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专题 02 常用逻辑用语综合归类
目录
题型一：命题概念及命题真假.............................................................................................................................................1
题型二：充分不必要条件.....................................................................................................................................................3
题型三：充分条件求参.........................................................................................................................................................5
题型四：必要不充分条件.....................................................................................................................................................7
题型五：必要条件求参.........................................................................................................................................................9
题型六：充要条件...............................................................................................................................................................11
题型七：充要条件求参型...................................................................................................................................................13
题型八：“地图型”条件的判定.......................................................................................................................................14
题型九：充要条件综合应用...............................................................................................................................................16
题型十：命题的否定...........................................................................................................................................................21
题型十一：全称与特称命题真假求参...............................................................................................................................22
题型十二：新定义型简易逻辑压轴题...............................................................................................................................24
题型一：命题概念及命题真假
判断命题的真假：
1. 直接法：应用所学过的基本事实和定理进行判断
2.反例法：举出命题所涉及到的知识中的反例即可。
1．（23-24高三·上海·模拟）已知命题：“非空集合 的元素都是集合 的元素”是假命题，给出下列命
题，其中真命题的个数是（ ）
① 中的元素都不是 的元素；② 中有不属于 的元素；
③ 中有 的元素；④ 中的元素不都是 的元素.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由题意可得集合 不是 的子集．由此结合子集的定义与集合的运算性质，逐项判断即可.
【详解】根据命题"非空集合 的元素都是集合 的元素"是假命题，可得 不是 的子集
对于①，集合 虽然不是所有元素都在 中，但有可能有属于 的元素，因此①是假命题；
对于②，因为 不是 的子集，所以必定有不属于 的元素，故②是真命题；同理不能确定 有没有 的
元素，故③是假命题；
对于④，由子集的定义可得，既然 不是 的子集，那么必定有一些不属于 的元素，因此 的元素不
都是 的元素，可得④是真命题.
故选：B.
2．（2022·安徽蚌埠·模拟预测）下列四个命题中，是假命题的是（ ）
A． ，且
B． ，使得
C．若x＞0，y＞0，则D．若 ，则 的最小值为1
【答案】A
【分析】A举反例，B找一个满足条件的，C基本不等式的应用，D分离常数结合基本不等式.
【详解】解析：选A.对于A， ，且 对x＜0时不成立；
对于B，当x＝1时，x2＋1＝2，2x＝2， 成立，正确；
对于C，若x＞0，y＞0，则 ，化为 ，当且仅当
时取等号，C正确；
对于D， ，因为 ，所以 ，所以
，当且仅当 ，即 时取等号.故y的最小值为1，D
正确.
故选：A
3．（23-24高三·上海闵行·阶段练习）已知 是非空数集，如果对任意 ， ，都有 ， ，
则称 是封闭集.给出两个命题：命题 ：若非空集合 ， 是封闭集，则 是封闭集；命题 ：若非
空集合 ， 是封闭集，且 ，则 是封闭集.则（ ）
A．命题 真命题 真 B．命题 真命题 假
C．命题 假命题 真 D．命题 假命题 假
【答案】C
【分析】对命题 举反例 说明即可；对于命题 ：设
，由 是封闭集，可得 ，从而判断为正确；
【详解】对命题 ：令 ，则集合 是封闭集，
故 ，
但 ，故 不是封闭集，故命题 假；
对于命题 ：设 ，则有 ，又因为集合 是封闭集，
所以 ，
同理可得 ，
所以 ，
所以 是封闭集，故命题 真；
故选：C
4．（22-23高三·上海浦东新·模拟）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数 时，关于 ， ，
的方程 没有正整数解”．经历百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证
明了费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为（ ）
（1）存在至少一组正整数组 是关于 ， ， 的方程 的解；
（2）关于 ， 的方程 有正有理数解；
（3）关于 ， 的方程 没有正有理数解；
（4）当整数 时关于 ， ， 的方程 有正实数解
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C【分析】当整数 时方程没有正整数解，（1）错误， ，没有正有理数解，（2）错误，
（3）正确，当 ， 满足条件，（4）正确，得到答案.
【详解】当整数 时，关于 ， ， 的方程 没有正整数解，故方程 没有正整数
解，（1）错误；
没有正整数解.即 ， ，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确；
方程 ，当 ， 满足条件，故有正实数解，（4）正确.
故选：C
5．（21-22高三·上海·模拟）给出以下命题：①若 ，且 ，则 ；② ，
是 的必要条件；③ ，则 是 为纯虚数的充要条件；④ ，
若 ，则 或 ．
其中正确的命题有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①根据虚数不能比较大小判断；②举例 ，结合实数能比较大小判断；③举例
判断；④直接利用复数的乘法判断.
