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专题1.2 集合-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022•广州三模）若a {1，3，a2}，则a的可能取值有（ ）
A．0 B．0，1 ∈ C．0，3 D．0，1，3
【解题思路】集合元素满足互异性，一一排除即可．
【解答过程】解：集合元素要满足互异性，a＝0时，该集合为{1，3，0}符合，a＝3时，该集合为{1，
3，9}符合，其他均不符合．
故选：C．
2．（5分）（2022•天心区校级模拟）已知集合A＝{0，1}，则集合B＝{x﹣y|x A，y A}中元素的个数是
（ ） ∈ ∈
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】根据题意，求出x﹣y值，即可得解．
【解答过程】解：∵集合A＝{0，1}，集合B＝{x﹣y|x A，y A}，
当x＝0，y＝0时，则x﹣y＝0， ∈ ∈
当x＝0，y＝1时，则x﹣y＝﹣1，
当x＝1，y＝0时，则x﹣y＝1，
当x＝1，y＝1时，则x﹣y＝0，
综上，B＝{﹣1，0，1}，
所以B中元素的个数是3．
故选：C．
3．（5分）（2022•新疆模拟）已知集合A＝{x|x2＜3，x N}，则A的真子集共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个∈ D．7个
【解题思路】可得出集合A＝{0，1}，然后可得出集合A的真子集个数．
【解答过程】解：∵A＝{x|x2＜3，x N}＝{0，1}，
∴A有22﹣1个真子集，即3个真子集∈ ．
故选：C．
4．（5分）（2022春•封丘县校级期末）已知集合 A＝{x|﹣2≤x≤1}，B＝{x|x≤0或x＞1}，则A∩B＝（
）
A．[﹣2，+∞） B．[﹣2，0] C．（0，1] D．（0，2]【解题思路】直接进行交集运算即可．
【解答过程】解：由题可知A∩B＝[﹣2，0]．
故选：B．
5．（5分）（2022春•章贡区校级期中）设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围
为（ ） ⊆
A．a≥2 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤2
【解题思路】把集合的包含关系，利用数轴求解即可．
【解答过程】解：∵A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，A B，
则画出数轴如下， ⊆
∴a≥2，
故选：A．
6．（5分）（2022春•琼海校级期末）已知集合A＝{x|x＜﹣2或x＞3}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
3}，则（ A）∩B＝（ ）
R
A．{﹣1，∁0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}
C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}
【解题思路】根据已知条件，结合补集的定义，先求出 A＝{x|﹣2≤x≤3}，再结合交集的定义，即可
R
求解． ∁
【解答过程】解：∵集合A＝{x|x＜﹣2或x＞3}，
∴ A＝{x|﹣2≤x≤3}，
R
又∁∵B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
∴（ A）∩B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．
R
故选∁：B．
7．（5分）（2022•岳阳县模拟）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若A∩（ B）有三个元
R
素，则实数m的取值范围是（ ） ∁
A．[3，4） B．[1，2） C．[2，3） D．（2，3]
【解题思路】由集合B可得 B，又由A∩（ B）有三个元素，由交集的意义分析可得 m的取值范围，
R R
即可得答案． ∁ ∁
【解答过程】解：∵集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，∴ B＝{x|x≤m}，
R
若∁A∩（ B）有三个元素，则有2≤m＜3，
R
即实数m∁的取值范围是[2，3）；
故选：C．
