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限时跟踪检测(五十四) 双曲线(二)
一、单项选择题
1．已知双曲线的方程为x2－＝1，过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则这
样的直线l有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
2．过双曲线C：－＝1的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况
是( )
A．没有交点
B．只有一个交点
C．有两个交点且都在左支上
D．有两个交点且两交点分别在左、右两支上
3．双曲线－＝1与直线y＝－x＋m(m∈R)的公共点的个数为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．0或1或2
4．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为(
)
A．± B．±或±
C．± D．±
5．已知双曲线－＝1的左焦点为F ，过F 的直线l交双曲线左支于A，B两点，则直
1 1
线l斜率的取值范围为( )
A．
B．∪
C．
D．∪
6．过双曲线x2－y2＝4上任一点M(x ，y)作它的一条渐近线的垂线段，垂足为N，O
0 0
是坐标原点，则△MON的面积是( )
A．1 B．2
C．4 D．不确定
7．(2024·山东烟台模拟)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点且斜率不为0的直线交C
于A，B两点，D为AB的中点，若k ·k ＝，则C的离心率为( )
AB OD
A． B．2
C． D．
8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F ，F ，其中|FF|＝2c，过
1 2 1 2
右焦点F 的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中错误的是( )
2
A．弦AB的最小值为
B．若|AB|＝m，则△FAB的周长为2m＋4a
1
C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则k ·k＝
OM
D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞)二、多项选择题
9．(2024·河北唐山模拟)已知双曲线C：－x2＝1(a>0)，其上、下焦点分别为F，F，O
1 2
为坐标原点．过双曲线上一点M(x ，y)作直线l，分别与双曲线的渐近线交于P，Q两点，
0 0
且点M为PQ的中点，则下列说法正确的是( )
A．若l⊥y轴，则|PQ|＝2
B．若点M的坐标为(1,2)，则直线l的斜率为
C．直线PQ的方程为－xx＝1
0
D．若双曲线的离心率为，则△OPQ的面积为2
10．(2024·湖北重点中学联考)关于双曲线C：－＝1，下列说法正确的是( )
A．该双曲线与双曲线－＝1有相同的渐近线
B．过点F(3,0)作直线l与双曲线C交于A，B两点，若|AB|＝5，则满足条件的直线只
有一条
C．若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈
D．过点P(1,2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点
三、填空题与解答题
11．过双曲线x2－＝1的左焦点F 作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则|AB|
1
＝________.
12．(2024·湖北武汉模拟)写出一条同时满足下列条件①②的直线l：________.
①经过点(，1)；②与双曲线x2－y2＝1有且只有一个公共点．
13．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的
直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
14．(2024·广东肇庆模拟)已知圆M：(x＋2)2＋y2＝的圆心为M，圆N：(x－2)2＋y2＝的
圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知定点P，过点N的直线l与曲线C交于A，B两点，证明：∠APN＝∠BPN.
高分推荐题
15．(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于
P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．解析版
一、单项选择题
1．已知双曲线的方程为x2－＝1，过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则这
样的直线l有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
解析：因为双曲线的方程为x2－＝1，则P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)且和x
轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过 P(1,0)分
别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的直线有3条．
答案：B
2．过双曲线C：－＝1的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况
是( )
A．没有交点
B．只有一个交点
C．有两个交点且都在左支上
D．有两个交点且两交点分别在左、右两支上
解析：直线l的方程为y＝(x＋)，代入C：－＝1，整理得23x2－8x－160＝0，Δ＝(－
8)2＋4×23×160>0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得
两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上．
答案：D
3．双曲线－＝1与直线y＝－x＋m(m∈R)的公共点的个数为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．0或1或2
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，当m＝0时，直线y＝－x与双曲线没有公共点；
当m≠0时，直线y＝－x＋m与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线只有一个公共点．综上，
双曲线－＝1与直线y＝－x＋m(m∈R)的公共点的个数为0或1.
答案：C
4．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为(
)
A．± B．±或±
C．± D．±解析：由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－＝1，得(4－k2)x2
－2kx－5＝0，由Δ＝4k2＋4×(4－k2)×5>0，得k2<5.设A(x，y)，B(x，y)，则x＋x＝，xx
1 1 2 2 1 2 1 2
＝－，所以|AB|＝·＝8，解得k＝±或±.