【详解】①因为 都是虚数，而虚数不能比较大小，故错误；
②因为 ，如 ，满足 ，由于虚数不能比较大小，所以推不出 ，不充分，
当 ，则 为实数，所以 ，必要，故正确；
③因为 ，如 ，满足 ，推不出 为纯虚数，故不充分，故错误；
④因为 ，设 ，则 ，所以
，所以 ，所以 ，两式相加整理得：
，则 或 ，所以 或 ，故正确
故选：B
【点睛】本题主要考查有关复数的命题的真假判断，还考查了理解辨析，分析求解问题的能力，属于中档
题.
6.（2024年新高考2）已知命题p： ， ；命题q： ， ，则（ ）
A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题
C. p和 都是真命题 D. 和 都是真命题
【答案】B
【解析】
【分析】对于两个命题而言，可分别取 、 ，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于 而言，取 ，则有 ，故 是假命题， 是真命题，
对于 而言，取 ，则有 ，故 是真命题， 是假命题，
综上， 和 都是真命题.
故选：B.题型二：充分不必要条件
充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，
A⊆B，则p是q的充分条件
1．（2023·江苏苏州·模拟）记方程①： ，方程②： ，方程③： ，
其中 是正实数.若 成等比数列，则“方程③无实根”的一个充分条件是（ ）
A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根
【答案】B
【分析】根据判别式以及充分条件的定义逐项分析.
【详解】由题意， ，其中 ；
对于A，如果 有实根，则 ，如果 有实根，
则 ， 有可能大于等于 ，
则 ，即 有可能大于等于0，即由①②不能推出③无实根，A不是充分条件；
对于B，有 ，则必有 ，即 ，方程 无实根，
所以B是③无实根的充分条件；
对于C，有 ， ，方程③有实根，C不是方程③无实根的充分条件；
对于D，有 ，q的值不确定，有可能小于 ，也有可能大于 ，
不能保证方程③无实根，例如 ，则 ， ，
所以D不是方程③无实根的充分条件；
故选：B.
2．（2023·上海普陀·二模）设 为实数，则“ ”的一个充分非必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与 推出关系即可.
【详解】由 ，则 ，可得 ，可推出 ，反向推不出，满足；
由 ，则 ，推不出 ，反向可推出，不满足；
由 ，则 或 或 ，推不出 ，反向可推出，不满足；
由 ，则 ，推不出 ，反向可推出，不满足；
故选：A
3．（2023·江西·二模）记全集为U， 为p的否定， 为q的否定，且 的必要条件是q的必要条件，则
（ ）
A．存在q的必要条件是q的充分条件 B．
C．任意q的必要条件是 的必要条件 D．存在 的充分条件是p的必要条件
【答案】D
【分析】利用反证法否定选项A；分别举反例否定选项B，C；举例验证选项D正确.【详解】令 的必要条件为k，则q的必要条件为k，即 ，
选项A：若存在q的必要条件是q的充分条件，则 ，则 .判断错误；
选项B：由下图可得 .判断错误；
选项C：如下图得， ，
则q的必要条件m不是 的必要条件.判断错误；
选项D：如下图得： ，
则存在 的充分条件是p的必要条件.判断正确.
故选：D
4．（23-24高三·湖南长沙·阶段练习）已知集合 ， ，则 是 的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件 D．充分必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合子集的定义进行判断即可.
【详解】当 时， ，显然 ，
当 时， 也可以， 不一定成立，
所以 是 的充分条件，
故选：A
5．（23-24高三·湖北襄阳·阶段练习）若集合 ， ，则 的一个充
分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用简易逻辑的判定方法，集合之间的关系，不等式的性质即可得出答案.
【详解】因为集合 ， ，
若 ，利用数轴，可求 ，
故 的一个充分不必要条件是 .
故选：D.题型三：充分条件求参
用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
(3)充分必要条件与集合包含之间的关系．
命题 对应集合 ，命题 对应集合是 ，则 是 的充分条件 ， 是 的必要条件
， 是 的充要条件 ， 是 的充分不必要条件 ， 是 的必要不充分条
件 ．
1．（23-24高三·江苏连云港·开学考试）若不等式 的一个充分条件为 ，则实数a的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先解 ，得到 ，再利用条件即可求出结果.
【详解】由 ，得到 ，
又不等式 的一个充分条件为 ，所以 ，
故选：C.
2．（21-22高三·全国·课后作业）已知不等式 成立的充分条件是 ，则实数 的取值
范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】D
【分析】由题意知 ，根据子集关系列式解得参数范围即可.
【详解】由题意得 ，
所以 ，且等号不能同时成立，解得 .
故选：D.
3．（19-20高下·北京·开学考试）“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件与必要条件的判断，看条件与结论之间能否互推，条件能推结论，充分性成立，结
论能推条件，必要性成立，由此即可求解.【详解】若方程 表示双曲线，
则 或 ，
所以“ ”是“方程 表示双曲线”的充分而不必要条件.
故选：A
【点睛】本题以双曲线的标准方程及充分必要条件的判断，考查理解辨析能力，属于基础题.
4．（20-21高三·浙江绍兴·模拟） 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则“ ”是
“ 为锐角”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】由题知: ,结合余弦定理,可推出 为锐角,反之无法
推出,因此“ ”是“ 为锐角”的充分非必要条件.
