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限时跟踪检测(三十四) 复 数
一、单项选择题
1．已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝－1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2024·河南联考)若(1＋i)(1－2i)＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝( )
A．－1 B．0
C．2 D．3
3．(2024·辽宁模拟)已知a＋i＝－2＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝( )
A．1 B.
C．3 D．9
4．(2024·江西赣州模拟)若复数＝A＋Bi(m，A，B∈R)，且A＋B＝0，则实数m的值是( )
A. B.
C．－ D．2
5．(2024·安徽蚌埠模拟)非零复数z满足＝－zi，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．实轴 B．虚轴
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
6．(2024·山东东营模拟)如图，若向量OZ对应的复数为z，且|z|＝，则＝( )
A.＋i B．－－i
C.－i D．－＋i
7．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z ，z ，z ，若复数z满足|z－z|＝|z－z|＝|z－z|，则z对应的点为
1 2 3 1 2 3
△ABC的( )
A．内心 B．垂心
C．重心 D．外心
8．(2024·陕西西安模拟)已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z＝( )
A．2－2i B．2＋2i
C．－2＋2i D．－2－2i
9．复数z ，z 在复平面内分别对应点A，B，z ＝3＋4i，将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点B，如图所示，
1 2 1
则 ＝( )
2
A．3－4i B．－4－3i
C．－4＋3i D．－3－4i10．若复数(x－3)＋yi(x，y∈R)的模为2，则的最大值为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
11．(2024·山东济宁模拟)已知复数z ＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z 满足|z －1＋2i|＝2，z 在复平面内对应的
1 2 2 2
点为M(x，y)，则下列说法正确的是( )
A．复数z 在复平面内对应的点位于第二象限
1
B.＝－－i
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4
D．|z－z|的最大值为3＋2
2 1
三、填空题与解答题
12．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点为________．
13．设复数z，z 分别对应复平面上的点A，B，且∠AOB＝60°，若|z－z|＝1，则|z|的最大值为________．
1 2 1 2 1
14．若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出 z；若不存在，请说明
理由．
高分推荐题
15．(多选)欧拉公式exi＝cos x＋isin x是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，
建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公
式，下列选项正确的是( )
A．复数e2i对应的点位于第二象限
i
B．e 为纯虚数
C．复数的模等于
i
D．e 的共轭复数为－i
解析版
一、单项选择题
1．已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝－1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：i是虚数单位，则i2＝－1，“a＝i”是“a2＝－1”的充分条件；
由a2＝－1，得a＝±i，
故“a＝i”是“a2＝－1”的充分不必要条件．
答案：A
2．(2024·河南联考)若(1＋i)(1－2i)＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝( )A．－1 B．0
C．2 D．3
解析：因为(1＋i)(1－2i)＝3－i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－1，所以a＋b＝2.故选C.
答案：C
3．(2024·辽宁模拟)已知a＋i＝－2＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝( )
A．1 B.
C．3 D．9
解析：因为a＋i＝－2＋bi，所以a＝－2，b＝，则|a＋bi|＝＝＝3.故选C.
答案：C
4．(2024·江西赣州模拟)若复数＝A＋Bi(m，A，B∈R)，且A＋B＝0，则实数m的值是( )
A. B.
C．－ D．2
解析：由题意知，2－mi＝(A＋Bi)(1＋2i)＝A－2B＋(2A＋B)i，
∴解得
答案：C
5．(2024·安徽蚌埠模拟)非零复数z满足＝－zi，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．实轴 B．虚轴
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
解析：由题意，设z＝a＋bi(a，b∈R)，故＝－zi a－bi＝－(a＋bi)i＝－ai＋b，
故a＝b，－b＝－a，
⇔
即复数z＝a＋ai，在复平面内对应的点位于第一或第三象限的角平分线上．
答案：C
6．(2024·山东东营模拟)如图，若向量OZ对应的复数为z，且|z|＝，则＝( )
A.＋i B．－－i
C.－i D．－＋i
解析：由题意，设z＝－1＋bi(b>0)，则|z|＝＝，解得b＝2，即z＝－1＋2i，所以＝＝＝＝－＋i.故选D.
