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限时跟踪检测(五十) 圆与圆的位置关系及圆的综合问题
一、单项选择题
1．圆C ：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C ：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是( )
1 2
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(2024·安徽阜阳月考)圆x2＋y2－mx＋y＋m＝0在x轴上截得的弦长是它在y轴上截
得的弦长的2倍，则实数m的值是( )
A．－6－2 B．－6＋2
C．－3－ D．－3＋
3．若圆C：x2＋(y－4)2＝18与圆D：(x－1)2＋(y－1)2＝R2的公共弦长为6，则圆D的
半径为( )
A．5 B．2 C．2 D．2
4．(2024·北京朝阳区模拟)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O
为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的倾斜角为( )
A．150° B．135° C．120° D．30°
5．已知点P(6,0)，点A(1,1)，动点C满足OC·PC＝0(O为坐标原点)，过点A的直线被
动点C的轨迹曲线截得的所有弦中最短弦所在的直线方程为( )
A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝x－1 D．y＝－x＋1
6．(2024·甘肃兰州模拟)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称
为亚历山大时期数学三巨匠．他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数
λ(λ>0，且λ≠1)，那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点 C到点A(－
1,0)，B(1,0)的距离之比为，则点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为( )
A．2－ B.－
C．2 D.
7．(2024·陕西第一次大联考)已知圆C：x2＋y2－4x＋8y＝0关于直线3x－2ay－22＝0
对称，则圆C中以为中点的弦长为( )
A．2 B.
C. D．2
8．已知圆C ：x2＋y2－kx－y＝0和圆C ：x2＋y2－2ky－1＝0的公共弦所在的直线恒过
1 2
定点M，且点M在直线mx＋ny＝2上，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
9．(2024·江苏南通期末)已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为r，r(r<r)，若
1 2 1 2
两圆的一条公切线的方程为y＝(x＋3)，则＝( )
A. B．2 C. D．3
二、多项选择题
10．(2023·广东深圳二模)P是直线y＝2上的一个动点，过点P作圆x2＋y2＝1的两条切
线，A，B为切点，则( )
A．弦长|AB|的最小值为B．存在点P，使得∠APB＝90°
C．直线AB经过一个定点
D．线段AB的中点在一个定圆上
11．(2024·河北石家庄模拟)已知圆C ：(x－1)2＋(y－3)2＝11与圆C ：x2＋y2＋2x－2my
1 2
＋m2－3＝0，则下列说法正确的是( )
A．若圆C 与x轴相切，则m＝2
2
B．若m＝－3，则圆C 与圆C 相离
1 2
C．若圆C 与圆C 有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x＋(6－2m)y＋m2＋2＝0
1 2
D．直线kx－y－2k＋1＝0与圆C 始终有两个交点
1
三、填空题与解答题
12．若A为圆C ：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C ：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则
1 2
线段AB长度的最大值是________．
13．(2024·山西临汾模拟)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|＝|MB|，则直线y
＝2x－2被动点M的轨迹截得的弦长为________．
14．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.
(1)若直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明：无论m为何值，直线l都与
圆C相交；
(2)若过点P(1,0)的直线l′与圆C相交于A，B两点，求△ABC面积的最大值，并求此时
直线l′的方程．
高分推荐题
15．(2024·河北衡水中学阶段练习)如图为世界名画《蒙娜丽莎》．假设蒙娜丽莎微笑
时的嘴唇可看作半径为1的圆O的一段圆弧E，且弧E所对的圆周角为.设圆C的圆心C在
点O与弧E中点的连线所在直线上．若存在圆C满足弧E上存在四点过这四点作圆O的切
线，这四条切线与圆C也相切，则弧E上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为(
)
A．(0，－1] B．(0，]
C．(0，－1) D．(0，)
解析版
一、单项选择题
1．圆C ：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C ：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是( )
1 2A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
2．(2024·安徽阜阳月考)圆x2＋y2－mx＋y＋m＝0在x轴上截得的弦长是它在y轴上截
得的弦长的2倍，则实数m的值是( )
A．－6－2 B．－6＋2
C．－3－ D．－3＋
解析：圆心为，半径r＝，所以在x轴上截得的弦长为2，在y轴上截得的弦长为2，
则2＝4，即＝2，因为即m<0，所以解得m＝－6－2.
答案：A
3．若圆C：x2＋(y－4)2＝18与圆D：(x－1)2＋(y－1)2＝R2的公共弦长为6，则圆D的
半径为( )
A．5 B．2 C．2 D．2
解析：由得2x－6y＝4－R2，因为公共弦长为6，所以直线2x－6y＝4－R2经过圆C的
圆心(0,4)，即2×0－6×4＝4－R2，则R2＝28，所以圆D的半径为2.故选D.