【详解】①在 中,若 ,
则 ,即 ,
,
,
为锐角,
即“ ” “ 为锐角”,
②若 为锐角,则 ,即 ,
无法推出 ,
所以“ 为锐角” “ ”,
综上所述:“ ”是“ 为锐角”的充分非必要条件,
故选:A.
【点睛】本题考查了充分必要条件的判定,结合了基本不等式及余弦定理等相关知识,综合性较强.
5．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式 成立的充分条件是 ，则实数a的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出不等式的解集，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得.
【详解】依题意， ，解不等式 ，得 ，
由不等式 成立的充分条件是 ，得 ，
于是 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .故选：D
题型四：必要不充分条件
充分不必要条件判断
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p
成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件．
1．（22-23高三·四川绵阳·阶段练习）下列“若 , 则 ”形式的命题中， 是 的必要条件的有（ ）个
① 若 是偶数, 则 是偶数
②若 ，则方程 有实根
③若四边形的对角线互相垂直, 则这个四边形是菱形
④若 ，则
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据必要条件的概念找出符合要求的选项即可.
【详解】对于①， 是偶数，不能保证 ， 均是偶数，也有可能都是奇数，故①不符合题意；
对于②，若方程 ，则需满足 ，即 ，可推出 ，故②符合题意；
对于③，若四边形是菱形，则四边形对角线互相垂直，故③符合题意；
对于④，若 ，则 ，故④符合题意.
故选：D.
2．（2022·黑龙江·一模）已知a， ，则“ ”的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用 否定ACD选项，进而得答案.
【详解】解：对于A选项，当 时， ，此时 ，故 不是 的必要条件，故错误；
对于B选项，当 时， 成立，反之，不成立，故 是 的必要条件，故正确；
对于C选项，当 时， ，但此时 ，故 不是 的必要条件，故错误；
对于D选项，当 时， ，但此时 ，故故 不是 的必要条件，故错误.
故选：B
3．（2021·江西·模拟预测）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要
条件
【答案】B
【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．
【详解】当 时，若 ，不能推出 ，不满足充分性；
当 ，则 ，有 ，满足必要性；
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B
4．（20-21高三·全国·单元测试）已知 ， 为任意实数，则 的必要不充分条件是（ ）
A． 且 B． 或
C． 且 D． 或
【答案】B
【分析】由充分必要条件的定义及特例即得.
【详解】由 且 可推出 ，故A错误；若 或 不成立即 且 ，则 ，即 不成立，所以由 可得 或
；令 ，满足 或 ， 不成立即由 或 推不出 ，故B
正确；
令 ， 成立，显然 且 不成立， 或 也不成立，故CD错误.
故选：B
5．（20-21高三·浦东新·阶段练习）已知 ， ，则 是 的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】B
【分析】直接利用不等式的性质判断充分条件和必要条件.
【详解】解：对于命题 ，可得到 ，但是 与9没有关系，
当命题 ，整理 ，
即得到 ，故 是 的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查不等式的性质以及利用等价法判断必要不充分条件，考查学生的运算和推理能力，属于
题型五：必要条件求参
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是⇒q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p⇒ q且q p
p是q的充要条件 p q ⇒
p是q的必要条件 p q⇔且q p
1．（22-23高三·湖南衡阳·阶段练习）“方程 的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是
（ ）
A．“ ” B．“ ”
C．“ ” D．“ ”且“ ”
【答案】C
【分析】由椭圆的定义可列出 满足的不等式组，从而求出 的取值范围，再结合选项选出必要不充分条
件．
【详解】因为方程 的曲线是椭圆，
则由椭圆的定义可知： ，解得： 且 ，
所以“方程 的曲线是椭圆”的充要条件为“ 且 ”，
“ ”推不出“ 且 ”，反之可推出，所以“ ”是方程“ 的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
所以“方程 的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“ ”．
故选：C．
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、
运算求解能力，求解时注意利用集合的关系进行解题.
2．（23-24高三·广西南宁·阶段练习）已知 ： ， ： ，若 是 的必要
不充分条件，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将 是 的必要不充分条件转化为 ，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可.
【详解】设 ， ，
因为 是 的必要不充分条件，所以 ，
所以 ，解得 ，
当 时， ，成立，
所以 .
故选：A.
3．（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合 ， ，若 是 的必要不
充分条件，则实数 的所有可能取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，对集合 分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的 的值即可．
【详解】由题， ， ，
当 时，有 ，符合题意；
当 时，有 ，此时 ，所以 或 ，所以 .
综上，实数 的所有可能的取值组成的集合为 .
故选：A.
4．（23-24高上·江苏南通·开学考试）设 ， ，若 是 的必要不充分条件，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据充分必要条件和集合的包含关系求解即可.
【详解】由 ，解得 ，
所以 ，
又由 ，解得 ，
所以 ，因为 是 的必要不充分条件，
所以集合 真包含于 ，
所以 ，解得 ，
经检验， 时， ，满足题意；
时， ，满足题意；
所以实数 的取值范围是 .
