1.1 集合的概念（分层训练）
目录
1
题型一、元素与集合的关系................................................................................2
2
题型二、元素的互异性........................................................................................8
1
题型一、元素与集合的关系
1．在关系式1
2 ∈Q;❑√2∉R;0∈N
*;π ∈Z中正确的个数是（ ）
A．1
B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据元素与集合的关系及字母所代表的集合依次判断即可.
【详解】因为Q表示有理数集，所以1
2 ∈Q；
因为R表示实数集，所以❑√2∈R；
因为N
*表示正整数集，所以0∉N
*；
因为Z表示整数集，所以π ∉Z；
所以关系式1
2 ∈Q;❑√2∉R;0∈N
*;π ∈Z中正确的个数有1个，
故选：A
2．下列说法正确的有（ ）
①1
2 ∈Q； ②
； ③-1∈N； ④2+ ❑√2∈Q； ⑤4
2 ∉Z．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】A
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据元素与集合的关系判断各个小题即可.
【详解】1
2是有理数，故①正确；
不是正整数，故②错误；
-1不是自然数，故③错误；
不是有理数，故④错误；4
2 =2是整数，故⑤
错误．
故正确的有1 个．
故选：A．
3．下列关系中，正确的是（ ）
A．1∉N
B．1
2 ∈Z
C．❑√3∉Q D．0∈∅
【答案】C
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据自然数集、整数集与有理数集等概念求解.
【详解】解：由于1 是自然数，所以1∈N，故A 错误；
由于1
2不是整数，即1
2 ∉Z，故B 错误；
由于
是无理数，故❑√3∉Q，故C 正确；
由于∅不含任何元素，故0∉∅，故D 错误．
故选：C．
4．下列关系中，正确的有（ ）．
①
❑√3
3 ∈R；②❑√2∉Q；③|-3|∈N；④|- ❑√5|∈Q．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】C
【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用
【分析】根据元素与集合之间的关系结合常用数集逐项分析判断.
【详解】对于①：因为
为实数集，所以
❑√3
3 ∈R，正确；
对于②④：因为Q为有理数集，所以❑√2∉Q，|- ❑√5|= ❑√5∉Q，②正确，④错误；
对于③：因为N为自然数集，|-3|=3∈N，正确；
所以正确的有3 个.
故选：C.
5．下列关系中正确的个数是（ ）
①1
4 ∈Z；②❑√5∈R；③0∈N
*；④❑√π ∉Q.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】直接根据元素与特殊数集的关系进行判断.
【详解】①1
4 ∈Z错误；②❑√5∈R正确；③0∈N
*错误；④❑√π ∉Q正确，
故选：B.
6．以下四个关系式：0∈{0}，∅∈{0}，0.3∉Q，0∈N中，错误的个数是
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据元素和集合的关系判断即可.
【详解】N为自然数集，Q为有理数集.
根据元素和集合的关系可知：0∈{0}，0∈N，0.3∈Q，
集合和集合之间的关系不能用“∈”.
故∅∈{0}和0.3∉Q错误.
故选：B
7．下列关系中，正确的个数为（ ）
①❑√5∈R；②1
3 ∈Q；③0=∅；④0∉N；⑤π ∈Q；⑥-3∈Z.
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】D
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据元素与集合的关系逐个判断即可.
【详解】由元素与集合的关系，得：在①中，❑√5∈R，故①正确；
在②中，1
3 ∈Q，故②正确；在③中，0=∅不正确，故③错误；在④中，
0∈N，故④错误；
在⑤中，π ∉Q，故⑤错误；在⑥中，-3∈Z，故⑥正确.所以正确的个数为3.
故选：D.
8．已知集合A ={x|x (x +1)=0}，那么下列结论正确的是（ ）
A．0∈A
B．1∈A C．-1∉A D．0∉A
【答案】A
【知识点】列举法表示集合、判断元素与集合的关系
【分析】根据题意，求得
，结合元素与集合的关系，逐项判定，即可求
解.
【详解】由方程
，解得x =0或x =-1，所以
，
所以0∈A，1∉A，-1∈A.
故选：A.
9．给出下列6 个关系：①
❑√2
2 ∈R，②❑√3∈Z，③0∉N
*，④❑√4∈N，⑤
π ∉Q，⑥|-2|∉Z.其中正确命题的个数为（ ）
A．4
B．2
C．3
D．5
【答案】A
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据R，Z，N
*，N，Q，这几个常用数集的含义判断即可.
