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限时跟踪检测(六) 一元二次不等式的解法
一、单项选择题
1．(2024·河北衡水中学调研)已知A＝{x|x2－3x－4≤0，x∈N}，B＝{x|2x2－x－6＞0，x∈Z}，则A∩B的真子集
个数为( )
A．2 B．3
C．7 D．8
2．(2024·广东中山模拟)已知两个集合A＝{x|y＝ln(－x2＋x＋2)}，B＝，则A∩B＝( )
A． B．
C．(－1，e) D．(2，e)
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是( )
A．{x|2<x<3}
B．
C．
D．{x|－3<x<－2}
4．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范
围为( )
A．(－1,1) B．
C． D．(0,2)
5．不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的大致图象为( )
6．不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值是( )
A．－5 B．－
C．－4 D．－3
7．(2024·河北保定模拟)若不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )
A． B．
C．(1，＋∞) D．
8．若不等式x2＋px＞4x＋p－3在0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( )
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)9．(2024·重庆调研)若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
二、多项选择题
10．若关于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是( )
A．(－2，－1) B．(－3，－6)
C．(2,4) D．
11．(2024·湖南长沙长郡中学月考)已知不等式x2＋ax＋b>0(a>0)的解集是{x|x≠d}，则下列四个结论中正确的是
( )
A．a2＝4b
B．a2＋≥4
C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x，x)，则xx>0
1 2 1 2
D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x，x)，且|x－x|＝4，则c＝4
1 2 1 2
三、填空题与解答题
12．不等式＞2的解集为________．
13．已知二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3，不等式f(x)≥m的解集的区间长度为6(规定：闭区间[a，b]的长度为b－
a)，则实数m的值是________．
14．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0)．
(1)若不等式的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为，求k的值；
(3)若不等式的解集为R，求k的取值范围；
(4)若不等式的解集为∅，求k的取值范围．
15．已知0＜θ＜，若cos2θ＋2msin θ－2m－2＜0恒成立，则实数m应满足的条件是________．
解析版
一、单项选择题
1．(2024·河北衡水中学调研)已知A＝{x|x2－3x－4≤0，x∈N}，B＝{x|2x2－x－6＞0，x∈Z}，则A∩B的真子集
个数为( )
A．2 B．3
C．7 D．8
解析：A＝{x|(x－4)(x＋1)≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤4，x∈N}＝{0,1,2,3,4}，
B＝{x|(2x＋3)(x－2)＞0，x∈Z}＝，∴A∩B＝{3,4}，其真子集个数为22－1＝3.
答案：B
2．(2024·广东中山模拟)已知两个集合A＝{x|y＝ln(－x2＋x＋2)}，B＝，则A∩B＝( )
A． B．
C．(－1，e) D．(2，e)解析：由题意，得A＝{x|－x2＋x＋2＞0}＝{x|－1＜x＜2}，B＝，故A∩B＝.
答案：B
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是( )
A．{x|2<x<3}
B．
C．
D．{x|－3<x<－2}
解析：∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是，∴a<0，方程ax2－bx－1＝0的两根为，，∴－＝＋，＝×，则a＝－
6，b＝－5.
∵x2－bx－a<0，
∴x2＋5x＋6<0，即(x＋2)(x＋3)<0，－3＜x＜－2.
∴不等式x2－bx－a＜0的解集是{x|－3<x<－2}．故选D．
答案：D
4．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范
围为( )
A．(－1,1) B．
C． D．(0,2)
解析：由题意，新定义x⊗y＝x(1－y), 那么(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)．因为不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对
于任意实数x恒成立，即(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x恒成立，化简得x2－x＞a2－a－1，因为(x2－x) ＝－，
min
所以只需a2－a－1＜－即可，解得－＜a＜，所以a的取值范围为.故选B．
答案：B
5．不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的大致图象为( )
解析：由题意，得解得∴f(x)＝－x2－x＋2，则函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，其大致图象为C．
答案：C
6．不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值是( )
A．－5 B．－
C．－4 D．－3
解析：∵当x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，则a≥－恒成立，又当x∈[1,3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时，
等号成立．∴－≤－4，∴a≥－4.故a的最小值为－4.