故选:A.
5．（22-23高三·全国·模拟）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用必要不充分的定义进行判断求解即可
【详解】由“ ”是“ ”的必要不充分条件知： 是 的真子集，可得知
故选：C
题型六：充要条件
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等
式(组)进行求解．
1．（2024·河南信阳·模拟预测）已知复数 为虚数单位)，则“ ”是“ 在复平面内对
应的点位于第四象限”的（ ）条件
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算化简 ，根据复数的几何意义，即可判断和选择.
【详解】 ，则 在复平面内对应的点为 ；
点 位于第四象限的充要条件是 ，即 ；
故“ ”是“ 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件.
故选：A
2．（22-23高三·全国·模拟）以下选项中，p是q的充要条件的是（ ）
A．p： ，q：
B．p： ，q：
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p： ，q：关于x的方程 有唯一解
【答案】D
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.【详解】对于A， ， ，所以p推不出q，q推不出p，
所以p是q既不充分也不必要条件；
对于B， ；当 时，满足 ，但q推不出p，
故p是q的充分不必要条件；
对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；
反之，若“四边形是正方形”成立推出“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要不充分条件；
对于D，若 ，则关于x的方程 有唯一解；若关于x的方程 有唯一解，则 ，
所以 ，故p是q的充分必要条件.
故选：D.
3．（2023高三·全国·课后作业）关于x的方程 ，以下命题正确的个数为（ ）
（1）方程有二正根的充要条件是 ；（2）方程有二异号实根的充要条件是 ；（3）方程两根
均大于1的充要条件是 .
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】对于（1），举反例 ，即可判断；对于（2）方程有二异号实根可推出 ，
可推出方程有二异号实根，即可判断；对于（3），举反例 ，即可判断.
【详解】对于（1），令 满足 ，但 ，方程无实数解，
（1）错；
对于（2），必要性： 方程 ，有一正根和一负根， .
充分性：由 可得 ，所以 及 ,
方程 有一正根和一负根，（2）对；
对于（3），令 ，两根为 ，满足 ，但不符合方程两根均大于1，（3）
错.
故选：B
4．（22-23高三·广东·阶段练习）已知数列 满足 ， ， ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】由题意可得 为等差数列，后据此判断 与 间关系可得答案.
【详解】设 首项为 ，由 ，可得 ，
则可得 .
则
.故“ ”是
“ ”的充分必要条件.
故选：A
5．（2021高三·全国·专题练习）设 为全集， 、 是 的子集，则“存在集合 使得
”是“ ”的（ ）条件
A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】首先通过集合子集的概念与集合的运算确定推导关系，然后再根据充要条件的定义进行判断即可.
【详解】首先由 ， ，易知 ，所以充分性成立；
，即存在集合 ，使得 ， 成立，所以必要性成立，因此“ ，
”是“ ”的充要条件.故选：C.
题型七：充要条件求参型
冲要条件：
命题 对应集合 ，命题 对应集合是 ，则 是 的充分条件 ， 是 的必要条件 ，
是 的充要条件 ， 是 的充分不必要条件 ， 是 的必要不充分条件 ．
1．（21-22高二上·江苏常州·模拟）“ ， ”为真命题的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将不等式转化为 ，解得答案.
【详解】 ， ，即 ，即 .
故选： .
【点睛】本题考查了充要条件，真命题，意在考查学生的计算能力和推断能力.
2．（23-24高三·贵州黔西·模拟）关于 的方程 有两个不相等的实数根的充要条件是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由方程关于 的方程 有两个不相等的实数根，则满足 ，
解得 或 ，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是 或 .
故选：A.
3．（21-22高三·辽宁铁岭·阶段练习）设集合 ，若集合， ，则 的充要条件是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】先根据集合的运算，求得 ，结合 ，列出不等
式组，即可求解.
【详解】由题意，可得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，反之亦成立，
所以 的充要条件是 ．
故选：A．
4．（20-21高三·上海崇明·阶段练习）函数 为偶函数的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】计算可得 ，则函数 为偶函数的充要条件是 的定义域
不为空集，且关于原点对称，即不等式 有解，转化为 有解，通过 的最小值可得 的范
围.
【详解】解： ，
则 ，
则函数 为偶函数的充要条件是 的定义域不为空集，且关于原点对称，
不等式 有解，即 有解，
，
.
故选：C.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，考查学生转化能力和分析能力，是基础题.
5．（22-23高二上·江苏连云港·模拟）已知数列{an}的通项公式 ，若“an＜an （n∈N*）”的充
+1
要条件是“a＜M”，则M的值等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由数列的通项公式分别验算 成立的充分条件和必要条件可得答案.
【详解】解：数列{an}的通项公式 ，
必要性：若 ，则 恒成立，即 对任
意 恒成立，则 ；充分性：当 时， 对任意 恒成立，
即 .
∴“ ”的充要条件是“ ”，
∴ 的值等于 .
故选：C.
