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限时跟踪检测(三十六) 等差数列
一、单项选择题
1．(2019·全国Ⅰ卷，理)记S 为等差数列{a}的前n项和．已知S ＝0，a ＝5，则(
n n 4 5
)
A．a＝2n－5 B．a＝3n－10
n n
C．S＝2n2－8n D．S＝n2－2n
n n
2．已知数列{a}满足a ＝1，a ＝ra ＋r(n∈N*，r∈R，r≠0)，则“r＝1”是“数列
n 1 n＋1 n
{a}为等差数列”的( )
n
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(2024·山东济南模拟)在等差数列{a}中，a ，a 是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，
n 2 14
则＝( )
A．－ B．－3
C．－6 D．2
4．(2024·湘赣皖十五校联考)已知数列{a}的前n项和为S ，且满足数列{2a}是等比数
n n n
列，若a＋a ＋a ＝，则S 的值是( )
4 1 009 2 014 2 017
A. B．1 008
C．2 015 D．2 016
5．已知椭圆＋＝1上有n个不同的点P，P，P，…，P，椭圆右焦点为F，若数列是
1 2 3 n
公差大于的等差数列，则n的最大值为( )
A．2 017 B．2 018
C．4 036 D．4 037
6．设数列{a}的前n项和为S，且是等差数列，若a＝3a，则＝( )
n n 3 5
A. B.
C. D.
an＋1 an
7．(2024·辽宁实验中学等五校联考)已知数列{a}满足3 ＝9·3 (n∈N*)，且a
n 2
＋a＋a＝9，则log (a＋a＋a )＝( )
4 6 1 9 11
\f(1,3
A．－ B．3
C．－3 D.
8．(2024·福建三明一中期末)《九章算术》是我国古代的一本数学名著．全书有方田、
粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有 246个与生产、生活实
践有联系的应用问题．书中有这样一道题目“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等
问各得几何？”其意思为“现有五个人分 5钱，且较多的两份之和等于较少的三份之和，
问五人各得多少？”在此题中，若每人分得钱数成等差数列，则任意两人分得的最大差值
为( )
A. B.C. D.
9．设等差数列{a}的前n项和为S，若S ＝－2，S ＝0，S ＝3，则m＝( )
n n m－1 m m＋1
A．3 B．4
C．5 D．6
二、多项选择题
10．(2024·河北石家庄期末)已知等差数列{a}的前 n 项和为 S ，公差为 d，若
n n
S 0 B．a>0
1
C．S <0 D．S <0
22 21
三、填空题与解答题
11．(2024·陕西洛南中学高三月考)已知S 为等差数列{a}的前n项和，且S＝35，a＋
n n 2 2
a＋a＝39，则当S 取得最大值时，n的值为________．
3 4 n
12．已知A＝{x|2n，可得n<4 037，∴n的最大
n
值为4 036.故选C.
答案：C
6．设数列{a}的前n项和为S，且是等差数列，若a＝3a，则＝( )
n n 3 5
A. B.
C. D.
解析：方法一：数列是等差数列，且首项为＝a，设公差为d，则＝a＋(n－1)·d，S＝
1 1 n
na＋n(n－1)d＝n2d＋(a－d)n，因为a＝3a，所以S－S＝3(S－S)，则9d＋3(a－d)－[4d
1 1 3 5 3 2 5 4 1
＋2(a －d)]＝3[25d＋5(a －d)－16d－4(a －d)]，即a ＝－10d，则S ＝n2d－11dn，则＝＝.
1 1 1 1 n
故选C.
方法二：因为数列是等差数列，所以数列{a}是等差数列，则＝＝×3＝.故选C.
n
答案：C
an＋1 an
7．(2024·辽宁实验中学等五校联考)已知数列{a}满足3 ＝9·3 (n∈N*)，且a
n 2
＋a＋a＝9，则log (a＋a＋a )＝( )
4 6 1 9 11
\f(1,3
A．－ B．3
C．－3 D.
an＋1 an an＋1 an＋2
解析：由题知，数列{a}满足3 ＝9·3 (n∈N*)，可得3 ＝3 ，则a
n n＋1
＝a ＋2，所以数列{a} 是等差数列，且公差d＝2.由a ＋a ＋a ＝3a ＋9d＝3a ＋9×2＝9，
n n 2 4 6 1 1
解得a＝－3，所以log (a＋a＋a )＝log (3a＋18d)＝log 27＝－3，故选C.
