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限时跟踪检测(四十七) 直线方程
一、单项选择题
1．(2024·浙江模拟)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0
的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
2．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴
上，则直线MN的方程为( )
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
3．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围
是( )
A.
B.∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪
4．若AB<0，且BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是( )
A．[0，π] B.
C. D.∪
6．已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为( )
A．1 B. C．－ D．－3
7．(2024·湖北天门模拟)已知三点A(1，－2)，B(a，－1)，C(－b,0)共线，则＋(a>0，
b>0)的最小值为( )
A．11 B．10 C．6 D．4
8．(2024·广东深圳期末)已知A(2，－3)，B(2，1)，若直线l经过点P(0，－1)，且与线
段AB有交点，则l的斜率的取值范围为( )
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
B．[－2,2]
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D．[－1,1]
9．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
二、多项选择题
10．下列说法正确的是( )
A．截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．经过两点P(x，y)，P(x，y)的直线方程为(y－y)(x－x)－(x－x)(y－y)＝0
1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1
11．已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
三、填空题与解答题
12．已知点A(2,4)，B(4,2)，直线l：y＝kx－2，则直线l经过定点________，若直线l
与线段AB有公共点，则k的取值范围是________．
13．(2024·广东湛江质检)若关于x的方程|x－1|－kx＝0有且只有一个正实数根，则实
数k的取值范围是____________．
14．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线DE的方程．
高分推荐题
15．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别
交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．解析版
一、单项选择题
1．(2024·浙江模拟)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0
的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
解析：直线x－2y－4＝0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y
＝x＋2.
答案：A
2．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴
上，则直线MN的方程为( )
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：由题意，直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以k ＝－k ＝3，
MN MO
所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，故选C.
答案：C
3．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围
是( )
A.
B.∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪
解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－，
则－3<1－<3，解不等式可得k>或k<－1.
答案：D
4．若AB<0，且BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：Ax＋By＋C＝0可化为y＝－x－，∵AB<0，BC<0，∴－>0，－>0，故直线经过
第一、二、三象限，不经过第四象限．
答案：D
5．设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是( )
A．[0，π] B.
C. D.∪
解析：直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，当sin θ＝0时，直线方程为x＝－2，倾斜角
α＝.当sin θ≠0时，直线方程化为y＝x＋，斜率k＝，因为sin θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以
k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又因为α∈[0，π)，所以
α∈∪.综上可得α∈.答案：C
6．已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为( )
A．1 B. C．－ D．－3
解析：设Q(3,0)，则k ＝＝－3，k ＝＝－，∵点P(x，y)是线段AB上的任意一点，
AQ BQ
∴的取值范围是，故的最大值为－，故选C.
答案：C
7．(2024·湖北天门模拟)已知三点A(1，－2)，B(a，－1)，C(－b,0)共线，则＋(a>0，
b>0)的最小值为( )
A．11 B．10 C．6 D．4
解析：根据题意，k ＝k ，∴2a＋b＝1，
AB BC
∴＋＝3＋＋＝3＋(2a＋b)＝3＋4＋＋≥ 7＋2＝11，
当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立．
答案：A
8．(2024·广东深圳期末)已知A(2，－3)，B(2，1)，若直线l经过点P(0，－1)，且与线
段AB有交点，则l的斜率的取值范围为( )
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
B．[－2,2]
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D．[－1,1]
解析：过点P作PC⊥AB，垂足为点C，如图所示，
设直线l交线段AB于点M，直线l的斜率为k，k ＝＝－1，k ＝＝1，
PA PB
当点M在从点A运动到点C(不包括点C)时，直线l的倾斜角逐渐增大，此时－1＝
k ≤k<0；
PA
当点M在从点C运动到点B时，直线l的倾斜角逐渐增大，此时0≤k≤k ＝1.
PB
综上所述，直线l的斜率的取值范围是[－1，1]．故选D.
答案：D
9．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
解析：直线AB的方程为＋＝1，
P(x，y)在直线上，则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝[－(y－2)2＋4]≤3.
即当点P的坐标为时，xy取最大值3.
答案：B
二、多项选择题
10．下列说法正确的是( )
A．截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．经过两点P(x，y)，P(x，y)的直线方程为(y－y)(x－x)－(x－x)(y－y)＝0
1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1
解析：对于A，若直线过原点，横、纵截距都为零，则不能用方程＋＝1表示，所以A
不正确；对于B，当m＝0时，直线方程为x＝2，平行于y轴，所以B正确；对于C，若直
线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tan θ(x－1)表示，所以C不正
确；对于D，设点P(x，y)是经过两点P(x ，y)，P(x ，y)的直线上的任意一点，根据
1 1 1 2 2 2
P1P2∥P1P可得(y－y)(x－x)－(x－x)(y－y)＝0，所以D正确．故选BD.
2 1 1 2 1 1
答案：BD
11．已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
解析：直线的倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，A不正确；当x＝y＝0时，xsin α
＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝时，直线的斜率不存在，C不正
确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为 S＝·＝≥1，D正确．
故选BD.
答案：BD
三、填空题与解答题
12．已知点A(2,4)，B(4,2)，直线l：y＝kx－2，则直线l经过定点________，若直线l
与线段AB有公共点，则k的取值范围是________．
解析：由题意得直线l：y＝kx－2过定点C(0，－2)，
又点A(2,4)，B(4,2)，所以k ＝＝3，k ＝＝1，
CA CB
要使直线l与线段AB有公共点，由图可知k∈[1,3]．答案：(0，－2) [1,3]
13．(2024·广东湛江质检)若关于x的方程|x－1|－kx＝0有且只有一个正实数根，则实
数k的取值范围是____________．
解析：由题意，知|x－1|＝kx有且只有一个正实数根，
画出y＝|x－1|和y＝kx的图象，如图所示，
结合图形，可得k＝0或k≥1.
答案：{k|k＝0或k≥1}
14．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，
所以直线BC的方程为＝，
即x＋2y－4＝0.
(2)由(1)知，直线BC的斜率k＝－，
1
则直线BC的垂直平分线DE的斜率k＝2.
2
因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0,2)，
所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
高分推荐题
15．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别
交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解：由题意可得k ＝tan 45°＝1，
OA
k ＝tan(180°－30°)＝－，
OB
所以直线l ：y＝x，l ：y＝－x.
OA OB
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线，得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以k ＝k ＝＝，所以l ：y＝(x－1)，
AB AP AB
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