【知识点】本题主要考查充分条件、必要条件和数列的相关知识，考查学生的综合分析能力和数学计算能
力，属于中档题.
题型八：“地图型”条件的判定
多重复杂的充分必要条件之间传递变化判断， 可以借助类似如下“地图”一样来判断 。
判断方法是，根据箭头是否能“往返”或者“转圈”推导，以此判断冲分析与必要性
1．（22-23高三·上海浦东新·阶段练习）已知 是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条
件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；② 是q的充分不必要条件；③r是q的必
要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【答案】B
【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定 之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可.
【详解】因为 是 的的充分不必要条件，所以 ， 推不出 ，
因为 是 的的充分条件，所以 ，
因为 是 的必要条件，所以 ，
因为 是 的必要条件，所以 ，
因为 ， ，所以 ，又 ，，所以 是 的充要条件，命题①正确，
因为 ， ， ，所以 ，
推不出 ，故 是 的充分不必要条件，②正确；
因为 ， ，所以 ， 是 的充分条件，命题③错误；
因为 ， ，所以 ，又 ，
所以 是 的充要条件，命题④错误；
故选：B.
2．（23-24高三·重庆沙坪坝·阶段练习）已知 是 的充分条件， 是 的充分不必要条件， 是 的必要条
件， 是 的必要条件，现有下列命题：① 是 的必要不充分条件；② 是 的充分不必要条件；③ 是
的充分不必要条件；④ 是 的充要条件.正确的命题序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】根据题意以及充分条件和必要条件的定义确定 之间的关系，然后逐一判断命题①②③④的正确性即可.
【详解】因为 是 的的充分条件，所以 .因为 是 的充分不必要条件，所以 ， ，
因为 是 的必要条件，所以 .因为 是 的必要条件，所以 ，
所以由 ， ， 可得 ，
则 是 的充要条件，命题①错误；
则 是 的充要条件，命题②错误；
因为 ， ，所以 ， ，故 是 的充分不必要条件，命题③正确；
易得 ， ，所以 是 的必要不充分条件，命题④错误，
故选：C.
3．（2021·江苏南京·模拟预测）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条
件，则甲是丁的 （ ） 条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为 ， ， ， ，根据题目条件得到集合之
间的关系，并推出 D，，所以甲是丁的充分不必要条件.
【详解】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A， ， ， ，
由甲是乙的充分不必要条件得， B，
由乙是丙的充要条件得， ，
由丁是丙的必要不充分条件得， D，
所以 D，，故甲是丁的充分不必要条件.
故选：A.
4．（22-23高上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必
要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【分析】根据题意，设命题甲为集合A，命题乙为集合B，命题丙为集合C，命题丁为集合D，转化为集合
之间的包含关系，可探求命题之间的关系，判断命题丁能否推出命题甲，及命题甲能否推出命题丁，即可
得出结论.
【详解】设命题甲为集合A，命题乙为集合B，命题丙为集合C，命题丁为集合D；
命题甲是命题乙的充分非必要条件 ；命题丙是命题乙的必要非充分条件 命题乙是命题丙的充分
非必要条件 ，命题丁是命题丙的充要条件 ，综上得到 ，可知 ，及
命题甲是命题丁的充分非必要条件 命题丁是命题甲的必要非充分条件，
故选：B
【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，真子集，属于中档题.
5．（22-23高三·黑龙江牡丹江·课后作业）设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么（
）
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】因为甲是乙的必要条件，
所以乙是甲的充分条件，即乙推出甲；
因为丙是乙的充分但不必要条件，则丙推出乙，乙推不出丙，
所以丙推出甲，甲推不出丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件，
故选：A题型九：充要条件综合应用
充要条件：
命题 对应集合 ，命题 对应集合是 ，则 是 的充分条件 ， 是 的必要条件 ，
是 的充要条件 ， 是 的充分不必要条件 ， 是 的必要不充分条件 ．
1．（2023·河北·模拟预测）已知椭圆 的两焦点为 ， ，x轴上方两点A，B在椭圆
上， 与 平行， 交 于P.过P且倾斜角为 的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若
，则“ 为定值”是“ 为定值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不必要也不充分条件
【答案】D
【分析】先求出 的轨迹，其轨迹方程为 ，取 ，结合特殊情形可得“当
取定值， 是定值”是错误的；再由 是定值可得 ，从而可判断当 取定值， 是定值”是错
误的，从而可得正确的选项.
【详解】设 为椭圆 上的动点， 为椭圆的半焦距，
故 ，故
，
设直线 ，则 到该直线的距离为 ，故 ，
如图，设直线 的倾斜角为 ，过 作 的垂线，垂足为 ，
则 ，故 ，设 ，故 ，同理 .设 的倾斜角为 ，则 ， ，因为 ，故 ，
所以 ，所以 ，同理
，
故 ，故 的轨迹为以 为焦点的椭圆，其长半轴长为
，短半轴长为 ，故 的轨迹方程为： ，
其中 .取 ， ,而 ，故 不是定值即 不是定
值.