答案：D
4．(2024·北京朝阳区模拟)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O
为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的倾斜角为( )
A．150° B．135° C．120° D．30°
解析：曲线y＝为圆x2＋y2＝2的上半圆，由题意，可得
△AOB的面积S＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝××sin∠AOB＝sin∠AOB，
当sin∠AOB＝1，即∠AOB＝90°时，
△AOB的面积取到最大值，
此时在Rt△AOB中易得O到直线l的距离OD＝1，
在Rt△POD中，易得sin∠OPD＝＝，可得∠OPD＝30°，所以直线l的倾斜角为150°.
答案：A
5．已知点P(6,0)，点A(1,1)，动点C满足OC·PC＝0(O为坐标原点)，过点A的直线被
动点C的轨迹曲线截得的所有弦中最短弦所在的直线方程为( )
A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝x－1 D．y＝－x＋1
解析：设C(x，y)，由OC·PC＝0得动点C的轨迹方程为x2＋y2－6x＝0，即(x－3)2＋y2
＝9，则动点C的轨迹曲线为圆，圆心为D(3,0)．又点A(1,1)在圆内，所以k ＝＝－，所以
AD
最短弦所在直线的斜率为2，所以所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.故选A.答案：A
6．(2024·甘肃兰州模拟)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称
为亚历山大时期数学三巨匠．他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数
λ(λ>0，且λ≠1)，那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点 C到点A(－
1,0)，B(1,0)的距离之比为，则点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为( )
A．2－ B.－
C．2 D.
解析：设C(x，y)，则＝，即＝，化简得(x－2)2＋y2＝3，所以点C的轨迹是以(2,0)为圆
心，r＝的圆，则圆心到直线x－2y＋8＝0的距离d＝＝2，所以点C到直线x－2y＋8＝0的
距离的最小值为2－.
答案：A
7．(2024·陕西第一次大联考)已知圆C：x2＋y2－4x＋8y＝0关于直线3x－2ay－22＝0
对称，则圆C中以为中点的弦长为( )
A．2 B.
C. D．2
解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y＋4)2＝20，圆心C(2，－4)，r＝2，∵圆C关于直
线3x－2ay－22＝0对称，∴直线过圆心C(2，－4)，即3×2＋8a－22＝0，解得a＝2.圆心C
与点(1，－1)的距离的平方为10，则圆C中以(1，－1)为中点的弦长为2＝2，故选D.
答案：D
8．已知圆C ：x2＋y2－kx－y＝0和圆C ：x2＋y2－2ky－1＝0的公共弦所在的直线恒过
1 2
定点M，且点M在直线mx＋ny＝2上，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：由圆C ：x2＋y2－kx－y＝0和圆C ：x2＋y2－2ky－1＝0，可得两圆的公共弦所
1 2
在的直线方程为k(x－2y)＋(y－1)＝0，令解得即点M(2,1)，又点M在直线mx＋ny＝2上，
所以2m＋n＝2.因为原点(0,0)到直线2x＋y＝2的距离d＝＝，所以的最小值为.故选C.
答案：C
9．(2024·江苏南通期末)已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为r，r(r<r)，若
1 2 1 2
两圆的一条公切线的方程为y＝(x＋3)，则＝( )
A. B．2 C. D．3
解析：不妨设两圆为圆C 和圆C ，圆C ：(x－a)2＋y2＝r，圆C ：(x－b)2＋y2＝r，其
1 2 1 2
中r>0，r>0，－3<a<b.由于两圆的公切线方程为x－2y＋3＝0，则r ＝＝，r ＝＝.由两圆
1 2 1 2
外切，得|C C |＝b－a＝r＋r＝＋，化简得b＝2a＋3，则＝＝2，故选B.
1 2 1 2
答案：B
二、多项选择题
10．(2023·广东深圳二模)P是直线y＝2上的一个动点，过点P作圆x2＋y2＝1的两条切
线，A，B为切点，则( )
A．弦长|AB|的最小值为
B．存在点P，使得∠APB＝90°C．直线AB经过一个定点
D．线段AB的中点在一个定圆上
解析：利用平面几何知识，易得|AB|＝2，sin＝，而|OP|的取值范围是[2，＋∞)，所以|
AB| ＝，(∠APB) ＝60°，A正确， B不正确；设P(t,2)，则以OP为直径的圆的方程为2
min max
＋(y－1)2＝＋1，则2＋(y－1)2－(x2＋y2)＝＋1－1，即tx＋2y＝1，则直线AB的方程为tx＋
2y＝1，所以直线AB过定点M，C正确；结合垂径定理和圆的定义可得AB的中点在以线
段OM为直径的定圆上，D正确．故选ACD.
