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第二章 一元二次函数、方程和不等式综合检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（2024·福建莆田·三模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由解一元二次不等式解出集合 ，再由交集的运算求出最后结果即可.
【详解】由题意可得 ， ，则 .
故选：B.
2．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）若 ，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质以及反例即可求解.
【详解】对于A，因为 ，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，
所以 ，故A正确；
对于B，因为 ，不等式两边同时乘（或除以）同一个小于 的整式，不等号方向改变，
所以 ，故B错误；
对于C，因为 ，不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，所以 ，故C错误；
对于D，若 ， ，此时 ，故D错误.
故选：A.
3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭
载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万
台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，列出等式，再利用基本不等式求解判断即可.
【详解】依题意， ，而 ，
因此 ，当且仅当 时取等号，
所以 .
故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先化简集合A，B，再利用并集的运算求解.
【详解】解：因为 ，，
所以 ．
故选：B．
5．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】由不等式的性质可判断A,B,C，利用基本不等式 ，当且仅当 时等号成立，即可
判断D.
【详解】对于A，由 ， 可得 ，故A错误；
对于B，由 ， ， ，可得 ，故B错误；
对于C，若 ，且当 时，可得 为任意值，故C错误；
对于D，因为 ，当且仅当 时，等号成立，
即 ，故D正确.
故选：D.
6．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）设 ：实数 满足 ， ：一元二次方程“
”有两个负数解，则 是 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由命题 求出 的范围，利用充分条件与必要条件的概念判断.【详解】命题 ：一元二次方程有两个负数解，所以 ，解得 ，
所以 是 的充分不必要条件，
故选：A.
7．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在 中， 为线段 的中点， 为线段 上一点，
，过点 的直线分别交直线 ， 于 ， 两点．设 ， ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】B
【分析】由中点和三等分点得到 ，结合 ， ，得到
，
由三点共线得到 ，利用均值不等式中“1的代换”求得 的最小值.
【详解】因为 为线段 的中点，所以 ，又因为 ，所以
，
又 ， ，则 ，而 ， ， 三点共线，所以 ，即 ，
则
当且仅当 ，即 ， 时取等号．
故选：B．
8．（2024·全国·模拟预测）设 为 中最大的数.已知正实数 ，记 ，
则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据函数定义可知 ， ， ，再由基本不等式可得当 时， 取得
最小值2.
【详解】由 ，得 ， ， ，
所以 ，即 ，因为 ，所以 ；
由基本不等式可得 ，所以 ，
所以 ， ，
当 ，即 时， 取得最小值2.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数定义得出 ， ， ，再结合基本不等式
求得 .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一下·江西赣州·期中）已知 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由条件利用比差法比较 的大小，判断A，由条件推出 ，结合不等式性质判断B，再结合
不等式性质判断CD.
【详解】因为 ，
所以 ，所以 ，选项A错误；
因为 ， ，所以 ，选项B正确；
由 ， ，得 ，两边平方，得 ，选项C错误；
由 ，两边平方，得 ，即 ，选项D正确．
故选：BD．
10．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）关于 的不等式 的解集可能是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】BC
【分析】分情况讨论解不等式即可.
【详解】由 ，
得 ，
当 ，即 时，该不等式的解集为 或 ，
当 ，即 时，该不等式的解集为 或 ，当 ，即 时，该不等式的解集为 或 ，
故选：BC.
11．（2024·浙江绍兴·二模）已知 ， ， ，则（ ）
A． 且 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由 ，可得 ，即可判断 ，同理判断 ，判断A；利用基本不等式可判
断B，C，D；
【详解】对于A， ， ， ，则 ，故 ，同理可得 ，A正确；
对于B， ， ， ，
当且仅当 时取等号，B正确；
对于C， ， ， ，则 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，C错误；
对于D，由于 ，故 ，
当且仅当 时取等号，而 ，故 ，D正确，
故选：ABD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（23-24高一下·上海·开学考试）若对于任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是
.
【答案】
【分析】分 和 两种情况讨论即可得解.
【详解】①当 时，不等式恒成立，所以 符合要求；
②当 时，题意等价于 ，即 ，解得 ，
综上可知 .
故答案为： .
13．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于
的不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】由题意首先得出 的关系，进一步结合 即可求解.
【详解】由已知，不等式 的解集为 ，
故 ，且 ， 为方程 的两根，
所以 ，解得 ，故不等式 为 ，
即 ，解得 或 .
