与解答题10．播种用的一等品种子中混合了2.0%的二等品种子，1.5%的三等品种子，1.0%的四
等品种子，若用一等品、二等品、三等品、四等品种子长出优质产品的概率分别为
0.5,0.15,0.1,0.05，则从这批种子中任选一粒长出优质产品的概率为________．
解析：设 B ＝“从这批种子中任选一粒是 i 等品种子(i＝1,2,3,4)”，则 Ω＝
i
B∪B∪B∪B ，且B ，B ，B ，B 两两互斥．A＝“在这批种子中任选一粒长出优质产
1 2 3 4 1 2 3 4
品”，则P(B)＝95.5%，P(B)＝2%，P(B)＝1.5%，P(B)＝1.0%，P(A|B)＝0.5，P(A|B)＝
1 2 3 4 1 2
0.15，P(A|B)＝0.1，P(A|B)＝0.05，由全概率公式得 P(A)＝(B)P(A|B)＝0.955×0.5＋
3 4 i i
0.02×0.15＋0.015×0.1＋0.01×0.05＝0.482 5，所以从这批种子中任选一粒长出优质产品的概
率为0.482 5.
答案：0.482 5
11．(2024·浙江舟山模拟)根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：
若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)
＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即
P(C)＝0.005，则P(C|A)＝________.(精确到0.001)
解析：∵P(|)＝0.95，
∴P(A|)＝1－P(|)＝0.05.
∵P(C)＝0.005，∴P()＝0.995.
由全概率公式可得，
P(A)＝P(A|C)P(C)＋P(A|)P()，
∵P(AC)＝P(C|A)P(A)＝P(A|C)P(C)，
∴P(C|A)＝
＝＝≈0.087.
答案：0.087
12．(2024·江西赣州期末)已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品
的市场占有率为40%，乙厂产品的市场占有率为36%，丙厂产品的市场占有率为24%，甲、
乙、丙三厂产品的合格率分别为，，.
(1)现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；
(2)现从市场中随机购买一台电器，求买到的是合格品的概率．
解：(1)记甲、乙、丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件B，B，B，
1 2 3
则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，
则D＝BB ＋B B＋BB，
1 23 12 3 1 2 3
P(D)＝P(BB )＋P(B B)＋P(BB)
1 23 12 3 1 2 3
＝××＋××＋××＝.
故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是.
(2)记事件B为购买的电器合格，
记随机买一件产品，买到的产品为甲、乙、丙三个品牌分别为事件A，A，A，
1 2 3
P(A)＝，P(A)＝，P(A)＝，
1 2 3
P(B|A)＝，P(B|A)＝，P(B|A)＝，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝×
1 2 3 1 1 2 2 3 3
＋×＋×＝.故从市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为.
高分推荐题
13．(2024·山东淄博期末)对某品牌机电产品进行质量调查，共有“擦伤、凹痕、外
观”三类质量投诉问题．其中保质期内的投诉数据如下：
擦伤 凹痕 外观 合计
保质期内 1
保质期后的投诉数据如下：
擦伤 凹痕 外观 合计
保质期后 1
(1)若100项投诉中，保质期内60项，保质期后40项．依据小概率值α＝0.001的独立
性检验，能否认为凹痕质量投诉与保质期有关联？
(2)若投诉中，保质期内占64%，保质期后占36%.设事件A：投诉原因是产品外观，事
件B：投诉发生在保质期内．
①计算P(A)，并判断：事件A，B是独立事件吗？
②“若该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内的概率
大”，这种说法是否成立？并给出理由．
附：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)零假设H：凹痕质量投诉与保质期无关联．
0
根据题意可得2×2列联表：
凹痕 非凹痕 合计
保质期内 10 50 60
保质期后 20 20 40
合计 30 70 100
则可得χ2＝≈12.698.
∵12.698>10.828＝x ，∴H 不成立．
0.001 0
即在犯错误的概率不大于0.001的前提下，能认为凹痕质量投诉与保质期有关联．
(2)①由题意可得，
P(A|B)＝，P(A|)＝，P(B)＝＝，P()＝，
∴P(AB)＝P(B)P(A|B)＝×＝，P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝＋×＝.
∵P(AB)≠P(A)P(B)，
∴事件A，B不是独立事件．
②由题意可得，
“该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内”的概率
P(B|A)＝＝＝，“该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期后”的概率
P(|A)＝＝＝＝，∵>，
∴“若该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内的概率
大”，这种说法成立．