答案：ACD
11．(2024·河北石家庄模拟)已知圆C ：(x－1)2＋(y－3)2＝11与圆C ：x2＋y2＋2x－2my
1 2
＋m2－3＝0，则下列说法正确的是( )
A．若圆C 与x轴相切，则m＝2
2
B．若m＝－3，则圆C 与圆C 相离
1 2
C．若圆C 与圆C 有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x＋(6－2m)y＋m2＋2＝0
1 2
D．直线kx－y－2k＋1＝0与圆C 始终有两个交点
1
解析：因为C ：(x－1)2＋(y－3)2＝11，C ：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，所以若圆C 与x轴相
1 2 2
切，则有|m|＝2，故A错误；当m＝－3时，|C C |＝＝2>2＋，两圆相离，故B正确；由两
1 2
圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程为4x＋(6－2m)y＋m2－2＝0，故C
错误；直线kx－y－2k＋1＝0过定点(2,1)，而(2－1)2＋(1－3)2＝5<11，故点(2,1)在圆C ：(x
1
－1)2＋(y－3)2＝11内部，所以直线kx－y－2k＋1＝0与圆C 始终有两个交点，故D正确．
1
答案：BD
三、填空题与解答题
12．若A为圆C ：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C ：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则
1 2
线段AB长度的最大值是________．
解析：圆C ：x2＋y2＝1的圆心为C (0,0)，半径r ＝1，圆C ：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆
1 1 1 2
心为C (3，－4)，半径r ＝2，∴|C C |＝5.又A为圆C 上的动点，B为圆C 上的动点，∴
2 2 1 2 1 2
线段AB长度的最大值是|C C |＋r＋r＝5＋1＋2＝8.
1 2 1 2
答案：8
13．(2024·山西临汾模拟)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|＝|MB|，则直线y
＝2x－2被动点M的轨迹截得的弦长为________．
解析：设点M(x，y)，依题意，＝·，整理得(x－3)2＋y2＝5，因此，点M的轨迹是以
C(3,0)为圆心，r＝为半径的圆．点C到直线2x－y－2＝0的距离d＝＝，所以直线y＝2x－
2被动点M的轨迹截得的弦长为2＝2＝.
答案：
14．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.
(1)若直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明：无论m为何值，直线l都与
圆C相交；
(2)若过点P(1,0)的直线l′与圆C相交于A，B两点，求△ABC面积的最大值，并求此时
直线l′的方程．
(1)证明：转化l的方程(m－2)x＋(1－m)·y＋m＋1＝0，可得m(x－y＋1)－2x＋y＋1＝0，
由解得
所以直线l恒过点(2,3)，
由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4，
得点(2,3)在圆内，
即直线l恒过圆内一点，
所以无论m为何值，直线l都与圆C相交．
(2)解：由C的圆心为(3,4)，半径r＝2，
易知此时直线l′的斜率存在且不为0，
故设直线l′的方程为x＝my＋1(m≠0)，
直线l′的一般方程为my－x＋1＝0，
圆心到直线l′的距离d＝＝，
所以|AB|＝2＝2，
所以S2＝2＝·，
令t＝，可得S2＝4t－t2，
当t＝2时，S＝4，
所以△ABC面积的最大值为2.
此时由2＝，
得7m2－8m＋1＝0，
得m＝1或m＝，符合题意，
此时直线l′的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.
高分推荐题
15．(2024·河北衡水中学阶段练习)如图为世界名画《蒙娜丽莎》．假设蒙娜丽莎微笑
时的嘴唇可看作半径为1的圆O的一段圆弧E，且弧E所对的圆周角为.设圆C的圆心C在
点O与弧E中点的连线所在直线上．若存在圆C满足弧E上存在四点过这四点作圆O的切
线，这四条切线与圆C也相切，则弧E上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为(
)
A．(0，－1] B．(0，]
C．(0，－1) D．(0，)
解析：如图，设弧E的中点为M，弧E所对的圆周角为，则弧E所对的圆心角为，圆
O的半径|OM|＝1，在弧E上取两点A，B，则∠AOB≤.分别过点A，B作圆O的切线，并交
直线OM于点D.当过点A，B的切线刚好是圆O与圆C的外公切线时，劣弧AB上一定还存
在点S，T，使过点S，T的切线为两圆的内公切线，则圆C的圆心C只能在线段MD上，且不包括端点．过点C，分别向AD，BD作垂线，垂足为R，P，则CR即为圆C的半径．
设线段OC交圆C于点N，则弧E上的点与圆C上的点的最短距离即为线段MN的长度．
在Rt△AOD中，|OD|＝＝≤＝＝＋1，则|MN|＝|OC|－|OM|－|CN|＝|OC|－1－|CR|<|OD|－1
－0≤＋1－1＝，即弧E上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为(0，)．故选D.
答案：D