故“当 取定值， 是定值”是错误的.
又直线 的参数方程为： ，设 ，
由 整理得到： ，
故 ，而 ，故 ，
所以 ，若 为定值，则 为定值，
而 ，故当 变化时， 始终为
定值，又故 且 ，但 ，故 ，
所以 ，
但此时 随 的变化而变化，不是定值，
故“当 取定值， 是定值”是错误的.故选：D.
【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中的动态问题，注意利用圆锥曲线的几何性质去研究动点的轨迹，对于
是否为定值的问题，注意构建不同变量之间的关系，结合特例来处理是否为定值的问题.
2．（21-22高二下·重庆·）已知函数 的定义域为 ，则“ ”是“ 是周期为2的
周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
【答案】A
【分析】通过 可以得出 ，反过来不可以，反例见详解.
【详解】由 得， ，
所以， ，即 .
所以“ ”是“ 是周期为2的周期函数”的充分条件.
如下图是一个周期为 得函数，得不出 ，
所以“ ”是“ 是周期为2的周期函数”的不必要条件.
所以“ ”是“ 是周期为2的周期函数”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2022广东茂名·二模）设 ，则对任意实数 ，“ ”是“
”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】先判断函数为奇函数且单调递增，再分别判断充分性和必要性得到答案.
【详解】 定义域为 ，
，函数为奇函数
易知： 在 上单调递增，
且
故 在 上单调递增
当 时， ，充分性；
当 时，即 ，必要性；
故选：
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，充分必要条件，意在考查学生的综合应用能力.
4．（22-23高三·上海浦东新·阶段练习）已知不等式 的解集为 ，不等式
的解集为 ，其中 、 是非零常数，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】对 、 的符号以及 、 是否相等分情况讨论，得出 的充要条件，即可判断出“
”是“ ”的充要条件关系.
【详解】（1）若 ， .
①若 ，不等式 即为 ，则 ，不等式 即
为 ，得 ， ， ；②若 ，不妨设 ，不等式 即为 ，则 ，
不等式 即为 ，得 ， ，则 ；
（2）同理可知，当 ， 时， ， 不一定为 ；
（3）若 ， .
①若 ，不等式 即为 ，则 ，不等式 即
为 ，则 ，此时， ；
②若 ，不妨设 ，不等式 即为 ，则 ，
不等式 即为 ，则 ，此时， ；
（4）同理，当 ， 时， .
综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选A.
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也考查补集思想的应用，在解题时需要对参数的符号进行分
类讨论，考查推理能力，属于中等题.
5．（2022·广东·一模）已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】若 ，则 ，利用函数 的单调性可得 ．反
之不一定成立，例如取 ， ．即可得出其不成立．
【详解】解：若 ，则 ，
∴ ，
又当 时， 单调递增，∴ ．
反之不一定成立，“ ”不一定得出“ ”，
例如取 ， ．则“ ”．
∴“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的概念，还考查了利用导数证明不等式及赋值法，属于难题．
题型十：命题的否定
全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，全称量词命题的否定是存在量词
命题．
对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题
的实际意义进行表述．
1．（22-23高三·浙江·模拟）命题“ ，使得 ”的否定形式是（ ）
A． ，使得 B． 都有
C． ，使得 D． ，都有
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可求解.
【详解】“ ，使得 ”是全称命题，全称命题的否定是特称命题故否定形式是 ，都有 .
故选：D
2．（22-23高二下·安徽·阶段练习）命题“ a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2至少有一个成立”的否定为
（ ）
A． a，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立
B． a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立
C． a，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立
D． a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立
【答案】D
【解析】将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到.
【详解】“ a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2至少有一个成立”的否定为：
a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立.
故选：D
【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.
3．（22-23高一·全国·课后作业）已知全集U，M，N是U的非空子集，若( UM) N，则必有( )
A．M ( UN) B．( UN) M
C．( UM)＝( UN) D．M＝N ∁ ⊇
【答案】A ⊆ ∁ ∁
【分析】∁由题意，∁作出Venn图，即可得到答案.
【详解】由题意，作出Venn图，如图所示，即可得到M ( UN)，故选A.
⊆ ∁
【点睛】本题主要考查了集合的包含关系，其中解答中根据题意作出 ，得出集合之间的关系是解答的
关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
4．（21-22高·山西运城·模拟）已知 ，命题 ： ， ，则（ ）.
A． 是真命题， ： ，
B． 是真命题， ： ，
C． 是假命题， ： ，
D． 是假命题， ： ，
【答案】B
【分析】利用导数分析 的单调性，得到 ，可以判断命题 的真假，再根据全称命题的
否定写出 即可.【详解】 ，∴当 时， ， 在 上单调递减， ，
是真命题，
： ， .
故选：B.