答案：B
5．已知双曲线－＝1的左焦点为F ，过F 的直线l交双曲线左支于A，B两点，则直
1 1
线l斜率的取值范围为( )
A．
B．∪
C．
D．∪
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，当直线l与渐近线平行时，与双曲线只有一个交
点．
当直线l的斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线 l的斜率k>；当直线l
的斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线l的斜率k<－.故选B．
答案：B
6．过双曲线x2－y2＝4上任一点M(x ，y)作它的一条渐近线的垂线段，垂足为N，O
0 0
是坐标原点，则△MON的面积是( )
A．1 B．2
C．4 D．不确定
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，设d ，d 分别为点M(x ，y)到直线x－y＝0，x
1 2 0 0
＋y＝0的距离，则dd＝·＝＝2，因为两条渐近线垂直，所以S ＝dd＝1.
1 2 △MON 1 2
答案：A
7．(2024·山东烟台模拟)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点且斜率不为0的直线交C
于A，B两点，D为AB的中点，若k ·k ＝，则C的离心率为( )
AB OD
A． B．2
C． D．
解析：不妨设过双曲线C的焦点且斜率不为 0的直线方程为y＝k(x－c)，k≠0，令
A(x ，y)，B(x ，y)．由消去y并整理得(b2－a2k2)x2＋2a2k2cx－(a2k2c2＋a2b2)＝0.则x ＋x
1 1 2 2 1 2
＝，xx ＝，D.则k ＝，由k ·k ＝，可得·k＝.则有a2＝2b2，即3a2＝2c2，则双曲线C的
1 2 OD AB OD
离心率e＝＝.故选D．
答案：D
8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F ，F ，其中|FF|＝2c，过
1 2 1 2
右焦点F 的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中错误的是( )
2
A．弦AB的最小值为
B．若|AB|＝m，则△FAB的周长为2m＋4a
1
C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则k ·k＝
OM
D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞)
解析：对于A，弦AB的最小值为通径，故A正确；对于B，由双曲线的定义得|AF|
1
＋|BF|－|AB|＝4a，得|AF|＋|BF|＝4a＋m，所以△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝4a＋
1 1 1 1 1 12m，故B正确；对于C，设A(x ，y)，B(x ，y)，则两式相减得－＝0，则－·＝0，则
1 1 2 2
－·k ·k＝0，则k ·k＝，故C正确；对于D，若直线AB的斜率为，则<，所以b2<3a2，所
OM OM
以c2<4a2，所以10)，其上、下焦点分别为F，F，O
1 2
为坐标原点．过双曲线上一点M(x ，y)作直线l，分别与双曲线的渐近线交于P，Q两点，
0 0
且点M为PQ的中点，则下列说法正确的是( )
A．若l⊥y轴，则|PQ|＝2
B．若点M的坐标为(1,2)，则直线l的斜率为
C．直线PQ的方程为－xx＝1
0
D．若双曲线的离心率为，则△OPQ的面积为2
解析：若l⊥y轴，则直线l过双曲线的顶点，M(0，±a)，双曲线的渐近线方程为y＝
±ax，易得P，Q两点的横坐标为±1，∴|PQ|＝2，故A正确；若点M的坐标为(1,2)，则a
＝，易得双曲线的渐近线方程为y2－2x2＝0，设P(x ，y)，Q(x ，y)，则y－2x＝0，y－2x
1 1 2 2
＝0，两式作差可得，y－y＝2x－2x，即＝2×，∴k＝2×＝1，故B错误；若M(x ，y)，
l 0 0
P(x ，y)，Q(x ，y)，利用点差法同样可得k＝＝a2×＝，∴直线PQ的方程为y－y ＝(x－
1 1 2 2 l 0
x)，即yy－y＝a2xx－a2x，yy－a2xx＝y－a2x＝a2，∴－xx＝1，故C正确；若双曲线的离
0 0 0 0 0 0
心率为，则双曲线的方程为－x2＝1，∴渐近线的方程为y＝±2x，设P(x ，2x)，Q(x ，－
1 1 2
2x)，∴S ＝2|xx|，联立方程可得x ＝，同理可得x ＝，∴S ＝2|xx|＝2＝＝＝2，
2 △OPQ 1 2 1 2 △OPQ 1 2
故D正确．故选ACD．
答案：ACD
10．(2024·湖北重点中学联考)关于双曲线C：－＝1，下列说法正确的是( )
A．该双曲线与双曲线－＝1有相同的渐近线
B．过点F(3,0)作直线l与双曲线C交于A，B两点，若|AB|＝5，则满足条件的直线只
有一条
C．若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈
D．过点P(1,2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点
解析：双曲线C：－＝1的渐近线方程可表示为－＝0，双曲线－＝1的渐近线方程可
表示为－＝0，整理后都是y＝±x，故A正确；由于双曲线的实轴长为2a＝4，∴过焦点F
与左、右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4，＋∞)，存在关于x轴对
称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满
足条件的直线有三条，如图所示，故B错误；由于双曲线的渐近线的斜率为±，焦点在x轴上，∴若直线l与双曲线C的两支各有一
个交点，则直线l的斜率k∈，如图所示，故C正确；
如图所示，
过点P(1,2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两
条与双曲线相切，故D正确．故选ACD．
答案：ACD
三、填空题与解答题
11．过双曲线x2－＝1的左焦点F 作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则|AB|
1
＝________.