故答案为： ．
14．（2023·山西·模拟预测）已知 ，且 ，则 的最小值是 .
【答案】8【分析】通过对 变形可得 和 ，然后利用基本不等式可解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，
即 ，所以 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立.
故答案为：8
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）（2024·全国·二模）已知实数 ，满足 .
(1)求证： ；
(2)求 的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将 两边平方后利用基本不等式证明；
（2）将 变形后将条件代入，然后利用基本不等式求最值.
【详解】（1）由 得 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ；
（2）由已知 ，则 ，则
，
当且仅当 ，即 一个为 ，一个为 时等号成立.
所以 的最小值 .
16．（15分）（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设 ．
(1)若不等式 对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求 的最小值；
(3)解关于x的不等式 ．
【答案】(1)
(2)4
(3)答案见解析
【分析】（1）分 和 讨论，当 时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求
解；
（2）变形为 ，利用基本不等式求解可得；
（3）整理得 ，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨
论即可.
【详解】（1）由 恒成立得： 对一切实数x恒成立.
当 时，不等式为 ，不合题意；当 时， ，解得： ；
综上所述：实数m的取值范围为 ．
（2） ， ，
，
（当且仅当 ，即 时取等号）， 的最小值为4．
（3）由 得： ；
①当 时， ，解得： ，即不等式解集为 ；
②当 时，令 ，解得： ， ；
1）当 ，即 时，不等式解集为 ；
2）当 ，即 时，不等式解集为 ；
3）当 ，即 时，不等式可化为 ，
， 不等式解集为 ；
4）当 ，即 时，不等式解集为 ；
综上所述：当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 ．17．（15分）（22-23高二下·北京西城·期中）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山
区的交通现状，计划再修建一条连接两条公路、贴近山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为
，山区边界曲线为 ，计划修建的公路为 ，如图所示．已知M，N为 的两个端点，点 到 的距
离分别为20千米和5千米，点 到 的距离分别为4千米和25千米，分别以 所在的直线为x，y轴，
建立平面直角坐标系xOy．假设曲线 符合函数 （其中a，k为常数）模型．
(1)求a，k的值；
(2)设公路 与曲线 相切于点 ，点 的横坐标为 ．
①求公路 所在直线的方程；
②当 为何值时，公路 的长度最短?求如最短长度．
【答案】(1)
(2)① ；② ， 千米
【分析】（1）结合题意可得 ，计算即可得；
（2）①借助导数的几何意义计算即可得；②借助基本不等式计算即可得.
【详解】（1）由题意可得： ，解得 ；（2）①曲线 ， ，
曲线在 处的切线方程为 ，
即 ，
②切线与坐标轴的交点为 ，
公路 的长度 满足: ，
根据均值不等式， ，
当且仅当 ，即 时取等，
所以当 时，公路 的长度最短，最短长度为 千米．
18．（17分）（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知不等式 的解集为 ，函数
（ ，且 ）， （ ，且 ）．
(1)求不等式 的解集；
(2)若对于任意的 ，均存在 ，满足 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 或 ；
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式与方程的关系及一元二次不等式的解法，求出解集;
（2）由函数恒成立问题和存在性问题，得到 ，利用换元转化进行分类讨论求解 的范围.
【详解】（1）不等式 的解集为 ，即 是 的两个根，故 ， ，
∴ ，即为 ，解得 或 ，
∴不等式 的解集为 或 ．
（2）由题意可知 ，
， ，
令 ，则 ， ，对称轴方程为 ，
①若 ，即 时，当 时， ，即 ，
此时 在 上单调递减， ，
由 ，得 ；
②若 ，即 时，当 时， ，即 ，
此时 在 上单调递增， ，
由 ，得 ；
③若 ，即 时，当 时， ，即 ，
此时 在 上单调递增， ，
由 ，得 ，
综合①②③可知 ，即实数 的取值范围是 ．
19．（17分）（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）（1）已知 ，求 的最大值.
（2）已知 且 ，求 的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）令 ，把不等式转化为 ，结合基本不等式，即可求解；
（2）令 ，转化为 ，结合柯西不等式和基本不等式，即可求解.
【详解】
解：（1）由题意，令 ，解得 ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
（2）由题意，令 ，可得 ，
因为 ，可得 ，即 ，又由柯西不等式，可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，解得 ，所以实数 的最大值为 .