5．（20-21高二下·四川凉山·模拟）命题： 的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用全称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论
【详解】解：命题： 的否定是 ,
故选：B
题型十一：全称与特称命题真假求参
求解含有量词的命题中参数范围的策略
对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值
(或最小值)．
1．（23-24高三·福建泉州·模拟）命题“ ”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据全称量词命题为真命题，分离参数求解出参数范围的充要条件，然后根据充分条件、必要条
件的定义对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】因为命题“ ”为真命题，则 对 恒成立，
所以 ，所以 ，
所以命题“ ”为真命题的充分必要条件为 ，所以选项B不符合题意；
对于A选项， 得不到 ， 能得到 ，所以 是 的必要不充分条件，所以选项A符
合题意；
对于C选项， 得不到 ， 也得不到 ，所以 是 的既不充分也不必要条件，所以
选项C不符合题意；
对于D选项， 能得到 ， 得不到 ，所以 是 的充分不必要条件，所以选项D不
符合题意.
故选：A.
2．（23-24高三·广东茂名·模拟）已知命题“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】由题意可得 ，解不等式即可求出答案.
【详解】因为命题“ ，使 ”是假命题，
所以 恒成立，所以 ，
解得 ，
故实数 的取值范围是 ．
故选：B．
3．（23-24高三·四川成都·阶段练习）设函数 ，命题“存在 ， ”
是假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，转化为命题“任意 ， ”为真命题，进而得到 在
上恒成立，结合二次函数的性质，求得 的最大值，即可求解.
【详解】由命题“存在 ， ”的否定为命题“任意 ， ”，
根据题意，可得命题“任意 ， ”为真命题，
即对任意 ，不等式 恒成立，
所以 ，即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，
根据二次函数的性质，当 时， ，即 的最大值为 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
故选：D.
4．（23-24高三·浙江·阶段练习）已知命题 ；命题 ，
若命题 均为假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 为真命题时 的范围，进一步可得答案．
【详解】由 ，得 ，
， ，
则当 时， 取最小值2，所以 ，
命题 ，则 ，即 ，
若命题 均为假命题，则 且 ，即 ，
∴实数 的取值范围为 ．故选：B.
5．（22-23高三·河北唐山·阶段练习） 为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据全称命题为真命题等价转化为不等式恒成立问题，再利用不等式的性质及充分不必要条件的
定义即可求解.
【详解】由 为真命题，等价于 在 上恒成立，
所以 ， 即可.
设 ， ，则
由二次函数的性质知，对称轴为 ，开口向上，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 时， 取得最小值为 ，即 ，
所以 的一个充分不必要条件是 的真子集，则 满足条件.
故选：A.
题型十二：新定义型简易逻辑压轴题
涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨
论，进行推理判断解决.
1．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射 ．定义：对任意 ，若 ，则
，此时的 为单射．
(1)试在 上给出一个非单射的映射；
(2)证明： 是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合 与映射 ，若对任意 ，有
，则 ；
(3)证明： 是单射的充分必要条件是：存在映射 ，使对任意 ，有 ．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)证明过程见解析
(3)证明过程见解析
【分析】
（1）结合单射的定义举出符合条件的例子即可；
（2）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可；
（3）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可.
【详解】（1）由题意不妨设 ，当 （ 非0）互为相反数时， 满足题意；
（2）一方面若 是单射，且 ，则 ，即 （否则若 ，有
，矛盾），
另一方面，若对任意 ，由 可以得到 ，
我们用反证法证明 是单射，
假设 不是单射，即存在 ，有 ，
又由 可以得到 ，即 ，这就产生了矛盾，
所以 是单射，
综上所述，命题得证；
（3）一方面若 是单射，则由 可得 ，同理存在单射 ，使得 ， ，有 ，
另一方面，若存在映射 ，使对任意 ，有 ，
我们用反证法来证明 是单射，
若 不是单射，即存在 ，有 ，
又若 ，则由题意 ，这与 产生矛盾，
所以此时 是单射，
综上所述，命题得证.
【点睛】
关键点点睛：后面两问的关键是结合单射的定义、反证法从两方面来说明，由此即可顺利得证.
2．（23-24高三·北京·模拟）已知集合 ，对于集合 的非空子集 ，若 中
存在个互不相同的元素 ，使得 均属于 ，则称集合 是集合 的“期待子集”.
(1)试判断集合 是否为集合 的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有个元素 ，同时满足① ，② ，③ 为偶数.那么称该集合
具有性质 .对于集合 的非空子集 ，证明：集合 是集合 的“期待子集”的充要条件是集合 具有
性质 .
【答案】(1) 是集合 的“期待子集”， 不是集合 的“期待子集”
(2)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义判断即可.
（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质 的定义证明即可；
【详解】（1）因为 ，
对于集合 ，令 ，解得 ，显然 ， ，
所以 是集合 的“期待子集”；
对于集合 ，令 ，则 ，
因为 ，即 ，故矛盾，所以 不是集合 的“期待子集”
（2）先证明必要性：
当集合 是集合 的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的 ，使得 ，
不妨设 ，令 ， ， ，则 ，即条件 中的①成立；
又 ，所以 ，即条件 中的②成立；
因为 ，
所以 为偶数，即条件 中的③成立；
所以集合 满足条件 .