【详解】对于①，因为
❑√2
2 为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以
❑√2
2 ∈R，所以①正确；
对于②，因为
是无理数，所以❑√3∉Z，所以②错误；
对于③，因为0不是正整数，所以0∉N
*，所以③正确；
对于④，因为❑√4 =2∈N，所以④正确；
对于⑤，因为π是无理数，所以π ∉Q，所以⑤正确；
对于⑥，因为|-2|=2∈Z，所以⑥错误.
故选：A.
10．已知数集A 、B满足：A ∩B = {1,2,3}，A ∪B = {1,2,3,4,5}，若4∉A，则一定
有：（ ）.
A．5∈A
B．5∉A
C．4∈B
D．4∉B
【答案】C
【知识点】判断元素与集合的关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算
【分析】借助交集与并集的性质推导即可得.
【详解】由A ∩B = {1,2,3}，A ∪B = {1,2,3,4,5}，
故4∈A、4∉B或4∈B、4∉A，
由4∉A，故4∈B，故C 正确，D 错误；
同理，5∈A、5∉B或5∈B，5∉A，故A、B 错误.
故选：C.
11．下列关系中正确的个数为（ ）
①1
3 ∈Q，②❑√2∉R，③
，④N Z
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系
【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.
【详解】因为1
3是有理数，❑√2是实数，{0}中含有元素不是空集，自然数真包含
于整数集，
所以①正确，②错误，③错误，④正确.
故选：B
12．下列说法正确的有（ ）
①1∈N；②❑√2∉N
*；③3
2 ∈Q；④3+ ❑√6∈R；⑤π ∈Q
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】D
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可.
【详解】1 是自然数，故1∈N，故①正确；
❑√2不是正整数，故❑√2∉N
*，故②正确；
3
2是有理数，故3
2 ∈Q，故③正确；
3+ ❑√6是实数，故3+ ❑√6∈R，故④正确；
π是无理数，故π ∉Q，故⑤错误.
所以正确的说法有①②③④共4 个.
故选：D.
13 ．（多选题）已知集合A ={x|x =3k -1,k ∈Z}，则下列表示正确的是
（ ）
A．-1∉A B．-11∉A C．2∈A
D．-34∈A
【答案】BCD
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】利用元素与集合的关系计算即可.
【
详
解
】
易
知
k =0⇒x =-1⇒-1∈A，
k =1⇒x =2⇒2∈A，
k =-11⇒x =-34⇒-34∈A，
令3k -1=-11⇒k =- 10
3 ∉Z，
即B、C、D 正确，A 错误；
故选：BCD
14．（多选题）已知不超过5 的实数组成的集合为M，a= ❑√2+ ❑√3，则（ ）
A．a∈M B．a+1∉M C．1
a ∈M
D．a
2∉M
【答案】ACD
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据题意，利用元素与集合的关系，逐个分析判断即可
【详解】对于A，因为a= ❑√2+ ❑√3<❑√4+ ❑√4 = 4<5，所以a∈M，所以A 正确，
对于B，因为a+1= ❑√2+ ❑√3+1<❑√4 + ❑√4 +1= 4 +1=5，
所以a+1∈M，所以B 错误，
对于C，因为a= ❑√2+ ❑√3，所以1
a =
1
❑√2+ ❑√3 =
❑√3- ❑√2
(❑√3+ ❑√2)(❑√3- ❑√2) = ❑√3- ❑√2<5，
所以1
a ∈M，所以C 正确，
对于D，因为a= ❑√2+ ❑√3，所以a
2=(❑√2+ ❑√3)
2=5+2❑√6>5，
所以a
2∉M，所以D 正确.
故选：ACD
15．（多选题）判断下列关系正确的是（ ）
A．π ∈R
B．❑√7∈Q C．-1∉Z D．0∈N
【答案】AD
【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用
【分析】由常见数集符号定义可得答案.
【详解】A 选项，π是无理数，也是实数，故π ∈R，A 正确；
B 选项，❑√7是无理数，不是有理数，故❑√7∉Q，B 错误；
C 选项，-1是整数，故-1∈Z，C 错误；
D 选项，0 是自然数，故0∈N，D 正确.
故选：AD.
2
题型二、元素的互异性
1．集合{x -2, x
2- 4,0}中的x不能取的值的个数是
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【知识点】利用集合元素的互异性求参数
【分析】根据集合元素的互异性，得到不等式组，可以求出x不能取的值，就可以确定不
能取值的个数.
【详解】由题意可知：{
x -2≠0
x
2- 4≠0
x -2≠x
2- 4
⇒x≠2且x≠-2且x≠-1，故集合{x -2, x
2- 4,0}中
的x不能取的值的个数是3 个，故本题选B.
2．（多选题）若集合A ={a
2+2a，3a+2，8},则实数a的取值可以是（ ）
A．2
B．3
C．- 4
D．5
【答案】BD
【知识点】利用集合元素的互异性求参数
【分析】根据集合中元素的互异性求解.