1 1 9 11 1
\f(1,3 \f(1,3 \f(1,3
答案：C
8．(2024·福建三明一中期末)《九章算术》是我国古代的一本数学名著．全书有方田、
粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有 246个与生产、生活实
践有联系的应用问题．书中有这样一道题目“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等
问各得几何？”其意思为“现有五个人分 5钱，且较多的两份之和等于较少的三份之和，
问五人各得多少？”在此题中，若每人分得钱数成等差数列，则任意两人分得的最大差值
为( )
A. B.
C. D.
解析：设每人分到的钱数构成的等差数列为{a}，数列{a}的公差d>0，由题意可得，
n n
a ＋a ＋a ＝a ＋a ，S ＝5，故3a ＋3d＝2a ＋7d,5a ＋10d＝5，解得a ＝，d＝，故任意两
1 2 3 4 5 5 1 1 1 1人分得的最大差值为4d＝.故选B.
答案：B
9．设等差数列{a}的前n项和为S，若S ＝－2，S ＝0，S ＝3，则m＝( )
n n m－1 m m＋1
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：∵数列{a}为等差数列，且前n项和为S，
n n
∴数列也为等差数列．
∴＋＝，
即＋＝0，
解得m＝5，经检验为原方程的解．
答案：C
二、多项选择题
10．(2024·河北石家庄期末)已知等差数列{a}的前 n 项和为 S ，公差为 d，若
n n
S 0 B．a>0
1
C．S <0 D．S <0
22 21
解析：设等差数列{a}的首项为 a ，对于 A，B，因为 S 0，故等差数列的首项为负，公差为正，所以d>0，a<0，故A正确，
11 12 11 12 1
B错误；对于C，由S 0，所以S ＝＝11(a ＋a )>0，故C错
10 12 12 10 12 11 22 11 12
误；对于D，因为a <0，所以S ＝21×＝21a <0，故D正确．故选AD.
11 21 11
答案：AD
三、填空题与解答题
11．(2024·陕西洛南中学高三月考)已知S 为等差数列{a}的前n项和，且S＝35，a＋
n n 2 2
a＋a＝39，则当S 取得最大值时，n的值为________．
3 4 n
解析：方法一：设等差数列{a}的首项为a，公差为d，则由题意得
n 1
解得则S＝19n＋×(－3)＝－n2＋n＝－2＋.又n∈N*，∴当n＝7时，S 取得最大值．
n n
方法二：设等差数列{a}的首项为a ，公差为d.∵a ＋a ＋a ＝3a ＝39，∴a ＝13，
n 1 2 3 4 3 3
∴2a －S ＝(a －a)＋(a －a)＝3d＝2×13－35＝－9，解得d＝－3，则a ＝a ＋(n－3)d＝22
3 2 3 2 3 1 n 3
－3n，令解得≤n≤，又n∈N*，∴n＝7，即数列{a}的前7项为正数，从第8项起各项均为
n
负数，故S 取最大值时，n＝7.
n
答案：7
12．已知A＝{x|2n5时，a<0，
n
则T＝|a|＋|a|＋…＋|a|
n 1 2 n
＝a＋a＋…＋a－(a＋a＋…＋a)
1 2 5 6 7 n
＝S－(S－S)＝2S－S
5 n 5 5 n
＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；
当n≤5时，a≥0，
n
则T＝|a|＋|a|＋…＋|a|
n 1 2 n
＝a＋a＋…＋a＝9n－n2，
1 2 n
∴T＝
n
高分推荐题
15．(2024·山东师大附中模拟)已知数列{a}为等差数列，其前n项和为S ，若a≠0，
n n 1
S ＝0，则满足aS<0的正整数n的个数为( )
16 n n
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：由a≠0，S ＝0知d≠0，则S ＝·16＝8(a＋a)＝0，所以a＋a＝0，
1 16 16 8 9 8 9若d>0，则a<0，a>0，即当n≤8时，a<0，当n≥9时，a>0，
8 9 n n
又S ＝0，所以当n≤15时，S<0，当n≥17时，S>0，
16 n n
所以当9≤n≤15时，aS<0，满足条件的n有7个，
n n
若d<0，同理可得，当9≤n≤15时，aS<0，满足条件的n有7个．
n n
综上，当9≤n≤15时，aS<0，共有7个正整数满足题意，故选B.
n n
答案：B