再证明充分性：
当集合 满足条件 时，有存在 ，满足① ，② ，③ 为偶数，
记 ， ， ，
由③得 ，由①得 ，由②得 ，
所以 ，因为 ， ， ，所以 ， ， 均属于 ，
即集合 是集合 的“期待子集”
3．（2024江苏南通·模拟）若数列 满足① ，②存在常数 与 无关），使 .则
称数列 是“和谐数列”.
（1）设 为等比数列 的前 项和，且 ，求证：数列 是“和谐数列”；
（2）设 是各项为正数，公比为q的等比数列， 是 的前 项和，求证：数列 是“和谐数
列”的充要条件为 .
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【详解】试题分析：（1）新定义问题，关键证明满足定义中两个条件：先确定 ，再依次验证
定义中两个条件（2）首先分清充分性与必要性，再分别给予证明，证充分性类似（1），可先证；而证必
要性，需用反证法：其理由是当 时，正项等比数列趋向于无穷大，即不存在上界.
试题解析：（1）设公比为 ，则 ,
所以 .
因为
=
= .
且 即存在常数32,
所以，数列 是“和谐数列” .
（2）充分性
设等比数列 的公比 ，且
则 .
令 ，则
因为
所以 是“和谐数列”
必要性
等比数列 各项为正，且 是“和谐数列”.
因为 所以，
下面用反证法证明，
（1）当 则 因为 所以，不存在 ，使 对 恒成立;当 ，则
所以，对于给定的正数 ，若
因为， ，所以，
即当 时，有 .
所以，不存在常数 ，使
所以，
综上,数列 是“和谐数列”的充要条件为其公比为 .
4．（20-21高三·安徽合肥·阶段练习）对于有限个自然数组成的集合 ，定义集合
，记集合 的元素个数为 .定义变换 ，变换 将集合 变换为集合
.
（1）若 ，求 ；
（2）若集合 ，证明： 的充要条件是
.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据题干中对集合 和 的定义，可以求出两个集合
（2）证明充要条件要从两方面证明，一是证明充分性，而是证明必要性，都成立则说明是充要条件
【详解】解：（1）若集合 , 则根据定义可得： .
（2）由 .
充分性：设 是公差为 的等差数列,
则
且 , 所以 共有 个不同的值, 即 .
必要性：若 ,
因为 ,
所以 中有 个不同的元素： ,
任意 的值都与上述某一项相等.
又 , 且 .
所以 所以 是等差数列，且公差不为 .
,
5.（2024年北京高考） 设集合 ．
对于给定有穷数列 ，及序列 ， ，定义变换 ：
将数列 的第 项加1，得到数列 ；将数列 的第 列加 ，得到数列
…；重复上述操作，得到数列 ，记为 ．
（1）给定数列 和序列 ，写出 ；
（2）是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，写出一个符合条件的 ；若不存在，请说明理由；
（3）若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，证明：“存在序列 ，使得 为常数
列”的充要条件为“ ”．
【答案】（1）
（2）不存在符合条件的 ，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接按照 的定义写出 即可；
（2）利用反证法，假设存在符合条件的 ，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；
（3）分充分性和必要性两方面论证.
【小问1详解】
由题意得 ；
【小问2详解】
假设存在符合条件的 ，可知 的第 项之和为 ，第 项之和为 ，
则 ，而该方程组无解，故假设不成立，
故不存在符合条件 的；
【小问3详解】
我们设序列 为 ，特别规定 .
必要性：
若存在序列 ，使得 为常数列.
则 ，所以 .
根据 的定义，显然有 ，这里 ， .
所以不断使用该式就得到， ，必要性得证.
充分性：
若 .
由已知， 为偶数，而 ，所以
也是偶数.
我们设 是通过合法的序列 的变换能得到的所有可能的数列 中，使得
最小的一个.
上面已经证明 ，这里 ， .
从而由 可得 .
同时，由于 总是偶数，所以 和 的奇偶性保持不
变，从而 和 都是偶数.
下面证明不存在 使得 .
假设存在，根据对称性，不妨设 ， ，即 .情况1：若 ，则由 和 都
是偶数，知 .
对该数列连续作四次变换 后，新的
相比原来的
减少 ，这与
的最小性矛盾；
情况2：若 ，不妨设 .
情况2-1：如果 ，则对该数列连续作两次变换 后，新的
相比原来的
至少减少 ，这与
的最小性矛盾；
情况2-2：如果 ，则对该数列连续作两次变换 后，新的
相比原来的
至少减少 ，这与
的最小性矛盾.
这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的 都有 .
假设存在 使得 ，则 是奇数，所以
都是奇数，设为 .
则此时对任意 ，由 可知必有 .
而 和 都是偶数，故集合 中的四个元素 之和
为偶数，对该数列进行一次变换 ，则该数列成为常数列，新的
等于零，比原来的
更小，这与
的最小性矛盾.
综上，只可能 ，而 ，故
是常数列，充分性得证.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.