解析：易得双曲线的左焦点F(－2,0)，∴直线AB的方程为y＝(x＋2)，与双曲线方程
1
联立，得8x2－4x－13＝0.Δ＝16＋4×8×13＞0.设A(x ，y)，B(x ，y)，则x ＋x ＝，xx ＝
1 1 2 2 1 2 1 2
－，∴|AB|＝×＝3.
答案：3
12．(2024·湖北武汉模拟)写出一条同时满足下列条件①②的直线l：________.
①经过点(，1)；②与双曲线x2－y2＝1有且只有一个公共点．
解析：显然直线l的斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－)，代入双曲线的方程得(1－k2)x2－2k(1－k)x－2＋2k－2k2＝0.当1－k2＝0时，k＝±1，此时直线方程为y－1＝x－或y－1
＝－(x－)，即y＝x＋1－或y＝－x＋1＋.当1－k2≠0时，Δ＝4k2(1－k)2－4(1－k2)(－2＋2k－
2k2)＝0，解得k＝，此时直线方程为y－1＝(x－)，即y＝x－1.
答案：y＝x－1或y＝x＋1－或y＝－x＋1＋(只需答出其中之一即可)
13．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的
直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
解析：双曲线－＝1的右顶点为A(3,0)，右焦点为F(5,0)，渐近线的方程为y＝±x.不妨
设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线的方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝
－，所以B.所以S ＝|AF||y |＝(c－a)·|y |＝×(5－3)×＝.
△AFB B B
答案：
14．(2024·广东肇庆模拟)已知圆M：(x＋2)2＋y2＝的圆心为M，圆N：(x－2)2＋y2＝的
圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知定点P，过点N的直线l与曲线C交于A，B两点，证明：∠APN＝∠BPN.
(1)解：如图，
设圆E的圆心E(x，y)，半径为r，
则|EM|＝r＋，|EN|＝r－，
所以|EM|－|EN|＝2<|MN|＝4.
由双曲线的定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，
所以曲线C的方程为－y2＝1，x≥.
(2)证明：由题意知直线l的斜率不为零．
设A(x，y)，B(x，y)，直线l的方程为x＝my＋2，
1 1 2 2
由于直线l与曲线C交于A，B两点，
故－1)上，直线l交C于
P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．
解：(1)将点A的坐标代入双曲线的方程得－＝1，
化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
由题易知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
联立直线l与双曲线C的方程并整理得
(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0，
故x＋x＝－，xx＝.
1 2 1 2
k ＋k ＝＋＝＋＝0，
AP AQ
化简得2kxx＋(m－1－2k)(x＋x)－4(m－1)＝0，
1 2 1 2
故＋(m－1－2k)－4(m－1)＝0，
整理得(k＋1)(m＋2k－1)＝0，
又直线l不过点A，即m＋2k－1≠0，故k＝－1.
(2)不妨设直线PA的倾斜角为θ，
由题意知∠PAQ＝π－2θ，所以tan∠PAQ＝－tan 2θ＝＝2，
解得tan θ＝或tan θ＝－(舍去)，
由得x＝，
1
所以|AP|＝|x－2|＝
1
，
同理得x＝，
2
所以|AQ|＝|x－2|＝
2
.
因为tan∠PAQ＝2，
所以sin∠PAQ＝，
故S ＝|AP||AQ|sin∠PAQ
△PAQ
＝×××＝.
