专题1.2 常用逻辑用语
1.2.1 充分条件和必要条件
知识点梳理
充分条件与必要条件和集合的联系，设p:x∈A，q:x∈B则
p 是q 的充分条件
p⇒q
A⊆B
p 是q 的必要条件
q⇒p
A⊇B
p 是q 的充要条件
p⇒q且q⇒p
A = B
p 是q 的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
A⫋B
p 是q 的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
B⫋A
p 是q 的既不充分也不必要条
件
p⇏q且q⇏p
A⊈B且B⊈A
典型例题
例1. “0<a<1,0<b<1”是“方程a x
2=1−by
2表示的曲线为椭圆”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
例2.设⃗a,⃗b是向量,则(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0是“⃗a =−⃗b或⃗a =⃗b”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
例3.设甲:sin
2α+sin
2β=1,乙: sinα+cosβ=0,则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
随堂演练
1.已知平面α,β,γ,α∩β=l,则“l⟂γ”是“α⟂γ且β⟂γ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知向量⃗a =(2,4),⃗b=(3, 1)
−
,则“k= ❑√2”是“(⃗a+k⃗b) (
⟂⃗a−k⃗b)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.记Sn为数列{an}的前n项和, 设甲:{an}为等差数列; 乙:{
Sn
n )为等差数列, 则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4.已知f(x)是定义在[0,1]上的函数，那么“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数
f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲: q>0，乙: {Sn}是递增数列，则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6.已知α,β∈R，则“存在 k∈Z使得α=kπ+( 1
−)
kβ”是“sinα=sinβ”的(
)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7. 设x∈R,则“sinx=1”是“cosx=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8.若xy≠0,则“x+y=0”是“y
x +x
y = 2
−”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
1.2.2 全称量词命题和存在量词命题
知识点梳理
1.全称量词和存在量词
全称量词
存在量词
量词
所有的、任意一个
存在一个、至少有一个
符号
∀
∃
命题
含有全称量词的命
题是全称量词命题
含有存在量词的命题是存在量词命题
命题形
式
“对M 中任意一个x，
p(x)成立”，可用符号
简记为“∀x∈M，p(x)”
“存在M 中的元素x，p(x)成立”，
可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”
2.全称量词命题和存在量词命题的否定：
（1）全称量词命题的否定：全称量词命题∀x∈M，p(x)，否定为：∃x∈M，
p(x)。
（2）存在量词命题的否定：存在量词命题∃x∈M，p(x)，否定为：∀x∈M，
p(x)。
典型例题
例1.下列命题为真命题的是( )
A.1>0且3>4
B.1>2或4>5
C.∃x∈R,cosx>1
D.∀x∈R,x
2≥0
例2.已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x
3=x,则( )
A.p和q都是真命题
B.¬ p和q都是真命题
C.p和¬ q都是真命题
D.¬ p和¬ q都是真命题
例3.命题“∀x∈R,∃n∈N
∗,n>x
2”的否定形式是( )
A.∀x∈R,∀n∈N
∗,n≤x
2
B.∃x∈R,∃n∈N
∗,n<x
2
C.∃x∈R,∀n∈N
∗,n≤x
2
D.∃x∈R,∀n∈N
∗,n<x
2
随堂演练
1.下列命题中的假命题是( )
A.∀x∈R,(
1
2)
x
>0 B.∃x∈R,x
2>1
x
C.∀x∈R,2
|x|>1 D.∃x∈R,tan x>1
2.命题 p:∀x>1,❑√x+2x
3
−>0, 命题 q:∃x∈R,2x
2
4
−x+3=0,则( )
A.p真q真 B.p假q假 C.p假q真 D.p真q假
3.设命题P:∃n∈N ,n
2>2
n, 则¬ P为( )
A.∀n∈N ,n
2≤2
n B.∃n∈N ,n
2≤2
n
C.∀n∈N ,n
2≤2
n D.∃n∈N ,n
2=2
n
4.命题“∀a>1,函数f(x)=x
a在[a,+∞)上单调递增”的否定为( )
A.∃a>1,函数f(x)=x
a在[a,+∞)上单调递减 B.∃a>1,函数f(x)=x
a在[a,+∞)
上不单调递增
C.∃a≤1, 函数f(x)=x
a在[a,+∞)上单调递减 D.∃a≤1, 函数f(x)=x
a在
[a,+∞)上不单调递增
5.已知命题p：∃x∈R，x2﹣ax+1＝0，命题q：∀x∈[0，3]，x2﹣ax﹣a+1≥0．若命题p 为真命
题，则a 的取值范围为 ；若p 是假命题，q 是真命题，则实数a 的取值范围为
．
6.命题p：∀x∈[1，2]，a≤x2，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若p，q 都为真命题，求实
数a 的取值范围．
7.已知命题p：∀2≤x≤3，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2a＝0．
（1）若命题￢p 为假命题，求实数a 的取值范围；
（2）若命题p 和￢q 均为真命题，求实数a 的取值范围．
8.已知命题p：“∀x∈R，使得2ax2+ax+1＞0”．
（1）写出命题p 的否定形式￢p；
（2）若命题￢p 是一个假命题，求实数a 的取值范围．