答案：D
7．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z ，z ，z ，若复数z满足|z－z|＝|z－z|＝|z－z|，则z对应的点为
1 2 3 1 2 3
△ABC的( )
A．内心 B．垂心
C．重心 D．外心
解析：因为|z－z|，|z－z|，|z－z|表示复数z对应的点分别到点A，B，C的距离，故由|z－z|＝|z－z|＝|z－z|，
1 2 3 1 2 3
知复数z对应的点到△ABC三个顶点的距离都相等，则z对应的点是△ABC的外心，故选D.
答案：D
8．(2024·陕西西安模拟)已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z＝( )
A．2－2i B．2＋2iC．－2＋2i D．－2－2i
解析：由已知，得b2＋b(4＋i)＋4＋ai＝0，
即b2＋4b＋4＋(a＋b)i＝0，
所以解得
所以z＝2－2i.
答案：A
9．复数z ，z 在复平面内分别对应点A，B，z ＝3＋4i，将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点B，如图所示，
1 2 1
则 ＝( )
2
A．3－4i B．－4－3i
C．－4＋3i D．－3－4i
解析：由题意知A(3,4)，B(－4,3)，即z＝－4＋3i，＝－4－3i.
2 2
答案：B
10．若复数(x－3)＋yi(x，y∈R)的模为2，则的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析： 因为复数(x－3)＋yi(x，y∈R)的模为2，
所以(x－3)2＋y2＝4，
表示以(3,0)为圆心，2为半径的圆，如图所示，
表示过原点和圆上的点(x，y)的直线的斜率，由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，
设切线方程为y＝kx，
则＝2，解得k＝±，
所以的最大值为.
答案：A
二、多项选择题
11．(2024·山东济宁模拟)已知复数z ＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z 满足|z －1＋2i|＝2，z 在复平面内对应的
1 2 2 2
点为M(x，y)，则下列说法正确的是( )
A．复数z 在复平面内对应的点位于第二象限
1
B.＝－－i
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4
D．|z－z|的最大值为3＋2
2 1
解析：对于A，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，该点位于第二象限，故A正确；
1
对于B，＝＝＝－－i，故B正确；
对于C，z－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，
2∵|z－1＋2i|＝2，
2
∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误；
对于D，z－1＋2i＝－3＋3i，
1
则|z－1＋2i|＝＝3.
1
|z－z|＝|(z－1＋2i)－(z－1＋2i)|≤|z－1＋2i|＋|z－1＋2i|＝2＋3，故D正确．
2 1 2 1 2 1
答案：ABD
三、填空题与解答题
12．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点为________．
解析：∵i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2 023＝4×505＋3，∴z＝＝＝＝＝，∴复数z在复平面
内对应的点为.
答案：
13．设复数z，z 分别对应复平面上的点A，B，且∠AOB＝60°，若|z－z|＝1，则|z|的最大值为________．
1 2 1 2 1
解析：方法一：依题意，不妨设复数z ＝a，z ＝b(1＋i)(a，b为正实数)，代入|z －z|＝1，并化简得4b2－2ab
1 2 1 2
＋a2－1＝0，
关于b的方程显然有实根，
∴Δ＝(－2a)2－4×4(a2－1)≥0，
解得a2≤，即|a|≤，故|z| ＝.
1max
方法二：∠AOB＝60°，且|AB|＝|z －z|＝1，即点O对定长的线段AB的张角一定为60°，可知点O在以AB为
1 2
弦的圆M的优弧上，如图所示．
显然线段AO长度(即|z|)的最大值为圆M的直径．
1
由平面几何知识，易知该圆直径为2R＝＝，所以|z| ＝.
1max
答案：
14．若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出 z；若不存在，请说明
理由．
解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.
理由如下：
设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝＋i.
∵z＋是实数，∴b－＝0.
又b≠0，∴a2＋b2＝5.①
又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，∴a＋3＋b＝0.②
联立①②得解得或故存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件．
高分推荐题
15．(多选)欧拉公式exi＝cos x＋isin x是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公
式，下列选项正确的是( )
A．复数e2i对应的点位于第二象限
i
B．e 为纯虚数
C．复数的模等于
i
D．e 的共轭复数为－i
解析：e2i＝cos 2＋isin 2，因为<2<π，即cos 2<0，sin 2>0，故复数e2i对应的点位于第二象限，A正确；
i i
e＝cos＋isin＝i，e 为纯虚数，B正确；
＝
＝
＝＋i，
于是得
＝
＝，C正确；
i
e＝cos＋isin＝＋i，
其共轭复数为－i，D错误．
答案：ABC