8．（5分）（2022春•六枝特区期中）已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，则图中阴影
部分表示的集合为（ ）
A．[﹣2，2] B．（﹣2，2] C．（﹣2，2） D．[﹣2，2）
【解题思路】根据已知条件，结合交集和补集的运算，即可求解．
【解答过程】解：∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，
∴A∩B＝{x|2≤x＜3}，
∴ （A∩B）＝{x|﹣2＜x＜2}．
B
故∁选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春•增城区期末）以下满足{0，2，4} A {0，1，2，3，4}，则A＝（ ）
A．{0，2，4} B．{0，1，3，4} C．{0，⊆1，⫋2，4} D．{0，1，2，3，4}
【解题思路】集合A一定要含有0，2，4三个元素，且至少要多一个元素，多的元素只能从 1、3中选，
根据要求写出集合即可．
【解答过程】解：A可以为{0，1，2，4}，{0，2，3，4}，{0，2，4}．
故选：AC．
10．（5分）（2021秋•虎林市校级期末）已知集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{x|﹣1≤x≤2}，则下列结论正
确的是（ ）
A．M N B．N M
C．M∪⊆N＝{﹣1，0，1，2} D．M⊆∩（
R
N）＝
【解题思路】根据集合的基本运算即可求解． ∁ ∅
【解答过程】解：∵M＝{﹣1，0，1}，N＝{x|﹣1≤x≤2}，
∴M N，∴A正确，B错误，
⊆∵M∪N＝{x|﹣1≤x≤2}，∴C错误，
∵M N，∴M∩（ N）＝ ，∴D正确，
R
故选⫋：AD． ∁ ∅
11．（5分）（2021秋•佛山月考）设集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+1，x R}，B＝{x|1＜x＜5，x R}，则下列选
项中，满足A∩B＝ 的实数a的取值范围可以是（ ） ∈ ∈
A．{a|0≤a≤6} ∅ B．{a|a≤2或a≥4} C．{a|a≤0} D．{a|a≥6}
【解题思路】由A∩B＝ ，得到a﹣1≥5或a+1≤1，由此能求出实数a的取值范围．
【解答过程】解：∵集合∅A＝{x|a﹣1＜x＜a+1，x R}，B＝{x|1＜x＜5，x R}，
满足A∩B＝ ， ∈ ∈
∴a﹣1≥5或∅a+1≤1，
解得a≥6或a≤0．
∴实数a的取值范围可以是{a|a≤0}或{a|a≥6}．
故选：CD．
12．（5分）（2021秋•辽宁月考）已知集合A＝{x|﹣7＜x＜﹣3}，B＝{x|a﹣5＜x＜1﹣2a}，下列说法正确
的是（ ）
A．不存在实数a使得A B
B．当a＝4时，B A ⊆
C．当B （
R
A）⊆时，a的取值范围是a≥2
D．当2＜⊆a＜∁3时，B A
【解题思路】当a＝﹣⊆10时可判断选项A错误；当a＝4时，化简B＝ ，故选项B正确；由B （
R
A）
知A∩B＝ ，从而分三类讨论解不等式即可；由2＜a＜3知B＝ ，故∅选项D正确． ⊆ ∁
【解答过程∅】解：当a＝﹣10时，B＝{x|﹣15＜x＜21}， ∅
故A B，故选项A错误；
当a＝⊆4时，B＝{x|﹣1＜x＜﹣7}＝ ，
故B A，故选项B正确； ∅
∵B⊆（
R
A），∴A∩B＝ ，
∴a﹣⊆5≥∁1﹣2a或﹣3≤a﹣∅5＜1﹣2a或a﹣5＜1﹣2a≤﹣7，
解得，a≥2，故选项C正确；
∵2＜a＜3，
∴a﹣5＞1﹣2a，∴B＝ ，
B A，故选项D正确；∅
⊆故选：BCD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022春•尖山区校级期中）已知集合A＝{x R|2a≤x≤a+3}，B＝{x R|x＜﹣1或x＞4}．若
A B，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣ 4 ）∪（ 2 ， ∈ + ∞） ． ∈
【⊆解题思路】对集合A＝ ，A≠ 两种情况讨论，根据集合的子集关系建立不等式，由此即可求解．
【解答过程】解：当A＝∅时，满∅足A B，此时2a＞a+3，解得a＞3，
∅ {2⊆a≤a+3 { 2a≤a+3
当A≠ 时，要满足A B，只需满足 或 ，
2a＞4 a+3＜−1
∅ ⊆
解得2＜a≤3或a＜﹣4，
综上，实数a的范围为（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．
