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专题 1.3 常用逻辑用语-重难点题型精讲
1．命题及相关概念
2．充分条件与必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
3. 充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此
时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
4．全称量词与全称量词命题5.存在量词与存在量词命题
6．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
7．命题的否定与原命题的真假
一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．
【题型1 充分、必要、充要条件的判断】
【方法点拨】
(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p q、q p和p q是否成立，最后得出结论．
(2)命题判断法：
⇒ ⇒ ⇔
①若p q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若p q，则p是q的充要条件．
⇒
③若p q，且q⇒p，则称p是q的充分不必要条件．
⇔
④若p⇒q，且q p，则称p是q的必要不充分条件．
⇒
⑤若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
⇒
【例1】（2022春•扬州期末）已知a R，则“a＞0”是“a2＞1”的（ ）
A．充分不必要条件 ∈ B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1 1
【变式1-1】（2022•普陀区二模）“x＞y＞0”是“x− ＞y− ”的（ ）
x yA．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【变式1-2】（2022春•焦作期末）已知p：x2﹣4x﹣12＜0，q：log x＜2，则p是q的（ ）
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2022•浦东新区二模）“log a＞log b”是“a＞b”的（ ）
2 2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】
【方法点拨】
根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，
将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
【例2】（2022春•雨花区校级月考）已知p：√x−1＞2，q：m﹣x＜0，若p是q的充分不必要条件，则
m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m＞3 C．m＜5 D．m＞5
【变式2-1】（2022春•郑州期末）若不等式|x﹣2|＜a成立的一个充分条件为0＜x＜1，则实数a的取值范
围是（ ）
A．（﹣2，+∞） B．[﹣2，+∞） C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【变式2-2】（2022春•湖北月考）已知集合A＝{x|m﹣3＜x＜m+2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0），若“x A”是
“x B”的必要不充分条件，则m的取值范围是（ ） ∈
A．∈（1，2） B．（﹣1，0） C．[1，2] D．[﹣1，0]
【变式2-3】（2022•5月份模拟）已知p：“x2﹣mx＜0”，q：“lgx＜0”，若p是q的必要不充分条件，
则实数m的取值范围是（ ）
A．[0，+∞） B．（0，+∞） C．[1，+∞） D．（1，+∞）
【题型3 全称（存在）量词命题的否定】
【方法点拨】
改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量，再对量词进行改写；
否定结论：对原命题的结论进行否定.
【例3】（2020秋•青岛期末）命题“对 x R，都有sinx≤1”的否定为（ ）
A．对 x R，都有sinx＞1 ∀ ∈ B．对 x R，都有sinx≤﹣1
C． x 0∀ R∈，使得sinx 0 ＞1 D． x∀0 R∈，使得sinx 0 ≤1
∃ ∈ ∃ ∈【变式3-1】（2020秋•江阴市校级期中）命题“ x
0
N，x
0
2＞2❑ x 0”的否定是（ ）
A． x N，x2＞2x B． x N，x2≤2x C∃．∈x N，x2≤2x D． x N，x2＝2x
【变式∀3-2∈】（2021秋•武江区∃校∈级期末）全称命题：∀ ∈x R，x2+5x＝4的否∃定∈是（ ）
A． x R，x2+5x＝4 B． ∀x ∈R，x2+5x≠4
C．∃x∈R，x2+5x≠4 D．∀以上∈ 都不正确
【变式∃3-∈3】（2021•惠州模拟）命题“存在实数x，使x2+x﹣1＜0”的否定为（ ）
A．对任意实数x，都有x2+x﹣1≥0
B．不存在实数x，使x2+x﹣1≥0
C．对任意实数x，都有x2+x﹣1＜0
D．存在实数x，使x2+x﹣1≥0
【题型4 全称（存在）量词命题的真假判断】
【方法点拨】
判断全称量词命题真假的方法：要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学
过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．
判断存在量词命题真假的方法：判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的
存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命
题是假命题．
【例4】（2021春•湖北月考）下列命题中，正确的是（ ）
A． x R，2x＞x2
∀ ∈ π
B．∃x∈(0， )，sinx+cosx＝1
2
C． x （0，1），log x＞x
2
D．∃x∈R，x2+x+2＞0
【变式∀4-1∈】（2021秋•烟台期末）给出的四个命题，其中正确的是（ ）
A． x R，x 2+2x +2＝0 B． x N，x3＞x2
0 0 0
C．若∃ x∈＞1，则x2＞1 D．∀若∈a＞b，则a2＞b2
【变式4-2】（2021秋•巴宜区校级期末）对于两个命题：① x R，﹣1≤sinx≤1，② x R，sin2x+cos2x＞
1，下列判断正确的是（ ） ∀ ∈ ∃ ∈
A．①假②真 B．①真②假 C．①②都假 D．①②都真
【变式4-3】（2022春•荆州校级月考）下列结论中正确的是（ ）
A． n N*，2n2+5n+2能被2整除是真命题
B．∀n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题
∀ ∈C． n N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题
D．∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命题
【题型∃5 ∈ 与全称（存在）量词命题有关的参数问题】
【方法点拨】
此类问题本质是恒成立问题或有解问题，求解时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化得到关于参数
的方程或不等式（组），再通过解方程或不等式（组）求出参数的值或取值范围.
【例5】（2022•齐齐哈尔二模）若命题“ a [﹣1，3]，ax2﹣（2a﹣1）x+3﹣a＜0”为假命题，则实数x
的取值范围为（ ） ∃ ∈
5
A．[﹣1，4] B．[0， ]
3
5 5
C．[−1，0]∪[ ，4] D．[−1，0)∪( ，4]
3 3
【变式5-1】（2022•青岛一模）若命题“ x R，ax2+1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＞0 B．a≥0 ∀ ∈ C．a≤0 D．a≤1
x
【变式5-2】（2021秋•安康期末）已知命题“存在x （3，27），使得log x+ −m＞0”是假命题，则
3 3
∈
m的取值范围是（ ）
A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．[12，+∞） D．（12，+∞）
【变式5-3】（2021秋•抚州期末）若命题“对任意x （﹣∞，0），使得x2﹣2ax+4≥0成立”是真命题，
则实数a的取值范围是（ ） ∈
A．[﹣2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，2]
【题型6 双变量“存在性或任意性”问题】
【方法点拨】
解决双变量存在性或任意性问题，关键就是将含有全称量词或存在量词的条件等价转化为两个函数值域之
间的关系或两个函数最值之间的关系，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.
【例6】（2022春•成都期末）若存在x （﹣1，1]，使得不等式ex﹣ax＜a，则实数a的取值范围是
． ∈
【变式 6-1】（2021 秋•海淀区校级期末）已知函数 f（x）＝log x，g（x）＝2x+a，若存在
2
1
x ，x ∈[ ，2]，使得f（x ）＝g（x ），则a的取值范围是 ．
1 2 2 1 2
【变式6-2】（2020•如皋市校级模拟）已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣2a，若存在x （﹣∞，a]，使f（x ）
0 0
≥0，则实数a的取值范围为 ． ∈1
【变式6-3】（2022春•东安区校级期中）对任意m [ ，e2]，都存在x ，x （x ，x R，x ≠x ），使得
1 2 1 2 1 2
e
∈ ∈
ax
1
−ex 1=ax
2
−ex 2=mlnm﹣m，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是 ．