答案：C7．(2024·河北保定模拟)若不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )
A． B．
C．(1，＋∞) D．
解析：设f(x)＝x2＋ax－2，由Δ＝a2＋8＞0，知方程f(x)＝0恒有两个不等实根，且两根之积为负，所以方程
f(x)＝0必有一正根、一负根．
于是不等式在区间[1,5]上有解，只需满足f(5)＞0，即a＞－.
答案：A
8．若不等式x2＋px＞4x＋p－3在0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( )
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析：不等式 x2＋px＞4x＋p－3 可化为(x－1)p＋x2－4x＋3＞0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3] ＞
min
0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得
∴x＜－1或x＞3.
答案：D
9．(2024·重庆调研)若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
解析：原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a＜1；
当a＝1时，不等式的解集为{1}，此时符合要求；
当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1＜a≤3，
综上，实数a的取值范围是－4≤a≤3.
答案：B
二、多项选择题
10．若关于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是( )
A．(－2，－1) B．(－3，－6)
C．(2,4) D．
解析：∵不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，
∴方程(ax－b)(x－2)＝0的两实数根为和2，且即a＝2b<0，故选AD．
答案：AD
11．(2024·湖南长沙长郡中学月考)已知不等式x2＋ax＋b>0(a>0)的解集是{x|x≠d}，则下列四个结论中正确的是
( )
A．a2＝4b
B．a2＋≥4
C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x，x)，则xx>0
1 2 1 2
D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x，x)，且|x－x|＝4，则c＝4
1 2 1 2
解析：由题意，知Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b，所以A正确；
a2＋＝a2＋≥2＝4，当且仅当a2＝，即a＝时，等号成立，所以B正确；
由根与系数的关系，知xx＝－b＝－<0，所以C错误；
1 2由根与系数的关系，知x＋x＝－a，xx＝b－c＝－c，
1 2 1 2
则|x－x|＝
1 2
＝＝2＝4，
解得c＝4，所以D正确．
答案：ABD
三、填空题与解答题
12．不等式＞2的解集为________．
解析：原不等式可化为－2＞0，即＞0，即＞0，即(x－1)(x－4)＜0，解得1＜x＜4，∴原不等式的解集为{x|1
＜x＜4}．
答案：{x|1＜x＜4}
13．已知二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3，不等式f(x)≥m的解集的区间长度为6(规定：闭区间[a，b]的长度为b－
a)，则实数m的值是________．
解析：不等式f(x)≥m可化为x2－2x－3＋m≤0，令x2－2x－3＋m≤0的解集为{x|x≤x≤x}，则x －x ＝6，又∴(x
1 2 2 1 2
－x)2＝(x＋x)2－4xx＝36，∴4－4(m－3)＝36，解得m＝－5.
1 1 2 1 2
答案：－5
14．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0)．
(1)若不等式的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为，求k的值；
(3)若不等式的解集为R，求k的取值范围；
(4)若不等式的解集为∅，求k的取值范围．
解：(1)因为不等式的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，
所以k＜0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，
所以－3＋(－2)＝，解得k＝－.
(2)因为不等式的解集为，所以
解得k＝－.
(3)由题意，得
解得k＜－.
(4)由题意，得
解得k≥.
高分推荐题
15．已知0＜θ＜，若cos2θ＋2msin θ－2m－2＜0恒成立，则实数m应满足的条件是________．
解析：∵cos2θ＋2msin θ－2m－2＜0，
∴1－sin2θ＋2msin θ－2m－2＝－sin2θ＋2msin θ－2m－1＜0.
设x＝sin θ(0＜x＜1)，
则f(x)＝－x2＋2mx－2m－1.
由题意可知，0＜x＜1时，f(x)＜0恒成立．
当对称轴x＝m≤0时，f(x)在x∈(0,1)上单调递减，
则f(x)＜f(0)＝－2m－1≤0，
即－≤m≤0，
当对称轴0＜x＝m＜1时，f(x)≤f(m)＝－m2＋2m2－2m－1＝m2－2m－1＜0，解得1－＜m＜1＋，即0＜m＜1，
当对称轴x＝m≥1时，f(x)在x∈(0,1)上单调递增，
则f(x)＜f(1)＝－1＋2m－2m－1＝－2＜0，即m≥1.
综上所述，m≥－.
答案：m≥－
