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限时跟踪检测(二十) 利用导数证明不等式
1．已知函数g(x)＝mx2－(4m＋2)x＋4ln x(a∈R)．
(1)当m＝1时，求g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线方程；
(2)当m＝0时，证明：g(x)＋2x＜4ex－8(其中e为自然对数的底数)．
2．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x－1，证明：
(1)当x∈(0，＋∞)时，不等式f(x)≤g(x)恒成立；
(2)对于任意正整数n，不等式…＜e恒成立(其中e为自然对数的底数)．
3．已知函数f(x)＝aex－1－ln x－1.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)证明：当a≥1时，f(x)≥0.
4．(2023·天津卷)已知函数f(x)＝ln(x＋1)．
(1)求曲线y＝f(x)在x＝2处切线的斜率；
(2)当x>0时，证明：f(x)>1；
(3)证明：0时，证明：f(x)>1；
(3)证明：0时f(x)＝·ln(x＋1)>1，即证ln(x＋1)>，
令g(x)＝ln(x＋1)－且x>0，则g′(x)＝－＝>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g(x)>g(0)＝0，即ln(x＋1)>.
所以x>0时，f(x)>1.
(3)证明：设h(n)＝ln(n！)－ln n＋n，n∈N*，
则h(n＋1)－h(n)＝1＋ln n－ln(n＋1)＝1－ln，
x＝∈(0,1]，由(2)知f＝ln>1，
所以h(n＋1)－h(n)<0，故h(n)在n∈N*上单调递减，故h(n)≤h(1)＝1.
下面证明ln(n！)－ln n＋n>，
令φ(x)＝ln x－且x>0，则φ′(x)＝，
当00，φ(x)单调递增，当x>1时φ′(x)<0，φ(x)单调递减，
所以φ(x)≤φ(1)＝0，故在x∈(0，＋∞)上ln x≤恒成立，
则h(n)－h(n＋1)＝ln－1≤·－1＝<，
所以当n≥2时，h(2)－h(3)<×，h(3)－h(4)<×，…，h(n－1)－h(n)<，
累加得h(2)－h(n)<，而h(2)＝2－ln 2，则－h(n)<－2＋ln 2，
所以h(1)－h(n)＝1－h(n).
当n＝1时，h(n)＞成立．
综上，