【详解】集合A ={a
2+2a，3a+2，8}，则{
a
2+2a≠8
3a+2≠8
a
2+2a≠3a+2
，解得a≠- 4 ,a≠2,a≠-1，
知BD 符合.
故选：BD.
3．（多选题）已知x∈{1,2, x
2- x}，则实数x为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．
【答案】AB
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】根据元素与集合的关系、元素的互异性可求得x的值.
【详解】当x =1时，x
2- x =0，集合的元素满足互异性，合乎题意；
当x =2时，x
2- x =2，集合的元素不满足互异性，不合乎题意；
当x
2- x = x时，解得x =0或x =2（舍），集合的元素满足互异性，合乎题意.
综上所述，x =0或1.
故选：AB.
4．（多选题）若3∈{m-1,3m,m
2-1}，则实数m 的可能取值为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．-2
【答案】ABD
【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据元素和集合的关系、集合元素的互异性求得正确答案.
【详解】三个元素中有且只有一个是3，要分三类讨论．
当m-1=3时，m= 4，此时3m=12，m
2-1=15，故m= 4符合题意；
当3m=3时，m=1，此时m-1=m
2-1=0（注意检验），不满足集合中元素的互异性，故
舍去；
当m
2-1=3时，m=±2，经检验m=±2符合题意．
综上可知，m= 4或m=±2．
故选：ABD
5．已知集合A ={1,a
2}，若a∈A，求a 的值为 .
【答案】0
【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数
【解析】由集合A ={1,a
2}，根据a∈A，由a=1或 a=a
2求解.
【详解】已知集合A ={1,a
2}，
因为a∈A，
所以a=1或 a=a
2，即a=1或 a=0，
当a=1时，A = {1,1}，不成立；
当a=0时，
，成立；
所以a 的值为0
故答案为：0
6．若a+2∈{1,3,a
2}，a的值为 .
【答案】2
【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可.
【详解】因为a+2∈{1,3,a
2}，
所以a+2=1或3 或a
2，
当a+2=1时，a=-1，此时集合中元素有1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当a+2=3时，a=1，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当a+2=a
2时，解得a=2或a=-1（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意.
故答案为：2
7．若集合A = {1,a}，B = {3,b}，且A = B，则a+b= .
【答案】4
【知识点】根据集合相等关系进行计算
【分析】根据集合相等，即两个集合的元素相同，即可求解.
【详解】∵A = B，∴集合
中的元素相同，
故a=3,b=1，则a+b= 4.
故答案为：4
8．已知集合S ={a
2,a,0}，若1∈S，则实数a= .
【答案】-1
【知识点】利用集合元素的互异性求参数
【分析】根据1∈S得a
2=1或a=1，分类讨论结合集合中元素的互异性求解即可.
【详解】由1∈S，可得a
2=1或a=1，
当a=1时，集合S = {1,1,0}不满足集合的互异性；
当a
2=1时，a=-1或1（舍去），集合S = {1,-1,0}，符合题意.
综上，a=-1.
故答案为：-1.
9．已知集合S ={a
2,2a,0}，若
，则实数a= .
【答案】-2
【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数
【分析】利用元素和集合的关系、集合的性质分析运算即可得解.
【详解】解：由题意，∵集合S ={a
2,2a,0}，
∴由集合中元素的互异性可知：a
2≠2a≠0，可得：a≠2且a≠0.
又∵4∈S
∴a
2= 4或2a= 4，解得：a=-2或a=2（舍去）.
综上知，实数a=-2.
故答案为：-2.
10．已知集合A中有三个元素：a-3，2a-1，a
2+1，集合B中也有三个元素：0，1，x．
(1)若-3∈A，求实数a的值；
(2)若x
2∈B，求实数x的值．
【答案】(1)a的值为0 或-1
(2)x的值为-1
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】（1）若-3∈A，则
或
，再结合集合中元素的互异性，能求
出a的值．
（2）当x取0，1，-1时，都有x
2∈B，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数x的值．
【详解】（1）集合A中有三个元素：a-3，2a-1，a
2+1，-3∈A，
所以a-3=-3或，2a-1=-3
解得a=0或a=-1，
当a=0时，A = {-3,-1，1}，成立；
当a=-1时，A = {-3,-1，1}，成立．
所以a的值为0 或-1．
（2）集合B中也有三个元素：0，1，x，x
2∈B，
当x取0，1，-1时，都有x
2∈B，
∵集合中的元素都有互异性，∴x≠0，x≠1，
∴x =-1．
∴实数x的值为-1．