x−4
14．（5分）（2022春•利辛县校级月考）若集合A={x| ＜0}，B＝{x|2x+3＜0}，则A∩（
R
B）＝
x+6
∁
3
{x|− ≤x＜4} ．
2
【解题思路】求出集合A，B，利用补集、交集定义能求出结果．
x−4 3
【解答过程】解：∵A={x| ＜0}={x|−6＜x＜4}，B={x|2x+3＜0}={x|x＜− }，
x+6 2
3
∴ B＝{x|x≥− }，
U
2
∁
3
∴A∩（ B）={x|− ≤x＜4}．
R
2
∁
3
故答案为：{x|− ≤x＜4}．
2
15．（5分）（2021秋•太原月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝
A，则实数m的取值范围是 （ 0 ， 3 ] ．
{m+1≤2m−1
【解题思路】推导出B A，当B＝ 时，m+1＞2m﹣1，m＜2，当B≠ 时， m+1≥−2 ，由此能求
2m−1≤5
⊆ ∅ ∅
出实数m的取值范围．
【解答过程】解：∵集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，A∪B＝A，
∴B A，
当B⊆＝ 时，m+1＞2m﹣1，m＜2，
∅{m+1≤2m−1
当B≠ 时， m+1≥−2 ，解得2≤m≤3，
2m−1≤5
∅
综上，实数m的取值范围是（﹣∞，3]．
故答案为：（﹣∞，3]．
16．（5分）（2021秋•碑林区校级期中）设非空数集M同时满足条件①M中不含元素﹣1，0，1；②若
1+a
a M，则 M，则下列结论不正确的个数是 （ 1 ） ．
1−a
∈ ∈
（1）集合M中至多有2个元素；
（2）集合M中至少有4个元素；
（3）集合M中有且仅有4个元素；
（4）集合M中至多有4个元素．
1+a
1+
1+a 1+a 1−a 1 1
【解题思路】由题意可判断a≠ ，再由若a M，则 M推出 =− ，再判断a≠− ，
1−a 1−a 1+a a a
1−
∈ ∈ 1−a
依次判断即可．
1+a 1+a2 1+a
【解答过程】解：∵ −a= ≠0，∴a≠ ，
1−a 1−a 1−a
1+a
1+
1−a 1 1
而 =− ，故a≠− ，
1+a a a
1−
1−a
1
1−
a a−1 a−1
而 = ，检验得 ≠a，
1 a+1 a+1
1+
a
a−1
1+
a+1
而 =a，
a−1
1−
a+1
1+a 1 a−1
故M＝{a， ，− ， }，
1−a a a+1
故（1）不正确，（2）（3）（4）正确；
故答案为：（1）．
四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2021秋•辽宁期中）已知关于x的不等式（ax+1）（x﹣2a）＜0的解集为M．
（1）a＝﹣1时，求集合M；
（2）若1 M，2 M，求实数a的取值范围．
【解题思路∈】（1∉）将a＝﹣1代入求解．
（2）利用1 M，2 M，列出不等式组求解．
【解答过程】∈解：（∉1）将a＝﹣1代入得：（﹣x+1）（x+2）＜0，
解得：x＜﹣2或x＞1．
∴M＝{x|x＜﹣2或x＞1}．
（2）∵1 M，2 M．
∈ ∉
1
{a＜−1或a＞
∴{(a+1)(1−2a)＜0 2，
(2a+1)(2−2a)≥0 1
⇒ − ≤a≤1
2
1
∴ ＜a≤1．
2
18．（12分）（2022春•兴庆区校级期中）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x R，a R}．
（1）若A是空集，求a的取值范围； ∈ ∈
（2）若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围
【解题思路】（1）利用A是空集，则Δ＜0即可求出a的取值范围；
（2）对a分情况讨论，分别求出符合题意的a的值，及集合A即可；
（3）结合（1），（2）的结果，即可求解．
【解答过程】解：（1）∵A是空集，
∴a≠0且Δ＜0，
9
∴9﹣8a＜0，解得a＞ ，
8
9
∴a的取值范围为：( ，+∞)；
8
2
（2）①当a＝0时，集合A＝{x|﹣3x+2＝0}＝{ }，
3
②当a≠0时，Δ＝0，
9
∴9﹣8a＝0，解得a= ，
84
此时集合A={ }，
3
9 2 4
综上所求，a的值为0或 ，集合A＝{ }，集合A={ }；
8 3 3
9
（3）由（1），（2）可知，当A中至多有一个元素时，a≥ 或a＝0，
8
9
∴a的取值范围为：{0}∪[ ，+∞).
8
19．（12分）（2021秋•邵阳期末）已知集合A＝{x|﹣x2+3x﹣2≥0}，B＝{x|﹣m≤x≤m+1}．
（1）若m＝1时，求A∩B；
（2）若A B，求实数m的取值范围．
【解题思路⊆】（1）化简集合A，利用集合的运算可求得答案；（2）由集合A、B的关系，可求得m的
取值范围．
【解答过程】解：（1）A＝{x|﹣x2+3x﹣2≥0}＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝{x|1≤x≤2}，
m＝1，
B＝{x|﹣1≤x≤2}，
A∩B＝[1，2]，
（2）∵A B，
{−m≤⊆1
∴ ，
m+1≥2
解得，m≥1．
故m的取值范围为[1，+∞）．
20．（12分）（2022春•宝山区校级月考）设A＝{x|x2+4x＝0，x R}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，
x R}． ∈
（∈1）若A∪B＝B，求实数a的值；
（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）求出集合A，由若A∪B＝B，得A B，由一元二次方程根据的特点，得到A＝B，由
此能求出a的值； ⊆
（2）由A∩B＝B，得B A，由此能求出实数a的取值范围．
【解答过程】解：（1）⊆A＝{x|x2+4x＝0，x R}＝{﹣4，0}，
∵A∪B＝B，∴A B， ∈
∴B＝{x|x2+2（a+⊆1）x+a2﹣1＝0，x R}至少有两个根，
∈根据一元二次方程的根的特点，得到B＝{﹣4，0}，
∴{ a2−1=0 ，
16−8(a+1)+a2−1=0
解得a＝1．
（2）∵A＝{﹣4，0}，A∩B＝B，∴B A，B＝ 或集合B中只含有元素0或﹣4，
①当B＝ 时，Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣⊆1）＜0，∅解得a＜﹣1；
②若0 B∅，代入x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，则a2﹣1＝0，解得a＝﹣1或a＝1，
当a＝∈﹣1时，B＝{0} A，符合题意，
当a＝1时，B＝{x|x2+4⊆x＝0}＝{﹣4，0}，符合题题；
③若﹣4 B，代入x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，得a2﹣8a+7＝0，解得a＝7或a＝1，
当a＝1时∈，由②知符合题意，
当a＝7时，B＝{x|x2+16x+48＝0}＝{﹣12，﹣4}，不合题意．
综上，实数a的取值范围是 {a|a＝1或a≤﹣1}．
21．（12分）（2020秋•武汉期中）设集合U＝R，A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}，C＝{x|x＜
a}．
（1）求图中阴影部分表示的集合；
（2）若B∩C＝C，求a的取值范围．
【解题思路】（1）因式分解求出集合A，B，可得集合B的补集，再与集合A进行交集运算；
（2）B∩C＝C等价于C B，写出a的取值范围即可．
【解答过程】解：（1）A⊆＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}＝{x|x≥4或x≤1}．
由图可得：图中阴影部分表示的集合为（ B）∩A，
R
∴ B＝{x|1＜x＜4}， ∁
R
（∁ B）∩A＝{x|1＜x＜3}，
R
（∁2）∵B∩C＝C，∴C B，
∴a≤1． ⊆
22．（12分）（2021秋•龙凤区校级期末）设U＝R，已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣
1}．（Ⅰ）当m＝4时，求 （A∪B）；
U
（Ⅱ）若B≠ ，且B ∁A，求实数m的取值范围．
【解题思路】∅（Ⅰ）根⊆据m的值求出集合B，再求出集合A，B的并集，进而可以求解；
（Ⅱ）根据已知建立不等式关系，求解即可．
【解答过程】解（I）当m＝4时，集合B＝[5，7]，
所以A∪B＝[﹣2，7]，
所以 （A∪B）＝（﹣∞，﹣2）∪（7，+∞）；
U
（Ⅱ∁）因为B≠ ，且B A，
{m+∅1≤2m⊆−1
所以一定有 m+1≥−2 ，解得2≤m≤3，
2m−1≤5
所以实数m的取值范围为[2，3]．
